定積分在物理上的應(yīng)用

第三節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用一、變力沿直線(xiàn)所作的功二、水壓力三、引力四、小結(jié)用元素法建立坐標(biāo)軸如上圖所示,提示：根據(jù)物理學(xué),在電量為+q的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)中,距離點(diǎn)電荷r處的單位正電荷所受到的電場(chǎng)力的大小為：?jiǎn)栴}：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，求變力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上

W

dW=F(x)dx2）將dW從a到b求定積分，就得到所求的功F(x)F(x)F提示：由物理學(xué)知道,一定量的氣體在等溫條件下,壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k

,即解建立坐標(biāo)系如圖這一薄層水的重力為功元素為(kN

m)kJ把這一薄層水抽出水池所作的功等于克服這一薄層重量所作的功例4修建一座大橋墩時(shí)，先要下圍囹，并且抽盡其中的水以便施工，已知圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m,求抽盡水所作的功。xxdx273200分析（如下圖）建立坐標(biāo)系：

因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功，所以功元素為：解建立坐標(biāo)系如圖這一薄層水的重力為于是在[3,30]上，抽盡水所作的功為：xxdx273200xxdx273200問(wèn)題：水的壓力是如何產(chǎn)生的？水有重量，所以水也會(huì)對(duì)與其接觸的物體產(chǎn)生壓力，水的壓力來(lái)自水中的四面八方。水壓的強(qiáng)度和水的深度有關(guān)，愈深則水的壓強(qiáng)愈大。問(wèn)題：水庫(kù)的堤壩為什么上邊窄，下邊寬？如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為：P

p·A如果這個(gè)平板鉛直放置在水中，那么，由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算．yy例6解如圖建立坐標(biāo)系,此閘門(mén)一側(cè)受到靜水壓力為其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線(xiàn)方向．如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方程向也是變化的，就不能用上述公式來(lái)計(jì)算．這是引力dF的方向不隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形。由對(duì)稱(chēng)性知,引力在鉛直方向分力這是引力dF的方向隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形,應(yīng)將引力dF分解為dFx和dFy后再分別用定積分計(jì)算尤其是如何在具體問(wèn)題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對(duì)于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿(mǎn)足于套用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問(wèn)題，便可能束手無(wú)策，不知如何下手。關(guān)于定積分在物理方面的應(yīng)用，除了應(yīng)熟記各個(gè)公式的結(jié)果外，還須了解其推導(dǎo)過(guò)程。解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時(shí)所作的功為作業(yè)，5題：用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第n次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？設(shè)

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為

自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質(zhì)量為m，試計(jì)算將火箭發(fā)射到超出地球的引力范圍時(shí)克服引力所作的功，并由此計(jì)算初速度至少為多少才可使火箭超出地球的引力范圍？Ex

分析：取坐標(biāo)系如圖，設(shè)地球半徑為R，質(zhì)量為M，火箭質(zhì)量為m,與地心的距離為x,根據(jù)萬(wàn)有引力定律，火箭所受地球引力為：Rxx火箭所受地球引力為：Rxdxxx+dxdW當(dāng)x=R時(shí)，引力=重力推動(dòng)火箭，推力=引力功元素微元素全部功Rxdxxx+dx

自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質(zhì)量為m，試計(jì)算將火箭發(fā)射到超出地球的引力范圍時(shí)克服引力所作的功，并由此計(jì)算初速度至少為多少才可使火箭超出地球的引力范圍？Ex

利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問(wèn)題．（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）四、小結(jié)思考題一球完全浸沒(méi)水中，問(wèn)該球面所受的總壓力與球浸沒(méi)的深度有無(wú)關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？思考題解答