2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（湘教版）第一章 二元一次方程組（壓軸題專練）（解析版）

第一章二元一次方程組（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）已知中每一個數(shù)值只能取2、0、中的一個，且滿足，，則中0的個數(shù)是（

）A．20 B．19 C．18 D．17【答案】C【分析】先設(shè)有個取，個取2，根據(jù)，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，求出，的值即可．【詳解】解：設(shè)有個取，個取2，有，解得，所以0的個數(shù)是（個）．故選：C2．（2022下·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中校考期中）已知正整數(shù)a，b，c，d滿足，且，關(guān)于這個四元方程下列說法正確的個數(shù)是（

）①，，，是該四元方程的一組解；②連續(xù)的四個正整數(shù)一定是該四元方程的解；③若，則該四元方程有21組解；④若，則該四元方程有504組解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將，，，代入到四元方程中看等式兩邊是否相等即可判斷①；設(shè)，然后代入四元方程即可判斷②；先證明，同理得到，即可推出得到，據(jù)此即可判斷③；根據(jù)③所求可以推出，由此即可判斷④．【詳解】解：當(dāng)，，，時，方程左邊，方程右邊，∴方程左右兩邊相等，∴，，，是四元方程的一組解，故①正確；設(shè)，∴，，∴當(dāng)，四元方程左右兩邊相等，∴連續(xù)的四個正整數(shù)一定是該四元方程的解，故②正確；∵，，且c、d均為正整數(shù)，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴，∴時，或或或或或，同理時，或或或或，時，或或或，，時，，∴當(dāng)，該四元方程一共有組解，故③正確；由③得，∵，∴，∴，∵a，c都是正整數(shù)，且，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，∴滿足題意的a、b、c、d的值有504組，∴若，則該四元方程有504組解，故④正確；故選D．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）中國減貧方案和減貧成就是史無前例的人類奇跡，聯(lián)合國秘書長古特雷斯表示，“精準(zhǔn)扶貧”方略幫助貧困人口實現(xiàn)2030年可持續(xù)發(fā)展議程設(shè)定的宏偉目標(biāo)的唯一途徑，中國的經(jīng)驗可以為其他發(fā)展中國家提供有益借鑒，為了加大“精準(zhǔn)扶貧”力度，某單位將19名干部分成甲、乙、丙三個小組到村屯帶領(lǐng)50個農(nóng)戶脫貧，若甲組每人負(fù)責(zé)4個農(nóng)戶，乙組每人負(fù)責(zé)3個農(nóng)戶，丙組每人負(fù)責(zé)1個農(nóng)戶，則分組方案有（）A．6種 B．5種 C．4種 D．30種【答案】B【分析】設(shè)甲組有名干部，乙組有名干部，則丙組有名干部，根據(jù)將19名干部分成甲、乙、丙三個小組到村屯帶領(lǐng)50個農(nóng)戶脫貧，若甲組每人負(fù)責(zé)4個農(nóng)戶，乙組每人負(fù)責(zé)3個農(nóng)戶，丙組每人負(fù)責(zé)1個農(nóng)戶，列二元一次方程，求解即可．【詳解】設(shè)甲組有名干部，乙組有名干部，則丙組有名干部，由題意得，化簡得，∴，∴當(dāng)時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，當(dāng)時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，當(dāng)時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，當(dāng)時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，當(dāng)時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，綜上，有5種方案，故選：B．4．（2023下·福建漳州·七年級統(tǒng)考期中）某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，決定讓各班去購買跳繩和毽子作為活動器械．七年1班生活委員小亮去購買了跳繩和毽子共5件，已知兩種活動器械的單價均為正整數(shù)且跳繩的單價比毽子的單價高．在付款時，小亮問是不是30元，但收銀員卻說一共45元，小亮仔細(xì)看了看后發(fā)現(xiàn)自己將兩種商品的單價記反了，則小亮實際購買情況是（

）A．1根跳繩，4個毽子 B．3根跳繩，2個毽子C．2根跳繩，3個毽子 D．4根跳繩，1個毽子【答案】D【分析】設(shè)實際小亮去購買跳繩根，購買毽子件，則，得且是正整數(shù)，設(shè)跳繩單價為元，毽子單價為元，且，得，且是正整數(shù)，依題意得由得即，且是正整數(shù)，由得，即，，建立方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)實際小亮去購買跳繩根，購買毽子件，則，且是正整數(shù)，設(shè)跳繩單價為元，毽子單價為元，且，，且是正整數(shù)，依題意得：，由得：，即，即，，且是正整數(shù)，由得：，，，，解得：，故選：D．5．（2023下·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）對于x，y定義一種新運(yùn)算F，規(guī)定（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：，若，，下列結(jié)論：①；②若，則m，n有且僅有4組正整數(shù)解；③若對任意實數(shù)x，y均成立，則．正確的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算可得，可得，可得，再根據(jù)運(yùn)算法則逐一分析各說法即可．【詳解】解：∵，，，∴，解得：，∴，∴，故①符合題意；∵，∴，整理得：，∴其正整數(shù)解為：，，，，故②符合題意；∵，∴，∴，上式對任意實數(shù)x，y均成立，∴，∴，故③符合題意；故選A6．（2023上·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期末）已知m，n均為正整數(shù)且滿足，則的最大值是（

）A．16 B．22 C．34 D．36【答案】D【分析】由得.由于，據(jù)此列出關(guān)于m、n的方程組，求出每一組m、n的值，再求出相應(yīng)的的值，即可找到的最大值.【詳解】由得∵m，n均為正整數(shù)或或或或或或

或解得或或或或或或或∴或22或18或16∴的最大值是36故選：D7．（2022下·浙江舟山·七年級統(tǒng)考期末）若方程組的解是，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，再設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程組，再得其解即可．【詳解】解：將變形為,設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，則原方程變形為：，因為方程組的解是，所以，解得：，所以方程組的解是，故選：A．8．（2022下·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程組的解是，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程組變形為，進(jìn)而可得到，求解即可．【詳解】解：方程組變形為，∴由題意知，，解得，故選：C．9．（2022下·福建福州·七年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校┯萌鐖D①中的長方形和正方形紙板為側(cè)面和底面，做成如圖②的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒（圖2中兩個盒子朝上的一面不用紙板）．現(xiàn)在倉庫里有m張長方形紙板和n張正方形紙板，如果做兩種紙盒若干個，恰好使庫存的紙板用完，則的值有可能是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】設(shè)做豎式的無蓋紙盒為x個，橫式的無蓋紙盒y個，由所需長方形紙板和正方形紙板的張數(shù)列出方程組，再由x、y的系數(shù)表示出m+n并判斷m+n為5的倍數(shù)，然后選擇答案即可．【詳解】解：設(shè)做豎式的無蓋紙盒為x個，橫式的無蓋紙盒為y個，根據(jù)題意得：，整理得：m+n＝5（x+y），∵x、y都是正整數(shù)，∴m+n是5的倍數(shù)，∵2020、2021、2022、2023四個數(shù)中只有2020是5的倍數(shù)，∴m+n的值可能是2020．故選：A．10．（2019下·浙江湖州·七年級?？计谥校┈F(xiàn)有如圖（1）的小長方形紙片若干塊，已知小長方形的長為a，寬為b．用3個如圖（2）的全等圖形和8個如圖（1）的小長方形，拼成如圖（3）的大長方形，若大長方形的寬為30cm，則圖（3）中陰影部分面積與整個圖形的面積之比為()A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖③可知3個小長方形的寬與1個小長方形的長的和等于大長方形的寬，小長方形的4個長等于小長方形的3個長與3個寬的和，可列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組得出a，b的值；利用a，b的值分別求得陰影部分面積與整個圖形的面積，即可求得影部分面積與整個圖形的面積之比．【詳解】解：根據(jù)題意、結(jié)合圖形可得：，解得：，∴陰影部分面積，整個圖形的面積，∴陰影部分面積與整個圖形的面積之比，故選B．11．（2020下·七年級統(tǒng)考課時練習(xí)），其中，，，，是常數(shù)，且，則，，，，的大小順序是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本方程組涉及5個未知數(shù)，，，，，如果直接比較大小關(guān)系很難，那么考慮方程①②，②③，③④，④⑤，⑤①均含有兩個相同的未知數(shù)，通過可得，，，，的大小關(guān)系．【詳解】方程組中的方程按順序兩兩分別相減得，，，．∵∴，，，，于是有．故選C．二、填空題12．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期中）若方程組的解是，則方程組的解是．【答案】【分析】由方程組的解是得，兩式相加得，對兩式相加變形得即，對方程進(jìn)行比較即可求解．【詳解】解：的解是，，由得：，，得：，則，即，，，故答案為：．13．（2023下·湖北·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解為，則關(guān)于m、n的方程組的解為；【答案】/【分析】由題意可知，將代入計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，解得，∴關(guān)于m，n的方程組的解為故答案為：．14．（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為慶祝五一勞動節(jié)，某電商推出適合不同人群的甲，乙兩種袋裝混合堅果．其中，甲種堅果每袋裝有4千克堅果，1千克堅果，1千克堅果；乙種堅果每袋裝有1千克堅果，2千克堅果，2千克堅果．甲，乙兩種袋裝堅果每袋成本價分別為袋中的，，三種堅果的成本價之和．已知堅果每千克成本價為5元，甲種堅果每袋售價為59.8元，利潤率為30%，乙種堅果的利潤率為20%．若這兩種袋裝堅果的銷售利潤率達(dá)到24%，則該電商銷售甲，乙兩種袋裝堅果的數(shù)量之比是．【答案】/【分析】首先求出甲種堅果中每袋成本價，再求出1千克堅果的成本價1千克堅果的成本價，進(jìn)而得出乙種堅果每袋售價，然后設(shè)該電商銷售甲種袋裝堅果袋，乙種袋裝堅果袋，再根據(jù)題意，列出方程求出比例關(guān)系即可．【詳解】解：∵甲種堅果每袋售價為元，利潤率為，∴甲種堅果中每袋成本價為元，∵甲種堅果每袋裝有4千克堅果，1千克堅果，1千克堅果，∴1千克堅果的成本價1千克堅果的成本價（元），∵乙種堅果每袋裝有1千克堅果，2千克堅果，2千克堅果，∴乙種堅果每袋成本價為（元），∴乙種堅果每袋售價為（元），設(shè)該電商銷售甲種袋裝堅果袋，乙種袋裝堅果袋，根據(jù)題意，可得：，整理，可得：，∴，∴該電商銷售甲，乙兩種袋裝堅果的數(shù)量之比是．故答案為：15．（2023上·重慶九龍坡·九年級校考階段練習(xí)）如果一個四位自然數(shù)滿足，那么稱這個四位數(shù)為“弦歌六秩數(shù)”．例如：四位數(shù)2023，不是“弦歌六秩數(shù)”；又如：四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”．若四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”，則與的關(guān)系為；若“弦歌六秩數(shù)”滿足它的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與它的后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被11整除，且滿足它的前三位數(shù)字組成的三位數(shù)與它的個位數(shù)字之和能被10整除，則滿足條件的“弦歌六秩數(shù)”的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)“弦歌六秩數(shù)”的定義可得，則；根據(jù)“弦歌六秩數(shù)”的定義可得，由推出一定能被10整除，再根據(jù)c、d的取值范圍確定出，由一定能被11整除，推出一定能被11整除，進(jìn)而得到或，再證明；要保證四位數(shù)最小，則a要最小，只需要根據(jù)題意求出當(dāng)時，滿足題意的四位數(shù)即可．【詳解】解：∵四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”，∴，∴；∵四位數(shù)是“弦歌六秩數(shù)”，∴，∴，∵“弦歌六秩數(shù)”滿足它的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與它的后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)之差能被11整除，且滿足它的前三位數(shù)字組成的三位數(shù)與它的個位數(shù)字之和能被10整除，∴（k為整數(shù)），（m為整數(shù)），∴（m為整數(shù)），∴一定能被10整除，∵，∴，當(dāng)，即時，則，∵不能被11整除，∴不符合題意；∴，即，∴，∵一定能被11整除，∴一定能被11整除，∵，∴，∴或，∵，∴，∴，∵要保證四位數(shù)最小，∴a要最小，∴當(dāng)時，則或，∴或，∴或，當(dāng)時，則，此時，∴此時滿足題意的四位數(shù)為；當(dāng)，∴，∴b為奇數(shù)，∴當(dāng)時，，則，∴四位數(shù)為，此時不滿足，不符合題意；同理，當(dāng)時，不滿足，不符合題意；當(dāng)時，，則，不符合題意；∴在保證a最小的情況下，只有數(shù)字符合題意，∴滿足條件的“弦歌六秩數(shù)”的最小值為；故答案為：；．16．（2023上·重慶·九年級重慶一中?？计谥校┤绻粋€四位自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且，滿足，那么稱這個四位數(shù)為“中和數(shù)”，例如：四位數(shù)5138，∵，∴5138是“中和數(shù)”；又如四位數(shù)7162，∵，∴7162不是“中和數(shù)”．已知一個四位自然數(shù)（其中），若M是一個“中和數(shù)”，且M能被14整除，將M的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和記為，個位數(shù)字與十位數(shù)字的差記為，則滿足條件的的最小值為．【答案】【分析】本題考查的是數(shù)的整除，乘法分配律的靈活應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解問題，由，可得能被14整除，再分類討論即可．清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵（其中），∴，∵M(jìn)是一個“中和數(shù)”，則，∴，∵M(jìn)能被14整除，∴能被14整除，∵，，且，為整數(shù)，∴，∴或或，當(dāng)時，，此時，∴，∴，，∴，當(dāng)時，，，，，此時，不符合題意，舍去，或，或，∴或，∴或，當(dāng)時，，此時，不符合題意舍去；∴最小值，故答案為：17．（2023上·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┪覀儼?3的倍數(shù)稱為“大吉數(shù)”，判斷一個數(shù)是否是大吉數(shù)，可以用的末三位數(shù)減去末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)，其差記為，如果是“大吉數(shù)”，這個數(shù)就是“大吉數(shù)”．比如：數(shù)字253448，這個數(shù)末三位是448，末三位以前是253，則，因為，所以是“大吉數(shù)”，那么253448也是“大吉數(shù)”．若整數(shù)（其中，且為整數(shù)）是“大吉數(shù)”，則．若均為“大吉數(shù)”，且，（，且、、均為整數(shù)），則的最大值為．【答案】91819【分析】本題考查新定義的運(yùn)算，一次方程及整除問題，根據(jù)新定義，列出一次方程，求出未知數(shù)的值，即可．解題的關(guān)鍵是理解新定義，根據(jù)新定義列出方程．本題的難度較大，屬于填空題中的壓軸題．【詳解】解：∵整數(shù)（其中，且為整數(shù)）是“大吉數(shù)”，∴能被13整除；∵，∴能被13整除，∴，∴，∴；∵，是“大吉數(shù)”，∴，是“大吉數(shù)”，∴能被13整除，∴能被13整除，∵，∴，∴，∴，∴，∵是“大吉數(shù)”，∴，是“大吉數(shù)”，∴，能被13整除，∴能被13整除，∵，∴，∴當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，不存在滿足條件；當(dāng)時，不存在滿足條件；當(dāng)時，，此時，綜上：或，∴或；∴或；∴的最大值為819．故答案為：．18．（2023上·重慶江北·八年級重慶市兩江育才中學(xué)校校考期中）如果一個三位數(shù)的十位數(shù)字等于它的百位和個位數(shù)字的差的絕對值，那么稱這個三位數(shù)為“奇異數(shù)”，如：三位數(shù)，∵，∴是“奇異數(shù)”，把一個奇異數(shù)m的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉，得到三個兩位數(shù)，這三個兩位數(shù)之和記為，把m的百位數(shù)字與個位數(shù)字之差的2倍記為，則的值為；若三位數(shù)A是“奇異數(shù)”，且是完全平方數(shù)，且百位數(shù)字小于個位數(shù)字，請求出所有符合條件的A的最大值為．【答案】【分析】本題考查了新定義，整式的加減運(yùn)算，二元一次方程；根據(jù)題意求出和，然后相加即可；設(shè)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，表示出和，求出，根據(jù)是完全平方數(shù)，得出，再根據(jù)題意求出，可能的取值，即可確定所有符合條件的A的值，問題得解．【詳解】解：由題意得：，，∴；設(shè)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，由題意可得：，，，，、為正整數(shù)，，是完全平方數(shù)，，，，，，，又，，符合條件的為或或或，所有符合條件的的最大值為，故答案為：；．三、解答題19．（2023下·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于，的方程組（是常數(shù)）．(1)當(dāng)時，則方程組可化為．①請直接寫出方程的所有非負(fù)整數(shù)解．②若該方程組的解也滿足方程，求的值．(2)當(dāng)時，如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】(1)①，②(2)或0【分析】（1）①根據(jù)，為非負(fù)數(shù)即可求得方程的所有非負(fù)整數(shù)解；②先解方程組，然后將，的值代入方程中即可獲得答案；（2）將代入原方程組，利用加減消元法得到，再根據(jù)方程組有整數(shù)解，且為整數(shù)，分情況討論即可．【詳解】（1）解：①∵，為非負(fù)整數(shù)，∴方程的所有非負(fù)整數(shù)解為，；②∵根據(jù)題意可得，解得，將代入中，解得；（2）當(dāng)時，原方程組可化為，由，可得，整理可得，∵方程組由整數(shù)解，且為整數(shù)，∴或，當(dāng)時，解得，此時方程組的解為；當(dāng)時，解得，此時方程組的解為（舍去）；當(dāng)時，解得，此時方程組的解為；當(dāng)時，解得，此時方程組的解為（舍去）．綜上所述，整數(shù)的值為或0．20．（2023下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并回答下列問題：當(dāng)m，n都是實數(shù)，且滿足，就稱點為“郡麓點”．例如：點，令，得，，所以不是“郡麓點”；點，令，得，所以是“郡麓點”．(1)請判斷點點，是否為“郡麓點”：______；(2)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點是“郡麓點”，求的值；(3)若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點是“郡麓點”，求正整數(shù)a，b的值．【答案】(1)不是“郡麓點”，是“郡麓點”；(2)10(3)或或或．．【分析】（1）根據(jù)“郡麓點”的定義分別判斷即可；（2）先關(guān)于x，y的方程組的解，直接利用“郡麓點”的定義得出關(guān)于方程，解方程求出的值進(jìn)而得出答案．（3）先關(guān)于x，y的方程組的解，直接利用“郡麓點”的定義得出關(guān)于、的二元一次方程求出正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：點，令，得，，不是“郡麓點”，點，令，得，，是“郡麓點”；故答案為：B．（2）解：方程組的解為，點，是“郡麓點”，，，，，解得的值為10．（3）解：方程組的解為，點是“郡麓點”，，，，，解得，a，b為正整數(shù)，或或或．21．（2023下·福建泉州·七年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別、，且滿足，O為原點；在A、B兩點處各放一個檔板，M、N兩個小球同時從數(shù)軸上的C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動，N以每秒4個單位的速度向數(shù)軸的正方向運(yùn)動，小球碰到檔板后立即向反方向運(yùn)動且速度不變，設(shè)小球的運(yùn)動時間為秒鐘（）

(1)填空：線段AB的長為．(2)若M小球第一次碰到A檔板時，N小球剛好也是第一次碰到B檔板，試確定點C的位置．(3)當(dāng)時，試判斷的值是否隨時間的變化而變化？若它的值不變，請求出該值；若它的值會變，請通過計算說明理由．【答案】(1)(2)點C在原點位置(3)不變，【分析】（1）根據(jù)絕對值和偶次冪的非負(fù)性，列方程組求解即可；（2）根據(jù)題意列關(guān)于t的方程，解方程進(jìn)而即可求解；（3）表示出當(dāng)時，的值就可得的關(guān)系式，即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．（2）根據(jù)題意得，解得：，，∴點C在原點位置．（3）當(dāng)時，，∴，∴的值不會隨時間的變化而變化．∴．22．（2023下·北京海淀·七年級清華附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對于與原點不重合的兩個點和，關(guān)于，的方程稱為點的“照耀方程”．若是方程的解，則稱點“照耀”了點例如，點的“照耀方程”是，且是該方程的解，則點“照耀”了點．(1)下列點中被點“照耀”的點為____________．，，(2)若點同時被點和點“照耀”，請求出，(3)若個不同的點，，…，，每個點都“照耀”了其后所有的點，如“照耀”了，，…，，“照耀”了，，…，，……“照耀”了，請寫出的最大值，并說明理由．【答案】(1)(2)，(3)的最大值為3；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題目中給出的定義進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（3）根據(jù)二元一次方程組只有一個解解答即可．【詳解】（1）解：點的照耀方程為：，把點代入得：，∴點不是被點“照耀”的點；把點代入得：，∴點不是被點“照耀”的點；把點代入得：，∴點是被點“照耀”的點；故答案為：．（2）解：點的照耀方程為：，點的照耀方程為：，解方程組得：，∴點C為，即，．（3）解：的最大值為3；理由如下：設(shè)點，則關(guān)于點的照耀方程為，設(shè)點，則關(guān)于點的照耀方程為，設(shè)點是被和的“照耀”的點，∴是方程組，∵方程組為關(guān)于x、y的二元一次方程組，又∵二元一次方程組只有一個解，∴被和“照耀”的點只有一個，∴不可能再寫出第4個點，∴的最大值為3．23．（2023下·重慶銅梁·七年級銅梁二中校考期中）閱讀下列材料：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組．小明發(fā)現(xiàn)，如果用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，∴原方程組的解為．(1)學(xué)以致用運(yùn)用上述方法解下列方程組：．(2)拓展提升已知關(guān)于x，y的方程組的解為，請直接寫出關(guān)于m、n的方程組的解是___________．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）結(jié)合題意，利用整體代入法求解，令，得，解得即即可求解；（2）結(jié)合題意，利用整體代入法求解，令，則可化為，且解為則有，求解即可．【詳解】（1）解：令，，原方程組化為，解得，，解得：，∴原方程組的解為；（2）在中，令，，則可化為，且解為，則有，，故答案為：．24．（2022下·福建泉州·七年級校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)方法：解方程組：，若設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．(1)直接填空：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么關(guān)于m、n的二元一次方程組的解為：．(2)知識遷移：請用這種方法解方程組．(3)拓展應(yīng)用：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，即可得，解方程組即可求解；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解方程組即可求解；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，，根據(jù)的解為，可得，即有，則問題得解．【詳解】（1）設(shè)，，則原方程組可化為，∵的解為，∴，解得，故答案為：；（2）設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即有，解得，即：方程組的解為；（3）設(shè)，，則原方程組可化為，化簡，得，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，∴，即有，解得：，故方程組的解為：．25．（2022下·重慶九龍坡·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：已知關(guān)于x，y的二元一次方程有一組整數(shù)解，則方程的全部整數(shù)解可表示為（t為整數(shù)）．問題：求方程的所有正整數(shù)解．小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數(shù)解為，則全部整數(shù)解可表示為（t為整數(shù)）．因為，解得因為t為整數(shù)，所以t=0或-1．所以該方程的正整數(shù)解為和．通過你所知曉的知識，請解決以下問題：(1)方程3x-5y=11的全部整數(shù)解表示為：（t為整數(shù)），則______；(2)請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解；(3)若a，b均為正整數(shù)，試判斷二元一次方程組有幾組正整數(shù)解？并寫出其解．【答案】(1)-1(2)，，．(3)該方程組有3組正整數(shù)解，分別為：，，．【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；（2）參考小明的解題方法求解即可；（3）先根據(jù)（2）得到關(guān)于a、b的二元一次方程，再結(jié)合a、b均為正整數(shù)確定a、b的值，進(jìn)而得到方程組的所有解．【詳解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，解得y=-1，∵方程3x-5y=11的全部整數(shù)解表示為：（t為整數(shù)），則θ=-1，故答案為-1；（2）解：方程2x+3y=24一組整數(shù)解為，則全部整數(shù)解可表示為（t為整數(shù)）．因為，解得-1＜t＜3．因為t為整數(shù)，所以t=0，1，2．所以方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解為：，，．（3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24∵a、b均為正整數(shù)∴∴該方程組有3組正整數(shù)解，分別為：，，．26．（2022下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀感悟