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文檔簡介
2022-2023學(xué)年湖南邵陽縣德望中學(xué)高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題文試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④2.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.3.已知,且,則的值為()A. B. C. D.4.過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點,,為的準(zhǔn)線上的一點,則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.85.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.6.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.7.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6428.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù)的定義域為,命題:,的否定是()A., B.,C., D.,11.已知為坐標(biāo)原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.12.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)14.已知的終邊過點,若,則__________.15.一次考試后,某班全班50個人數(shù)學(xué)成績的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來的50個分?jǐn)?shù)一起,算出這51個分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.16.已知△ABC得三邊長成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點,的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;(2)當(dāng)公路的長度最短時,設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長度.18.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點,將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)拋物線過點.(1)求拋物線C的方程;(2)F是拋物線C的焦點,過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若,求的值.20.(12分)某大學(xué)開學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)21.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點為1;(2)若函數(shù)在有兩個零點,證明:.22.(10分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
計算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個單位時,重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識和圖像的綜合應(yīng)用.2.B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
由及得到、,進一步得到,再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為,所以,又,所以,,所以.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.4.C【解析】
設(shè)拋物線的解析式,得焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點,,是與的交點,又軸,∴可設(shè)點坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點在準(zhǔn)線上,設(shè)過點的的垂線與交于點,,∴.故應(yīng)選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.5.D【解析】
根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點睛】本題考查集合的混合運算,屬基礎(chǔ)題.6.D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對稱軸方程為在區(qū)間上有零點(可以用二分法求得).當(dāng)時,顯然不成立;當(dāng)時,只需或,解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點的求法,屬于中檔題.7.A【解析】
設(shè)球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設(shè)球心為O,則由球的幾何知識得ΔOO1M所以O(shè)M=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問題,解答本題的關(guān)鍵有兩個:(1)構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c8.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.10.D【解析】
根據(jù)命題的否定的定義,全稱命題的否定是特稱命題求解.【詳解】因為:,是全稱命題,所以其否定是特稱命題,即,.故選:D【點睛】本題主要考查命題的否定,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.12.A【解析】
利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確,則乙、丙預(yù)測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測正確,則丙預(yù)測也正確,不符合題意;若丙預(yù)測正確,則甲必預(yù)測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預(yù)測正確,不符合題意,故選A.【點睛】本題將數(shù)學(xué)知識與時政結(jié)合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.14.【解析】
】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點,若,.即答案為-2.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.15.1【解析】
根據(jù)均值的定義計算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.16.-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點:余弦定理及等比數(shù)列的定義.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)當(dāng)時,公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】
(1)設(shè)切點的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】(1)由題可知,設(shè)點的坐標(biāo)為,又,則直線的方程為,由此得直線與坐標(biāo)軸交點為:,則,故,設(shè),則.令,解得=10.當(dāng)時,是減函數(shù);當(dāng)時,是增函數(shù).所以當(dāng)時,函數(shù)有極小值,也是最小值,所以,此時.故當(dāng)時,公路的長度最短,最短長度為千米.(2)在中,,,所以,所以,根據(jù)正弦定理,,,,又,所以.在中,,,由勾股定理可得,即,解得,(千米).【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實際的最值問題,涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值,還考查正余弦定理的實際應(yīng)用,還考查解題分析能力和計算能力.18.(1)見解析;(2)【解析】
(1)由折疊過程知與平面垂直,得,再取中點,可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點,以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出線段長,得出各點坐標(biāo),用平面的法向量計算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點,連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點,令,則,由,,∴,解得,故.以為原點,所在直線為軸,在平面內(nèi)過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則.又易知平面的一個法向量為,.∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角.證線線垂直,一般先證線面垂直,而證線面垂直又要證線線垂直,注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角,常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角.19.(1)(2)【解析】
(1)代入計算即可.(2)設(shè)直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達定理與求解,進而利用弦長公式求解即可.【詳解】解:(1)因為拋物線過點,所以,所以,拋物線的方程為(2)由題意知直線AB的斜率存在,可設(shè)直線AB的方程為,,.因為,所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.【點睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.20.(1)0.4;(2);(3)應(yīng)選擇方案,理由見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率,即可估算其概率;(2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率求法,先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率,再由對立事件概率性質(zhì)即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率;(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式,即可計算兩種計算方式下的數(shù)學(xué)期望,并根據(jù)數(shù)學(xué)期望作出選擇.【詳解】(1)設(shè)事件為“隨機選取一天,這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率分別為,∵,∴估計為0.4.(2)設(shè)事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”,設(shè)事件,為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”,則,所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.(3)設(shè)騎手每日完成外賣業(yè)務(wù)量為件,方案的日工資,方案的日工資,所以隨機變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05;同理,隨機變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵,∴建議騎手應(yīng)選擇方案.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應(yīng)用,獨立重復(fù)試驗概率的求法,數(shù)學(xué)期望的求法并由期望作出方案選擇,屬于中檔題.21.(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)
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