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2025屆惠州市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,用4種不同的顏色對(duì)A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方法有()A.24種 B.48種C.72種 D.96種2.如圖是拋物線(xiàn)形拱橋,當(dāng)水面在n時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為()A. B.C. D.3.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作斜率為2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng),B兩點(diǎn),若弦的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3,則拋物線(xiàn)的方程為()A. B.C. D.4.已知是拋物線(xiàn):的焦點(diǎn),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于,兩點(diǎn),滿(mǎn)足,記線(xiàn)段的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,則的最大值為()A. B.C. D.5.如圖,空間四邊形OABC中,,,,點(diǎn)M在上,且滿(mǎn)足,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),則()A. B.C. D.6.?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn).已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,則的歐拉線(xiàn)方程是()A. B.C. D.7.甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示,記甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)分別為,,標(biāo)準(zhǔn)差分別為,,則()A.>,< B.>,>C.<,< D.<,>8.已知函數(shù),若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù),,都有恒成立,則a的取值范圍為()A. B.C. D.9.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,且滿(mǎn)足,則的最小值是()A. B.C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值可能為()A.96 B.97C.98 D.9911.函數(shù)的極大值點(diǎn)為()A. B.C. D.不存在12.圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0公共弦所在直線(xiàn)方程為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.射擊隊(duì)某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示:命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次,兩次命中環(huán)數(shù)相互獨(dú)立,則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_(kāi)________________.(結(jié)果用小數(shù)表示)14.等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30,前6項(xiàng)的和為100,則它的前9項(xiàng)的和為_(kāi)_____.15.若不等式的解集是,則的值是___________.16.萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理:三角形的重心、垂心和外心共線(xiàn).后來(lái)人們稱(chēng)這條直線(xiàn)為該三角形的歐拉線(xiàn).已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是,,,則的垂心坐標(biāo)為_(kāi)_____,的歐拉線(xiàn)方程為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)(I)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;(II)設(shè),若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn),求c的取值范圍18.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),,,.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線(xiàn)與所成角的余弦值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD,,,且,,.(1)求證:平面PAC;(2)已知點(diǎn)M是線(xiàn)段PD上的一點(diǎn),且,當(dāng)三棱錐的體積為1時(shí),求實(shí)數(shù)的值.20.(12分)已知拋物線(xiàn),過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn),且線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2(1)求直線(xiàn)l的方程;(2)設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)P、Q,(其中P在Q的右側(cè)),過(guò)P的任意一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn),求證:始終被x軸平分21.(12分)在中,,,的對(duì)邊分別是,,,已知.(1)求;(2)若,且的面積為4,求的周長(zhǎng)22.(10分)已知命題:方程有實(shí)數(shù)解,命題:,.(1)若是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假命題,且為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】按涂色順序進(jìn)行分四步,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】按涂色順序進(jìn)行分四步:涂A部分時(shí),有4種涂法;涂B部分時(shí),有3種涂法;涂C部分時(shí),有2種涂法;涂D部分時(shí),有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同的涂色方法共有種.故選:B.2、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線(xiàn)方程為,結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系:設(shè)拋物線(xiàn)方程為,由題意知:在拋物線(xiàn)上,即,解得:,,當(dāng)水位下降1米后,即將代入,即,解得:,∴水面寬為米.故選:D.3、B【解析】設(shè)出直線(xiàn),并與拋物線(xiàn)聯(lián)立,得到,再根據(jù)拋物線(xiàn)的定義建立等式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)l的方程為,即,由消去y,得,設(shè),則,又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3,所以,而,所以,故,解得,所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為故選:B.4、C【解析】設(shè),過(guò)點(diǎn),分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為,進(jìn)而得,再結(jié)合余弦定理得,進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解:設(shè),過(guò)點(diǎn),分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為,則,因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn),所以根據(jù)梯形中位線(xiàn)定理得點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,因?yàn)椋栽谥?,由余弦定理得,所以,又因?yàn)椋?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,故.所以的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,余弦定理,基本不等式,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意,設(shè),進(jìn)而結(jié)合拋物線(xiàn)的定于與余弦定理得,,再求最值.5、B【解析】由空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解【詳解】由題意,又,,,∴,故選:B6、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),先求解出重心的坐標(biāo),然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線(xiàn)的方程,聯(lián)立方程,即可算出外心的坐標(biāo),最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.【詳解】由題意可得的重心為.因?yàn)?,,所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為.因?yàn)?,,所以直線(xiàn)的斜率,線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為.聯(lián)立,解得,則的外心坐標(biāo)為,故的歐拉線(xiàn)方程是,即故選:B.7、A【解析】根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖,結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知:甲總成績(jī)比乙總成績(jī)要高,則>,又甲成績(jī)的分布比乙均勻,故<.故選:A.8、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立,利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對(duì)任意都有恒成立,則時(shí),,當(dāng)時(shí)恒成立,
,當(dāng)時(shí)恒成立,,故選:A9、C【解析】由空間向量共面定理可得點(diǎn)四點(diǎn)共面,從而將求的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,再根據(jù)等體積法計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋煽臻g向量的共面定理可知,點(diǎn)四點(diǎn)共面,即點(diǎn)在平面上,所以的最小值為點(diǎn)到平面的距離,由正方體棱長(zhǎng)為,可得是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則,,由等體積法得,,所以,所以的最小值為.故選:C【點(diǎn)睛】共面定理的應(yīng)用:設(shè)是不共面的四點(diǎn),則對(duì)空間任意一點(diǎn),都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組使得,說(shuō)明:若,則四點(diǎn)共面.10、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4,而,故時(shí),輸出的值為,故選:D11、B【解析】求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于0,然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得,或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令,得,因?yàn)闀r(shí),,時(shí),,所以時(shí)有極大值;當(dāng)時(shí),,時(shí),,所以時(shí)有極小值.故選:B12、B【解析】?jī)蓤A的方程消掉二次項(xiàng)后的二元一次方程即為公共弦所在直線(xiàn)方程.【詳解】由x2+y2-4=0與x2+y2-4x+4y-12=0兩式相減得:,即.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、84【解析】先求出該選手射擊兩次,兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率,由對(duì)立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次,命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次,兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案:0.8414、210【解析】依題意,、、成等差數(shù)列,從而可求得答案【詳解】∵等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為30,前6項(xiàng)和為100,即S3=30,S6=100,又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差數(shù)列,∴2(S6﹣S3)=(S9﹣S6)+S3,即140=S9﹣100+30,解得S9=210.故答案:210【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),熟練利用、、成等差數(shù)列是關(guān)鍵,屬于中檔題15、【解析】利用和是方程的兩根,再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出和的值,即可得的值.【詳解】由題意可得:方程的兩根是和,由根與系數(shù)的關(guān)系可得:,所以,所以,故答案為:16、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線(xiàn)聯(lián)立可得垂心,由垂心與重心可得歐拉線(xiàn)方程.【詳解】由,可知邊上的高所在的直線(xiàn)為,又,因此邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率為,所以邊上的高所在的直線(xiàn)為:,即,所以,所以的垂心坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式可得的重心坐標(biāo)為,所以的歐拉線(xiàn)方程為:,化簡(jiǎn)得.故答案為:;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線(xiàn)斜率為,再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)切線(xiàn)方程;(2)由函數(shù)圖像可知,極大值大于零且極小值小于零,解不等式可得c的取值范圍試題解析:解:(I)由,得因?yàn)?,,所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為(II)當(dāng)時(shí),,所以令,得,解得或與在區(qū)間上的情況如下:所以,當(dāng)且時(shí),存在,,,使得由的單調(diào)性知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)18、(1)證明見(jiàn)解析;(2);【解析】(1)證明,利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面,再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面;(2)連接,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)可得出,求出的值,利用空間向量法可求得直線(xiàn)與所成角的余弦值.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且,則,又因?yàn)椋瑒t,故四邊形為平行四邊形,因?yàn)?,故四邊形為矩形,所以,平面平面,平面平面,平面,平面,因?yàn)槠矫?,因此,平面平面;?)連接,由(1)可知,平面,,為的中點(diǎn),則,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則、、、、,設(shè),,因?yàn)椋瑒t,解得,,,則.因此,直線(xiàn)與所成角的余弦值為.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)3【解析】(1)證明出,且,從而證明出線(xiàn)面垂直;(2)先用椎體體積公式求出,利用體積之比得到線(xiàn)段之比,從而得到的值.【小問(wèn)1詳解】證明:∵平面ABCD,且平面ABCD,∴.又因?yàn)椋?,∴四邊形ABCD為直角梯形.又因?yàn)椋?,易得,,∴,?又因?yàn)锳C,PA是平面PAC的兩條相交直線(xiàn),∴平面PAC.【小問(wèn)2詳解】由(1)知且,∴.又∵平面ABCD,.又∵,∴,∴點(diǎn)M到平面ABC的距離為,∴,∴.20、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為:,聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果;(2)設(shè),借助韋達(dá)定理表示,即可得到結(jié)果.【詳解】(1)由已知可設(shè)直線(xiàn)l的方程為:,聯(lián)立方程組可得,設(shè),則又因?yàn)?,得,故直線(xiàn)l的方程為:即為;(2)由題意可設(shè),可設(shè)過(guò)P的直線(xiàn)為聯(lián)立方程組可得,顯然設(shè),則所以所以始終被x軸平分21、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)正弦定理及題中條件,可得,化簡(jiǎn)整理,即可求解(2)由的面積為4,結(jié)合(1)中結(jié)論,可得,結(jié)合余弦定理,可得,從而可求的周長(zhǎng)【詳解】解:(1)由及正弦定理得,,又,∴,∴,∴.(2)∵的面積為,
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