2025屆四川省自貢市數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

2025屆四川省自貢市數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1442．已知數(shù)列中，其前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的值可以是（）A. B.2C.3 D.3．如圖已知正方體，點是對角線上的一點且，，則（）A.當時，平面 B.當時，平面C.當為直角三角形時， D.當?shù)拿娣e最小時，4．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線，它被譽為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線的畫法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個正方形中畫一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．下圖為該螺旋線在正方形邊長為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標系（規(guī)定小方格的邊長為1），則接下來的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.5．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.7．橢圓（）的右頂點是拋物線的焦點，且短軸長為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.8．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.9．如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱上有、兩點，、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（）A. B.C. D.10．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.12．空間直角坐標系中，已知則點關(guān)于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．求值______.14．空間直角坐標系中，點，的坐標分別為，，則___________.15．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.16．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數(shù)之和是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為F，傾斜角為45°的直線m過點F，若此拋物線上存在3個不同的點到m的距離為，求此拋物線的準線方程18．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項和19．（12分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率20．（12分）已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點，為的中點，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.（1）求證：平面平面.（2）能否在邊上找到一點(端點除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.22．（10分）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標準方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析數(shù)列的特點，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項公式，進而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A2、D【解析】由求出，從而可以求，再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進行適當放大即可.【詳解】若n=1，則，故；若，則由得，故，所以，，又因為對恒成立，當時，則恒成立，當時，，所以，，，若n為奇數(shù)，則；若n為偶數(shù)，則，所以所以，對恒成立，必須滿足.故選：D3、D【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法一一計算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，因為，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當?shù)拿娣e最小時，，故正確故選：4、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過點，因為每一段圓弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點的連線平行于軸，因為下一段圓弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C5、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應(yīng)滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：A6、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：A.7、A【解析】求得拋物線的焦點從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，故可得；又短軸長為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.8、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A9、C【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，則，又因為，，，故二面角的平面角為，因為四邊形為平行四邊形，則，，因為，故為等邊三角形，則，，則，，，故平面，因為平面，則，故.故選：C.10、C【解析】取AC的中點M，過點M作，且使得，進而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點M，因為，則，過點M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.11、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.12、D【解析】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得關(guān)于平面的對稱點的坐標為，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結(jié)果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結(jié)果為故答案為：14、【解析】利用空間直角坐標系中兩點間的距離公式計算即得.【詳解】在空間直角坐標系中，因點，的坐標分別為，，所以.故答案為：15、【解析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16、58【解析】分別將甲、乙兩名運動員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數(shù)，再相加即可【詳解】因為甲、乙兩名籃球運動員各參賽11場，故中位數(shù)是第6個數(shù)甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數(shù)為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數(shù)為24所以，中位數(shù)之和為34+24＝58，故答案為：58三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設(shè)出直線m的方程，利用方程組聯(lián)立、一元二次方程根的判別式求出與直線m平行的拋物線的切線方程，結(jié)合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點坐標為：，設(shè)直線m為，設(shè)為與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡整理可得，，則，解得，且，故兩平行線間的距離，解得，故所求的準線方程為18、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當時，，得到；當時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.19、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運動員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得甲運動員打中10環(huán)的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為【小問2詳解】因為甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因為由題意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為20、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當且僅當時取得等號，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因為，所以【小問2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當且僅當時取得等號，，所以面積的最大值為21、（1）證明見解析.（2）存在點，為線段中點【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）在直角梯形中，作于于，連接，則，，則，，則，在直角中，可得，則，所以，故，且折疊后與位置關(guān)系不變.又因為平面平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）在中，由，為的中點，可得.又因為平面平面，且平面平面，所以平面，則以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得平面的法向量為，假設(shè)存在點使平面與平面所成角的余弦值為，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，設(shè)平面的法向量為，可得，令得，∴，解得，因此存在點且