高中數(shù)學(xué)必修二《第六章 平面向量及應(yīng)用》同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)必修二《第六章平面向量及應(yīng)用》同步練習(xí)

《6.1平面向量的概念》同步練習(xí)

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列說法不正確的是1）

A.向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)

B.任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng)

C.長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量

D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同

答案D

解析顯然，選項(xiàng)A,B,C說法正確.對于D,由共線向量知，兩個(gè)有共同

起點(diǎn)且共線的向量其終點(diǎn)不一定相同，故錯(cuò)誤.故選D.

2.若向量a與6不相等，則a與b一定（）

A.不共線B.長度不相等

C.不可能都是單位向量D.不可能都是零向量

答案D

解析因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄?故選D.

3.若a為任一非零向量，人為模為1的向量，下列各式：

①|(zhì)a|>|6|；②a〃6；③|a|>0；④|引=±1.

其中正確的是（）

A.①④B.③C.①②③D.②③

答案B

解析3為任一非零向量，故>0.故③正確；①②④都錯(cuò)誤.

4.數(shù)軸上點(diǎn)44分別無?應(yīng)一1,2,則向量/唬長度是（）

A.-1B.2C.1D.3

答案D

解析易知|4例=2—(-1)=3.

5.若|加=|初且為=微則四邊形力6⑦的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案C

解析由物=附口四邊形力頗為平行四邊形；由|四|=|力〃|知四邊形力頗

為菱形.

二、填空題

6.把同一平面內(nèi)所有模不小于1,不大于2的向量的起點(diǎn)，移到同一點(diǎn)0,

則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積等于_______.

答案3n

解析這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓環(huán)，其面積為n?22-n?I2

=3n.

7.設(shè)國,5是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）.

①&）=瓜；②&=一6③|2|+|慶|=2；④&〃仇.

答案③

解析因?yàn)?,次都是單位向量，

所以|4|=1,㈤=1.

從而|4|+以|=2.

8.若月地位于8地正西方向5km處，C地位于力地正北方向5km處，則。

地相對于〃地的位移是.

答案西北方向5^2km

解析根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，

由圖可知|紀(jì)|=5也km,且N力4。=45°,

故。地相對于8地的位移是西北方向5/km.

三、解答題

9.如圖的方格紙由若干個(gè)邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有

兩個(gè)定點(diǎn)力,8.點(diǎn)。為小正方形的頂點(diǎn)，且［4。=乖.

(1)畫出所有的向量力G

-?

(2)求|回|的最大值與最小值.

——?

解(1)畫出所有的向量力如圖所示.

(2)由(1)所畫的圖知，

—?

①當(dāng)點(diǎn)。位于點(diǎn)G或C時(shí)，|比1取得最小值，百了=近；

②當(dāng)點(diǎn)。位于點(diǎn)心或以時(shí)，|應(yīng)1取得最大值"+52=何,

A\BC\的最大值為兩，最小值為函.

能力提升訓(xùn)練

1.在矩形力頗中，AB=2BC=2,M,川分別為相和繆的中點(diǎn)，在以4B,

C,D,M,"為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，回答下列問題:

(1)與向量力咖等的向量有,向量力加勺相反向量有

____________9

―?-?

⑵與向量4獷相等的向量有,向量4獷的相反向量有

____________,

(3)在模為小的向量中，相等的向量有對；

(4)在模為1的向量中，相等的向量有對.

—?—?—?—?-?

答案⑴助％BCDA,NM,CB

—>—>—?―>—?-?—>

⑵MB,DN,NCMA,BM,ND,CN

(3)4(4)18

~?—?-?

解析(1)與力麗I等的向量有：掰￥BC；

—?—?―?―?

與向量兒湘反的向量有：DA,NM,CB.

—?—?—?-?

(2)與力楙H等的向量有：".DN、NG.

-A—?—?—?-?

與向量力湘反的向量有：物，BM,ND,CN.

—?—?—?—?—?—?—?-?

(3)在模為鏡的向量中，相等的向量有：AN與MC,DM與NB,NA與CM,MD與BN,

共4對.

—?—>

(4)在模為1的向量中，相等的向量有18對.其中與49同向的有3對，與力〃

反向的有3對，與4胴向的有6對，與4皈向的有6對，共18對.

2.一位模型賽車手遙控一輛賽車沿正東方向向前行進(jìn)1米，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)

變。(0。<。<180。)度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)1米，再逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)變a度,

按直線向前行進(jìn)1米，按此方法繼續(xù)操作下去.

(1)按1：100比例作圖說明當(dāng)。=45°時(shí)，操作幾次時(shí)賽車的位移為零;

(2)按此法操作使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，。應(yīng)滿足什么條件？

解(1)如圖所示，操作8次后，賽車的位移為零；

(2)要使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，只需賽車的位移為零，按⑴的方式作圖，則所

作圖形是內(nèi)角為180。一。的正多邊形.

故〃(180°-^)=(77-2)180°.

所以即。=皿竺，〃為不小于3的整數(shù).

n

《6.2平面向量的運(yùn)算》同步練習(xí)

6.2.1向量的加法運(yùn)算

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.在平行四邊形40中，下列式子：

-A-A-A-A—>-A?-?-?>—A-?-?

?AD=AB-\-BDx②]〃③力〃+/厲=/。；?AB+BC=ACx?AD=AB~\~

—?—?—?—?—?

BC+CD；?AD=DC^CA.

其中不正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.4D.6

答案A

—?—?-?

解析DC+CA=DA、故⑥不正確；其他都正確.

2.設(shè)片（46+切+（%+%）,。是任一非零向量，則在下列結(jié)論中，正確

的是（）

①a〃慶②a+6=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+1b|；

⑤Ia+引=Ia|+|引.

A.①②B.?@C.①③⑤D.②④⑤

答案C

解析a=（44+CD）+（歐+DA）=AB+BC+CD+DA=O,易知①③⑤正確.故

選C.

3.已知。，E,/分別是回的邊力區(qū)BC,O的中點(diǎn)，則下列等式中不正

確的是（）

A.FD+DA=FA

―?―?-?

B.F計(jì)DE+EF=O

-?—>—?

C.DE+DA=EC

D.DA+DE=FD

答案D

—?—?—?-?

解析由向量加法的平行四邊形法則可知，DA+DE=DF±FD.

4.已知四邊形力頗是菱形，則下列等式中成立的是（）

A.AB+BC=CAB.AB+AC=BC

C.AC+BA=ADD.AC+AD=DC

答案C

解析由四邊形4外刀是菱形知=夕力，WOAC-\-BA=AC-\-CD=AD.

故選C.

-A-?-?

5.已知△力比的三個(gè)頂點(diǎn)兒B,。及平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足為+如=尸。，則下

列結(jié)論中正確的是（）

A.尸在的內(nèi)部

B.尸在△力成的邊力8上

C.尸在46邊所在的直線上

D.尸在△/回的外部

答案D

解析由處+用=戶何得四邊形臉4為平行四邊形，所以點(diǎn)尸在的

外部.

二、填空題

6.根據(jù)圖示填空.

⑴肪+以=；

—?—?-?

⑵BZO葉D0=；

—?—?-?

(3)A0+0B+BC=_______.

—?―?―?

答案⑴仍⑵4。(3)力。

解析由三角形法則知

(1)AB+OA=OA+AB=OB.

-?—>—>—>—?-?

⑵BZ0計(jì)D0=BD+D0=BO.

―?―?—?―?—?-?

⑶A0+0B+BC=44+BC=AC.

—>—?—?-?—>

7.已知/4=a,BC=b,CD=c>DE=d,AE=e,則a+b+c+d=

答案e

—?—?—?―?―?

解析a+b+c~\-d=AB-\-BC~\~CD+DE=AE=e.

—?—?—?

8.若〃為△力a'的外心，且PA+PB=PC,則N力電.

答案120°

—>-A-A

解析如圖，因?yàn)镻A+PB=PC,

則四邊形/物是平行四邊形.

又產(chǎn)為△月比'的外心，

—?—?-?

所以|川=|陽=|闈.因此，ZACB=120°.

三、解答題

—?—?-?

9.已知矩形ABCD中，寬為2,長為2/，AB=a,BC=b,AC=cf試作出

向量a+6+c,并求出其模的大小.

解如圖，作龍=力￡

則c=AE,

—>—>—?-?

a+b+c=AB+BC+AC=2AC=2c,

???la+b+cl=12AC\=2也+(2啊=8.

能力提升訓(xùn)練

1.在某地大地震后，一架救援直升飛機(jī)從力地沿北偏東60°方向飛行了40

km到4地，再由夕地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，此時(shí)直升飛機(jī)位于力地

_方向，與力地的距離為_______km.

答案北偏東30°40小

—?—?—?

解析如圖所示，設(shè)AB,比分別是直升飛機(jī)兩次位移，貝必旅示兩次位移的

―?―?-?

合位移，即力仁力5+優(yōu)：

在Rt△力劭中，|龐|=20km,

|力。I=2以km,

在Rt△力切中，

1AC=\l\AD\2+\DC\2

=4073km,Z6MP=60°,

即此時(shí)直升飛機(jī)位于4地北偏東30。，與/地的距離為4Mkm.

2.已知船在靜水中的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從

岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，求船行進(jìn)的方向.

解作力6=v水，AD=v^以力員力媯鄰邊作口力比〃

—?

則力6^/實(shí)際，如圖.

由題意可知,

在Rt△力8。中，

----?-?A

|47|=|。水|=10m/min,\BC\=\AD\=\v^\=

-?

,\AB\101

20m/min,cosZ.ABC=-^-=-=-

乙u乙1

\BC\

:?/ABC=60。，從而船與水流方向成120°角.

故船行進(jìn)的方向與水流的方向成1200角.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列運(yùn)算中正確的是1)

—?—>—>>—>—>—>

A.OA-OB=ABB.AB-CD=DB

—?—?—>—?-?

C.OA-0B=BAD.AB—AB=0

答案C

—?―?—?

解析根據(jù)向量減法的幾何意義，知(M—OB=BA,所以C正確，A錯(cuò)誤；B

顯然錯(cuò)誤；對于D,AB-A胞該等于O,而不是0.

2.下列說法錯(cuò)誤的是（）

—?—?—?―?―?―?

A.若OD+OE=O明則OM—OE=OD

—?—?—?—?—?-?

B.若OD+OE=OM,則〃"+%=◎*

—>—>—>—?—>—>

C.若OD+OE=O他則如一反?=〃獷

—>—?—?-?

D.若OD+OE=O機(jī)貝1]〃。+政7=〃獷

答案D

解析由向量的減法就是向量加法的逆運(yùn)算可知，A,B,C都正確.由相反

-?—>—?—?—?-?—>—>"?―?

向量定義知，若OD+OE=OM,地DO+EO=—OD-OE=-（OD+OQ=—OM,故D

錯(cuò)誤.

3.有下列不等式或等式：

①㈤一㈤V\a-\~b\<|a|+|Z>|；

②|&|一|引=|a+b|=㈤+|引；

?|a|—|A|=\a+b\<\a+\b\；

@|a|—I￡>|<Ia-\rb\=Ia+|6|.

其中，一定不成立的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析①當(dāng)a與8不共線時(shí)成立；②當(dāng)a=b=O,或b=0,aWO時(shí)成立;

③當(dāng)a與6方向相反，且川2|引時(shí)成立；④當(dāng)a與6方向用同時(shí)成立.

—>—>->—>-*—>—>—>—>

4.力何以寫成：①力什制②AO-OC；③04-0。@OC-OA,其中正確的是

()

A.①②B.②③C.③④D.①?

答案D

解析由向量的加法及減法定義可知①④符合.

?-?

5.邊長為1的正三角形力8c中，|力8—a1的值為()

A.1B.2C.萼D.#

乙

答案D

-?-A—?-?

解析如圖所示，延長總到點(diǎn)〃，使加=1,連接44則初—%=48+方=

AB+BD=AD.在/\ABD中,AB=BD=ltZABD=i20°,易求4二十，\AB-BC

I=小

二、填空題

6.對于非零向量a,b,當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，有|a—力|=||a|-|b|

答案a與b同向

解析當(dāng)2力不同向時(shí)，根據(jù)向量減法的幾何意義，知一定有|a—引>||司

—1引1，所以只有兩向量同向時(shí)，才有|a—引=|a—\b.

7.如圖所示，在梯形力以力中，力〃〃比；然與必交于點(diǎn)0,則胡一比」如十

OD+DA=

答案CA

—?—?-?—>—>—>—>-*―?

解析BA-BC-勿+0D+DA=CA-\-AD^-DA=CA.

8.如圖，已知業(yè)?6〃步是一正六邊形，0是它的中心，其中如=b,OC=c,

-A

則/?得于_______.

答案b-c

―?―?—?―?―?

解析EF=0A=CB=OB-0C=b-c.

三、解答題

-?—?-?

9.設(shè)。是△49C內(nèi)一點(diǎn)，且力=a,OB=b,OC=c,若以線段小，如為鄰

邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為2再以0C,如為鄰邊作平行四邊形，其第四

-?—>—?

個(gè)頂點(diǎn)為〃試用&b,。表示zr,OH,BH.

解由題意可知四邊形》如為平行四邊形，

：.OD=OA+OB=a+b,

:?DC=OC-0D=c~(a+b)=c~a—b.

又四邊形甌為平行四邊形，

J0H=0D=c+b,

―?―?―?

/.BH=OH—0B=a+b~\~c~b=a+c.

能力提升訓(xùn)練

1.設(shè)平面向量國，金,區(qū)滿足&一包+a,=0,如果平面向量》，a,從滿足

=且a,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后與瓦同向,其中7=1,2,3,則6—&+&

答案0

解析將&順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得,則國'-a/+&'=0.又???也與

同向，且I)I=|&|,，打一員+&=0.

-?

2.已知△4比是等腰直角三角形，/力。=90°,"是斜邊力5的中點(diǎn)，CM=

a,CA=b.

求證：(1)\a-b\=\a\；

(2)\a+(a—b)\=\b\.

證明因?yàn)椤?8C是等腰直角三角形，ZACB=90°,

所以CA=CB.

又"是斜邊力8的中點(diǎn)，所以CM=AM=BM.

—>—?-?—>—?

⑴因?yàn)锧/一。=4欣又4〃=|CM,

所以|a—6|=|a|.

⑵因?yàn)橥切边?8的中點(diǎn)，所以A,W=MB,

所以a+(a-b)=C什(CM-CA)=CV+44CM+MB=CB,

因?yàn)閨a|=|第,

所以|a+(a—b)\=\b.

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列各式計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（）

①（-7）-5&=—35&②a—2b+2（a+力）=3比③a+6—（a+5）=0.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律可驗(yàn)證①②正確；③錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄康暮?、?/p>

及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍為一個(gè)向量，而不是實(shí)數(shù).

2.如圖所示，〃是△4%的邊48上的中點(diǎn)，則向量5=（）

A.BC—~BA

乙

―?-A

B.一況十；加

-A-A

C.-BC-^BA

乙

D.BC+JBA

答案B

解析解法一：???〃是48的中點(diǎn)，，加="胡,

乙

—>—>-?—>—>

???CD=CB+BD=-BC+'A.

乙

解法二：由〃=:(=+Gl)=!3+(CB+BA)]=CB+』BA=-BC+^BA.

f廠ff

3.設(shè)44=半(a+5b),-2a+86,。。=3(8-6),則共線的三點(diǎn)是

乙

A.4B,DB.ArB,CC.B,C,DD.力，C,D

答案A

fff-、歷f

解析?:BD=BC+CD=a+3b,AB=，BD,：?A,B,〃三點(diǎn)共線.故選

乙

A.

4.若熊=3a,CD=-5a，且|力〃|=|a1，則四邊形然笫是（）

A.平行四邊形B.菱形

C.等腰梯形D.不等腰的梯形

答案C

3

解析因?yàn)?4一￡切，所以AB//CD,且|力引￥|口.而|助=|6C],所以

□

四邊形4時(shí)為等腰梯形.

5.在平行四邊形力靦中，力C與切交于點(diǎn)0,￡是線段勿的中點(diǎn)，力￡的延

―?―?—?

長線與口交于點(diǎn)五若40=a,BD=b,貝必償于（）

AE

解析如圖所示，???￡是勿的中點(diǎn)，???勿=；9=%又△力砥s△核.?.6

44rC

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

BE33+?,1,14

=-=pC,AE=3EF,AE=^AF,在△A力施1中，4￡=力〃+應(yīng)、=ga+彳6,/.AF=~AE

21

=逆+可6.故選B.

OO

二、填空題

6.設(shè)e,也是兩個(gè)不共線的向量，若向量Ae+2也與8a+Aa方向相反,

則k=.

答案一4

解析?.,晶+2金與8e+A比共線，

.*.Aei+2e.=4(8s+A&；=843+入ke”

a=-4.

與8e1+4優(yōu)反向，??.4=-J,A=—4.

乙

7.若a=一臺(tái)+3e，6=4e1+2e，c=-3ei+12e2,則向量a寫為人6+42c

的形式是.

17

答案一而8+而0

解析若a=才力+42。,則一8+3a=，(4ei+2a)+，2(—3@+12戰(zhàn)),

?*.—e+3@=(441—342)R—(2兀i+1242)e2.

A?=——,

424九一+31422=(-=1,3.解得j718

九=藥

8.如圖，在△48C中，點(diǎn)。是比的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線力反AC

于不同的兩點(diǎn)MN,若AB=niA根AC=nAN,則加+〃的值為—

答案2

—>—>—>—?—>——>—>—>—>

解析解法一：因?yàn)锳B=mAM,AC=nAN,所以4獷=±45A/HAC,貝心外三4V

mn

—>—?—?

11

—Af/=-/lC—AB.

nm

因?yàn)辄c(diǎn)。為優(yōu)的中點(diǎn)，連接力。，所以切=同7+梟。,則/川=4。一和懸力4+

乙乙乙

11

-AC一一AB=因?yàn)闄C(jī)0,N三點(diǎn)共線，所以可設(shè)桃片兒外

2m乙mj/

riniAA

AC=O

則1+力t

11,A

①一藍(lán)％=3

由于力反力壞共線，所以〈

1A

5-=°'

消去才得〈一,+4=0,變形整理可得勿+〃=2.

2m2m

解法二：在%中，連接力〃由于〃是勿的中點(diǎn)，

—>—>—>—?—

因止匕40=5(力8+=%8+)4C

乙乙乙

—>—>—>—>

由于48=/zz4優(yōu)AC=nANf

―?―?-?

貝！JA0=gm冊f+4M

乙乙

由于機(jī)0,“三點(diǎn)共線，則5M~)〃=1，

乙乙

從而/〃+〃=2.

三、解答題

-?-A-?

9.設(shè)e,比是兩個(gè)不共線的向量，如果力428一電，3C=3ei+e2,CD=7e\

一6包.

(1)求證：4B,〃三點(diǎn)共線；

(2)試確定義的值，使2久。+。和。+4免共線；

(3)若e+4免與入公不共線，試求力的取值范圍.

―?―?—?

解⑴證明：因?yàn)檑?%+0=3良+兔+78—6。=10&-5e=5(2良一史)

=5AB,

—?—?

所以然與財(cái)線.

因?yàn)锳B與即有公共點(diǎn)3,所以4B,〃三點(diǎn)共線.

(2)因?yàn)?4e+比與e+4e共線，

所以存在實(shí)數(shù)〃，使2〃(e+4金).

24=〃，所以"土東

因?yàn)閑-不共線，所以匚“

(3)假設(shè)8+入a與4良+比共線,

則存在實(shí)數(shù)〃，使@+/1&=〃（4&+0）.

1=4〃,

因?yàn)?,&不共線，所以1所以A=±l.

所以當(dāng)4W±1時(shí)，e+4比與Xa+e不共線.

能力提升訓(xùn)練

-?-A—?—?-A

1.如圖所示，向量物,0B,比的終點(diǎn)4B,。在一條直線上，且力。=-3⑦

-A―?—?

設(shè)%=pOB=q,OC=r,則以下等式中成立的是（）

解析?：OC=OB+BC,AC=-3CB=3BCt：.BC=T；AC.：.0C=0B燃AC=0B燃

ooo

{OC-OA)?r=q+；(ip)./.r=-

o乙乙

i9

2.設(shè)D,￡分別是△力宏的邊AB,優(yōu)上的點(diǎn)，力BE=~BC.若龍=入泊B

-?

+兒/。（兒，（為實(shí)數(shù)），則九+九的值為.

A

答案|

21

解析由已知DE=BE—BD=4BC—：BA

J/

—?—?—?—?-?

2112

=-(AC—AB)-\--AB=--AB-\--AC,

3Z63

..__1-2

??36，(A-3，

從而4+42=:

乙

6.2.4向量的數(shù)量積

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知|a|=2,|b\=4,a?/>=—4,則向量3與6的夾角為()

A.30°B.60°C.150°D.120°

答案D

a?b-4

解析cos—~iII,I-94——gf**"￡[0°,180°],***0=120°.

I3D，Xv4乙

故選D.

2.已知向量a,b滿足a?b=0,|a|=l,Ib\=2,貝U|2a—b|=()

A.0B.2y/2C.4D.8

答案B

解析V\2a-b\2=4a-4a-A+tf=8,：.\2a-b\=2y(2.

3.若平面四邊形4?切滿足力加?切=0,（AB-AJJ）?力仁0,則該四邊形一定

是（）

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

答案C

解析由47+勿=0,得平面四邊形力仇》是平行四邊形，由（AB-AD）-AC=

0,得如?/C=0,即平行四邊形/靦的對角線互相垂直，則該四邊形一定是菱

形.

4.若非零向量b滿足|以||引,且（月一⑹I（3月+28），則以與上的

夾角為（）

JiJI3n

A.-B.-C.—D.n

424

答案A

2

解析由題意，得（a—6?（3a+2Z＞）=3a—2Zr—a?b=0f即己?6=3/一

261又|a|6|,所以a?6=3x（^^］引）—2"=，，所以cos（a,b）=

5.已知小。是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若非零向量。滿足（a-

c）.（Z,-c）=0,貝Hc|的最大值是（）

A.1B.2C.^2D.平

答案C

解析因?yàn)閨a|=|b|=La?力=0,（a—c）?（b—c）=-c?（a+6）+|

=-Ic||a+b|cos，+|c「=0,其中。為c與a+力的夾角，所以|c|=|a+

b\?cos夕=，^cos，所以c|的最大值是，故選C.

二、填空題

6.已知向量a,6的夾角為45°,且|印=4,但十@?(2a—36)=12,則

㈤=________；6在&上的投影向量的模等于________.

答案小1

解析a?b=\a\|Z?|cos〈a,b)=4\b\cos45°=2y[2\b\,

又(ga+@?(2a—36)=|a『+；a?6-3|b/=16+，^|b|-3|b/=i2,解得

\b=/或|6=一邛2(舍去).

6在a上的投影向量的模為I|b|cos〈a,b)|=，^cos45°=1.

7.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(l—力6.若b?c=0,

則t=.

答案2

解析由題意，將b?c=[ta-\-(1—t)b\?b整理，得ta?b+(1—f)=0,

又a?b=1,所以t=2.

乙

8.在平行四邊形力及力中，49=1,NBAD=60°,￡為勿的中點(diǎn).若AC?BE

=1,則力〃的長為.

答案I

―?―?—?—?―?—?—?—?―?—?—?-?

解析因?yàn)閮?chǔ)=物+業(yè)計(jì)〃所以AOBE=Q1B

1.11o1.1,

+AD)?AD--AR=Aff+-AD*1+-X1X|cos60°--\AB\2

y2J///z

—?-?-?

所以。必一1四|2=0,解得[初=].

勺乙乙

三、解答題

9.己知2力是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a+仍&WR）的模取得最小值時(shí),

（1）求2的值（用&6表示）；

（2）求證：6與a+仍垂直.

解⑴|a+法「=/+4+2市?，

當(dāng)￡=一早a?h時(shí)，g+加取得最小值.

O

a?b

⑵證明：因?yàn)椋╝+仍）?6=a?6+行=a?6百一X6=0,所以a+tb

與。垂直.

能力提升訓(xùn)練

1.設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-6)_Lc,aLb,若|a|=l,則

+叱+cl之的值是________.

答案4

解析由a+b+c=0,得(a+b+c)2=0,得

a2+tf+c2+2(a?b+b?c+c?a)=0.

又(a—b)J_c,a_Lb,

(a~b)?c=0,a?6=0.，a?c=b?c.

?工仔+Z^+4=—4。?c,〃+"=—1—4b?c.①

由a+b+c=0,得萬+c=-a,

故(6+c)2=1,即b?+c，+25?c=1.②

由①②得力-c=-1,故才+加+/=4,即|丁+|引2+|C1=4.

2.在四邊形力比力中，己知［8=9,BC=6,CP=2PD.

(1)若四邊形力比P是矩形，求心?出的值；

—?—?—?-?

(2)若四邊形業(yè)加9是平行四邊形，且"?即=6,求力度力映角的余弦值.

解⑴因?yàn)樗倪呅嗡摹Ｊ蔷匦?，所??戊=0,

122

由CP=2PD,得DP=*,CP=-CD=--DC.

oJJ

—?—?—?—?—>—?

所以AP?BP=(AD+DP)?〈BC+CP)

Jf、1、

12

=AD+&DC*AD--DC

kJ1I3/

-A-A-A-?

122

=Aff--AD*。。一k初=36—^X81=18.

jyy

-A-A—?—?-A-A-A

(2)由題意，AP=AD+DP=AD+\DC=4葉

Ju

-?-A-A-A-A-A-?

22

BP=BC+CP=BC+-CD=AD--AB,

<5<5

一一Lf1)

所以儼即=AD+\AB*AD-^AB

—>—?-?-?

i2

=A4一RAB?AD--Aff

—>—>—?-?

=36-*48?00-18=18一"48?AD.

oJ

—?—>

又4P.BP=6,

~?—?

所以18-96?4?=6,

J

—?—?

所以肥?4=36.

—?-?-?—>

又AB?AD=\AB\|i4P|cos6=9X6Xcos"=54cos。，

2

所以54cos。=36,即cos0=-

o

2

所以AB與A映角的余弦值為市

《6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》同步練習(xí)

6.3.1平面向量基本定理

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

—?―?―?

1.在矩形//靦中，。是對角線的交點(diǎn)，若BC=&,DC=a,則%=()

A.1(ei+e>)B.g(8-e)

C.)(2比一a)D.；(史一e】)

乙乙

答案A

—?—?—?-?

解析因?yàn)?是矩形47徵對角線的交點(diǎn)，BC=&,DC=%,所以宓=；(a+

—?

DC)=|(?1+?2).故選A.

—―?—?—?-?

21

2.在LABC中，點(diǎn)、P是AB上一點(diǎn),且但可。+鼻面，又AP=tAB,則力的

值為()

1215

A.-B.-C.-D.-

JJ/J

答案A

-A—>—>—>—?-A-A—>—>

解析CP—CA=^ACB—CA)=\AB,即力尸=%〃.又如=；?方=1.故選

JJJJ

A.

―?―?—A—?-?

3.如圖，在中，尸為線段49上一點(diǎn)，0P=xOA+yOB,且檔3必，則

()

B

21「12

A.x=~fy=~B.x=~,y=-

c13n31

C?x=Ty=4D-x=疝尸彳

答案D

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

3i

解析由已知"=3為，舄0P-04”0A-0P）,整理，得以=［如+］比，故

31

『，『

AF1

4.如圖，在△力8。中，/。是6。邊上的中線，尸是4〃上的一點(diǎn)，且而=不

FD5

AE

連接〃'并延長交力8于點(diǎn)反則滓于（）

A\

F~~D----、

1111

A---R-C-D---

123510

答案D

—?―??—?-?—>—>?

AEyAF1.,11z

解析設(shè)AC=b,-ETX^:HT^：.CF=CA+AF=CA+-AD=-{AB

—?—?—?―?-?-??—?—?—?—?

八111111AA

+4。-AC=~7^AB~~^AC=—；a~—b.CE=CA-^AE=CA+-^—rAB=-^—rAB-AC

［乙1141Z1/1141I人

-A-A

ff111（AA

.,ab.又6F與以共線，網(wǎng)汲CF—kCE,貝U/—12”—41+4'）

1"T人

故選D.

5.已知兒B,。是平面上不共線的三點(diǎn)，。是△力8。的重心，動(dòng)點(diǎn)尸滿足俯

=（為+劫+2宓,則點(diǎn),一定為（）

A.48邊中線的中點(diǎn)

B.48邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）

C.△/]回的重心

D.18邊的中點(diǎn)

答案B

-?—?—?

解析???。是△力■的重心，???。+。8+。。=0,

???0—優(yōu)，+2叱=1%,???點(diǎn)〃是線段3的中點(diǎn)，即4?邊中線的三等

分點(diǎn)（非重心）.故選B.

二、填空題

6.已知8,改是兩個(gè)不共線的向量，a=A1+（l—芋ja與b=2e+3a共線，

則實(shí)數(shù)k=.

答案一2或;

O

5k

必1一萬

解析由題設(shè)，知了=「^,

乙J

???3〃+54-2=0,解得*=一2或）

O

7.如圖，在△[8。中，AB=2,BC=3,N48C=60°,加/_L5C于點(diǎn)〃，"為

力，的中點(diǎn),若444月8+〃6G貝！|4+〃=.

A

小自2

答案可

o

解析在△力合，中，BH=、B=3

YBC=3,：.BH=\BC.

o

-A-A-A-A-A

，AH=AB+BH=AB^BC,

J

???"為力〃的中點(diǎn)，

-?-??-?

:.AM=^AH=\AB-Y\BC.

ZZO

-?-A-A

9：AM=AAB+“BC,

…1.12

??入+〃=尹十亍

—?—>—>

8.如圖，在正方形力用力中，設(shè)AB=a,AD=b,BD=c,則在以仿，6｝為基

底時(shí)，力阿表示為,在以｛a,c｝為基底時(shí)，力阿表示為—

答案a+b2a-]-c

解析以仿，6｝為基底時(shí)，由平行四邊形法則即得.以｛a,。｝為基