2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（新八省專用測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊1.1-3.2）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊1.1~3.2。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線經(jīng)過點，且法向量，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意知直線l的法向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：C2．已知，且，則的值為（）A．5 B． C．3 D．4【答案】D【詳解】由題意可得，則，解之可得.故選：D．3．已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為（

）A．10 B．3 C． D．【答案】C【詳解】由題得，所以到平面的距離為，故選：C.4．以點為圓心，并與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意，圓心坐標為點，半徑為，則圓的方程為．故選：D．5．空間四邊形中，，，，點在上，，點為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，連結(jié)，因，點為的中點，則，于是，.故選：B.6．已知橢圓的兩個焦點分別為，上的頂點為P，且，則此橢圓長軸為（）A． B． C．6 D．12【答案】D【詳解】因為橢圓的兩個焦點分別為，則，又上頂點為P，且，所以，所以，故長軸長為12.故選：D7．如圖，平行六面體的各棱長均為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知可得，，兩邊平方得，，所以.故選：B.8．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的右支上，與的一條漸近線平行，交的另一條漸近線于點，若，則的離心率為（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】令，由對稱性，不妨設(shè)直線的方程為，由，解得，，即點的坐標為，由為的中點，，得為的中點，則點的坐標為，代入雙曲線的方程，有，即，，解得，所以雙曲線的離心率為．故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．若直線經(jīng)過第三象限，則，C．點在直線上D．存在使得直線與直線垂直【答案】ACD【詳解】對于A：直線的斜率，所以該直線的傾斜角為，故A正確；對于B：當(dāng)，時，直線經(jīng)過第三象限，故B錯誤；對于C：將代入方程，則，即點在直線上，故C正確；對于D：若兩直線垂直，則，解得，故D正確.故選：ACD.10．已知直線與雙曲線交于兩點，為雙曲線的右焦點，且，若的面積為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線的離心率為 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為 D．【答案】BCD【詳解】由題意知：，不妨取，由，即，所以，所以，所以以為直徑的圓過點，圓心為，半徑為，所以圓的方程為：，設(shè)，連接，則四邊形為矩形，則，則的面積為：，且，聯(lián)立，解得，再由，所以離心率，故A錯誤，B正確；對于C，雙曲線的漸近線方程為：，故選項C正確；對于D，不妨設(shè)點在第一象限，由對稱性可知，，代入中，得，所以，由對稱性知：當(dāng)，，所以，故選項D正確.故選：BCD.11．如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，動點P在正方體表面運動，則下列結(jié)論中正確的為（

）

A．在中點時，平面平面B．異面直線所成角的余弦值為C．在同一個球面上D．，則點軌跡長度為【答案】ACD【詳解】對于選項A：取的中點，連接，

在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因為面，面，所以，因為面，面，，所以面，因為面，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對于選項B：取的中點，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項C：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對于選項D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確；故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若直線和直線垂直，則．【答案】【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為,由兩直線垂直可得，解得.故答案為：13．已知是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的一點，且，若的面積為9，則的值為．【答案】3【詳解】，，①又②①-②得：，的面積為9，，故答案為：3.14．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是，的中點，是的中點，若，則.【答案】【詳解】解：連接，如圖所示：因為是的中點，分別是，的中點，所以,又因為，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知的兩頂點坐標為，，是邊的中點，是邊上的高．(1)求所在直線的方程；(2)求高所在直線的方程.【詳解】（1）因為是邊的中點，所以，所以直線的斜率，所以所在直線的方程為：，即，（2）因為是邊AB的中點，所以，因為是邊上的高，所以，所以，所以，因此高所在直線的方程為：，即.

16．（15分）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱的長為，且.求：(1)的長；(2)直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）由題意得，所以；（2），所以，，,，故，由于異面直線所成角的范圍為大于小于等于，所以直線與AC所成角的余弦值為.17．（15分）已知平面直角坐標系內(nèi)兩定點，滿足的點形成的曲線記為.(1)求曲線的方程；(2)過點的直線與曲線相交與兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求直線的方程（為坐標原點）【詳解】（1）由題設(shè)知，兩邊化簡得，所以點的軌跡的方程為（2）由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)，即，因為原點到直線的距離，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，又當(dāng)時，由，得到，解得，所以直線的方程為．

18．（17分）如圖，已知平面，底面為正方形，，M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）以為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

則,，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，因為，所以平面；（2），，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為：．19．（17分）已知橢圓的右焦點的坐標為，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4.(1)求橢圓的標準方程；(2)過右焦點的直線與橢圓相交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.【詳解】（1）由題