山西省山大附中等晉豫名校2025屆高二上數(shù)學期末復習檢測試題含解析

山西省山大附中等晉豫名校2025屆高二上數(shù)學期末復習檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.133．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點E為PA的中點，，，，則點B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.4．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.5．設雙曲線：的左、右焦點分別為、，P為C上一點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形7．曲線在點處的切線方程是（）A. B.C. D.8．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.10．設是定義在R上的可導函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.11．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件12．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程是______.14．已知拋物線C：的焦點為F，過M（4，0）的直線交C于A、B兩點，設，的面積分別為、，則的最小值為______15．已知實數(shù)，滿足不等式組，則目標函數(shù)的最大值為__________.16．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程19．（12分）已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直交橢圓于兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，點為線段上的點.（1）若平面，試確定點的位置，并說明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值22．（10分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的存在，求實數(shù)的取值范圍；若問題中的不存在，請說明理由設等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，___________，，，是否存在實數(shù)，對任意都有？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質(zhì)，，進而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.3、D【解析】為中點，連接，易得為平行四邊形，進而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質(zhì)確定線線垂直，在直角三角形中應用勾股定理求相關線段長，即可得△為直角三角形，最后應用等體積法求點面距即可.【詳解】若為中點，連接，又E為PA的中點，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D4、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.5、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關系，即可得出答案.【詳解】解：因為在雙曲線中，因為，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.6、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題7、B【解析】求導，得到曲線在點處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因為，所以曲線在點處斜率為4，所以曲線在點處的切線方程是，即，故選：B8、B【解析】設，根據(jù)兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B9、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B10、C【解析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.11、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進行判斷【詳解】解：因為函數(shù)為增函數(shù)，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C12、D【解析】設圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、x-y-2=0【解析】解：因為曲線在點（1,－1）處的切線方程是由點斜式可知為x-y-2=014、【解析】設直線的方程為，，與拋物線的方程聯(lián)立整理得，由三角形的面積公式求得，再根據(jù)基本不等式可得答案.【詳解】解：由拋物線C：得焦點，又直線交C于A、B兩點，所以直線的斜率不為0，則設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，又，，所以，又，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.15、##【解析】畫出可行域，通過平移基準直線到可行域邊界來求得的最大值.【詳解】，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當時，取得最大值.故答案為：16、【解析】設左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設，由點M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計算公式即可得出范圍【詳解】設左焦點為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點睛】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、點到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結(jié)合關系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當平行于軸時，設過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡得關于的二次方程，由韋達定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標準方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當平行于軸時，恰好平行于軸，，，；當不平行于軸時，設，設過點的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡得，設，則，又，故，即.綜上所述，.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據(jù)坐標之間關系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點.19、(1)(2)點G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得解得所以橢圓E的方程為（Ⅱ）設點AB中點為由所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）設點，則由所以從而所以不共線，所以銳角.故點G在以AB為直徑的圓外考點：1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系20、（1）點為MC的中點，理由見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而由三線合一得到點為MC的中點；（2）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長，用余弦定理求出答案.【小問1詳解】點為MC的中點，理由如下：因為平面，平面，所以，，又，由三線合一得：點為MC的中點【小問2詳解】取AB的中點H，連接PH，CH，則由（1）知：，結(jié)合點為MC的中點，所以PA=PB，故由三線合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因為，，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標系，設，結(jié)合已知確定相關點坐標，進而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標表示求與平面所成角的正弦值【小問1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問2詳解】分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，由（1）知：平面的法向量為，令面的法向量為，則，令，可得，因為二面角的余弦值為，則，可得，則，設與平面所成的角為，又，，所以.22、答案見解析【解析】由已知條件可得，假設時，取最小值，則，若補充條件是①，則可求得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補充條件是②，則可得，該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，若補充條件是③，則可得，代入化簡可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d，當時，，得，從而，當時，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，由對任意，都有，當?shù)炔顢?shù)列