滬教版-九年級(上)數(shù)學(xué)-秋季課程-第9講-圓的基本性質(zhì)(解析版)

步同級年九步同級年九14/25圓的基本性質(zhì)圓的基本性質(zhì)內(nèi)容分析內(nèi)容分析圓的基本性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)九年級下學(xué)期第一章第一節(jié)的內(nèi)容．需要掌握點與圓的位置關(guān)系，理解圓心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它們之間的關(guān)系，重點是這四者關(guān)系的靈活運用，以及垂徑定理及其推論的應(yīng)用．知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊一：圓的確定模塊一：圓的確定知識精講知識精講圓的概念圓：平面上到一個定點的距離等于定長的所有點所成的圖形．圓心：以上概念中的“定點”；以點O為圓心的圓稱為“圓O”，記作．半徑：聯(lián)結(jié)圓心和圓上任意一點的線段；以上概念中的“定長”是圓的半徑長．點與圓的位置關(guān)系設(shè)一個圓的半徑長為R，點P到圓心的距離為d，則有以下結(jié)論：當(dāng)點P在圓外時，d>R；當(dāng)點P在圓上時，d=R；當(dāng)點P在圓內(nèi)時，．反之亦然．相關(guān)定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓．三角形的三個頂點確定一個圓．經(jīng)過一個三角形各頂點的圓叫做這個三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個三角形的外心；這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．如果一個圓經(jīng)過一個多邊形的各頂點，那么這個圓叫做這個多邊形的外接圓，這個多邊形叫做這個圓的內(nèi)接多邊形．例題解析例題解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A（，），B（，0），的半徑為4，試說明點B與的位置關(guān)系．【答案】點在外．【解析】由題意得，，所以， 因為，所以點在外．【總結(jié)】本題考察了點與圓的位置關(guān)系，設(shè)一個圓的半徑長為R，點P到圓心的距離為d，則有以下結(jié)論：當(dāng)點P在圓外時，d>R；當(dāng)點P在圓上時，d=R；當(dāng)點P在圓內(nèi)時，．反之亦然．過一個點可以畫______個圓，過兩個點可以畫______個圓，過三個點可以畫______個圓．【答案】無數(shù)；無數(shù)；一或零．【解析】不共線的三點才可以確定一個圓．【總結(jié)】本題考察了圓的確定，不共線的三點可以確定一個圓．ABCDO已知，如圖，在中，AB、BC為弦，OC交ABABCDO求證：（1）；（2）．【答案】詳見解析．【解析】（1）∵，∴， ∵，∴， ∴． （2）∵，∴，∵， ∴，∴．【總結(jié)】本題考查了圓的性質(zhì)，利用外角是解決問題的關(guān)鍵．如圖，的半徑為15，O到直線l的距離OH=9，A、B、C為直線l上的三個點，AH=9，BH=12，CH=15，請分別說明點A、B、C與的位置關(guān)系．HOlP【答案】在內(nèi)；在上；在外．HOlP【解析】連接，∵，，∴，∵，∴在內(nèi)；∵，∴在上；∵，∴在外．【總結(jié)】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．若A（a，）在以點B（，）為圓心，37為半徑的圓上，求a的值．【答案】或．【解析】∵點在上，∴，即，解得，．【總結(jié)】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意此題有兩種解．如圖，作出所在圓的圓心，并補(bǔ)全整個圓．【答案】如圖所示．【解析】在上任意作兩條弦，分別做兩條弦的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即 為圓心．【總結(jié)】本題考查了不共線三點定圓的作法．如圖，CD是半圓的直徑，O是圓心，E是半圓上一點，且，A是DC延長線上一點，AE與半圓交于B，若AB=OC，求的度數(shù)．ABCDABCDEO【解析】∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題考查了同一個圓中半徑處處相等及三角形外角的應(yīng)用．已知，如圖，AB是的直徑，半徑，過OC的中點D作EF//AB．ABCDABCDEFO【答案】詳見解析．【解析】連接，∵，//，∴，，∵，∴，∴，∵為的中點，∴，∴，∴，∴，∴．【總結(jié)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形性質(zhì)的綜合運用．已知：AB是的直徑，點P是OA上任意一點，點C是上任意一點．求證：．【答案】詳見解析．【解析】當(dāng)與重合時，可得，當(dāng)與不重合時，連接，則OA=OC=OB，∴，，綜上可知．【總結(jié)】本題考查了圓中半徑處處相等，并利用三角形的三邊關(guān)系解決問題．

模塊二：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系模塊二：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系知識精講知識精講圓心角、弧、弦、弦心距的概念圓心角：以圓心為頂點的角叫做圓心角；?。簣A上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱??；弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦就是直徑；弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距．半圓、優(yōu)弧、劣弧半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．ABCOABCO劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧．如圖，以A、C為端點的劣弧記作，讀作“弧AC”；以A、C為端點的優(yōu)弧記作，讀作“弧ABC”．等弧和等圓能夠重合的兩條弧稱為等弧，或者說這兩條弧相等．若與是等弧，記作．半徑相等的兩個圓一定能夠重合，我們把半徑相等的兩個圓稱為等圓．圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條劣弧（或優(yōu)?。蓷l弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余三組量也分別相等．例題解析例題解析下列命題中真命題的個數(shù)是（）相等的圓心角所對的弧也相等；在同圓中，如果兩條弦相等，那么所對的弧也相等；A、B是上任意兩點，則AO+BO等于的直徑長；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A．【解析】①需說明是在同圓或等圓中，故①錯誤；一條弦對兩條弧，所以需要說明是優(yōu)弧還是劣弧，故②錯誤；易知、均為圓的半徑，所以為直徑，故③正確；④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故④錯誤．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理．一條弦把圓分成1:3兩部分，則弦所對的圓心角為______°．【答案】．【解析】∵一條弦把圓分成1:3兩部分，∴整個圓分為四等分，則劣弧的度數(shù)為，∴弦所對的圓心角為．【總結(jié)】本題考查了同圓中圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．ABCO如圖，在中，，，則______．ABCO【答案】．【解析】∵在中，，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．ABCDO如圖，已知的半徑是6，，，CD=______ABCDO【答案】．【解析】∵，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用．FABCDPE如圖，和是等圓，P是的中點，過點P作直線AD交于點A、B，交于點C、DFABCDPE求證：AB=CD．【答案】詳見解析．【解析】作于，于，∵P是的中點，∴≌，∴，∵和是等圓，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用．ABCDEO已知，如圖，AB、CD是的直徑，弦AE//CD，聯(lián)結(jié)ABCDEO求證：BC=CE．【答案】詳見解析．【解析】∵，∴，∵//，∴，，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理的應(yīng)用．OABC如圖，是的外接圓，AO平分，，判斷的形狀，并說明理由．OABC【答案】等邊三角形．【解析】∵AO平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形．【總結(jié)】本題考查同圓中相等的圓心角所對的弦相等．已知，如圖，AB是直徑，M、N分別是AO、BO的中點，，．ABCDABCDONM【答案】詳見解析．【解析】連接、，則，∵M(jìn)、N分別是AO、BO的中點，∴，∵，，∴≌，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了同圓中相等的圓心角所對的弧相等．如圖，以點O為圓心的圓弧上依次有四個點A、B、C、D，且．求證：四邊形ABCD是等腰梯形．OABOABCD【解析】連接、，∵，∴，∵，，∴，∴∥，∴四邊形ABCD是等腰梯形．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了同一條弦所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，老師可 以選擇性的講解．模塊三：垂徑定理模塊三：垂徑定理知識精講知識精講垂徑定理如果圓的一條直徑垂直于一條弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的?。嚓P(guān)結(jié)論（1）如果圓的直徑平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的弧．（2）如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑就垂直平分這條弧所對的弦．（3）如果一條直線是弦的垂直平分線，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的?。?）如果一條直線平分弦和弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且垂直于這條弦．（5）如果一條直線垂直于弦，并且平分弦所對的一條弧，那么這條直線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦．總結(jié)：在圓中，對于某一條直線“經(jīng)過圓心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所對的弧”這四組關(guān)系中，如果有兩組關(guān)系成立，那么其余兩組關(guān)系也成立．例題解析例題解析的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長為______．【答案】8．【解析】∵的直徑為10，∴，∵，∴平分，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．在半徑為2的中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓心角=____°．【答案】．【解析】作于，則，∵，∴，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．ABCDEFO如圖，是的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，點E和點F分別是邊ABCDEFO求證：四邊形CEDF是菱形．【答案】詳見解析．【解析】∵，且過圓心，∴，∴，∵點E和點F分別是邊AC和BC的中點，∴，，，，∴，∴四邊形CEDF是菱形．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用即菱形的判定．ABCDO如圖，一根橫截面為圓形的輸水管道，陰影部分為有水部分，此時水面寬ABCDO【答案】1米．【解析】連接，設(shè)圓半徑為，則，，由得，解得，所以下水管道的直徑為1米．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理以及勾股定理的綜合運用．CDEFGHOPQR如圖，在中，弦CD、EF的延長線相交于點P，G、H分別是、的中點，GH與PC、PE分別相交于QCDEFGHOPQR【答案】等腰三角形．【解析】連接、，∵G、H分別是、的中點，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．如圖，P是的弦AB的中點，，垂足為C，求證：．OPAOPABC【解析】連接，∵P是的弦AB的中點，∴，∵，∴∽，∴，∵，∴，即．【總結(jié)】本題考查了垂徑定與相似三角形的綜合運用．BCAOD位于本市浦東臨港新城的滴水湖是圓形人工湖．為測量該湖的半徑，小智和小方沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測得BC長240米，BCAOD【答案】1442.5米．【解析】連接交于點，連接，∵A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，∴，，設(shè)半徑為，則，，由，∴，解得：，所以滴水湖的半徑為1442．5米．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．ABCDHO如圖，弦CD垂直于的直徑AB，垂足為H，且，，則ABABCDHO【答案】3．【解析】由題意得，，設(shè)半徑為，則，由，∴，解得，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．已知的半徑，AB、CD為的兩條弦，AB、CD的長分別是方程的兩根，其中AB>CD，且AB//CD，求AB與CD間的距離．【答案】或．【解析】∵，解得：，．∵AB>CD，∴，，當(dāng)AB、CD圓心同側(cè)時，作于，并延長交于，∵AB//CD，∴OF⊥CD，∴，，∴，當(dāng)AB、CD圓心兩側(cè)時，同理可得，∴AB與CD間的距離是或．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用，做題的關(guān)鍵是要分情況討論．ABCPNMEFH已知，如圖，與交于A、B，過A的直線分別交與于M、N，C是MN的中點，PABCPNMEFH求證：．【答案】詳見解析．【解析】作，，作于，則，且、分別為、的中點，∴，∵C是MN的中點，∴，∴， ∴，∵P是的中點，∴，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用．ABCDEOH如圖，已知四邊形ABCD外接圓的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE=EC，，且，求四邊形ABCDEOH【答案】．【解析】∵，，∴，∴，又，∴∽，∴，∵，∴，∴，連接交于，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵為中點，∴，，即，∴，∴四邊形ABCD的面積是．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的運用及圖形的分割，綜合性較強(qiáng)，解題時注意認(rèn)真觀察．如圖，在半徑為2的扇形AOB中，，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合），，，垂足分別為D、E．（1）在中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由．（2）設(shè)BD=x，的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．OABCDEF【答案】（1）OABCDEF【解析】（1）連接，∴，∵，，∴D、E分別為、中點，∴．（2）作于，由（1）易得，由題意得，∴，，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理、勾股定理及中位線定理的綜合運用，綜合性較強(qiáng)．

隨堂檢測隨堂檢測已知半徑為5，若點P不在上，則線段OP的取值范圍為_______________．【答案】或．【解析】∵點P不在上，∴當(dāng)點P在內(nèi)時，；當(dāng)點P在外時，，綜上可知或．【總結(jié)】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．ABCDEO如圖，AB是直徑，，，則ABCDEO【答案】．【解析】∵，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理．如圖，為方便三個村莊居民子女的上學(xué)問題，上級鎮(zhèn)政府決定在A、B、C三個村莊旁邊造一所學(xué)校，要求它到各村莊的距離相等，請你在圖中畫出學(xué)校的位置．（保留作圖痕跡）【答案】如圖所示．【解析】作線段、的中垂線的交點即為學(xué)校位置．【總結(jié)】本題考查了不共線的三點可以確定一個圓．ABCDEFO如圖，，，，，求的度數(shù)ABCDEFO【答案】．【解析】∵，，，∴，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理．ABCDE如圖，在中，，，以點B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC于點D，交BC于點E．求證：（1）；（2）D是AC的中點．ABCDE【答案】詳見解析．【解析】（1）連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）得，，∵，∴，∴，∴，∴D是AC的中點．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理．ABCDEO如圖，AB為直徑，E為的中點，OE交BC于點D，BD=3，AB=10，則ABCDEO【答案】8．【解析】∵AB為直徑，E為的中點，∴，，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及三角形中位線．CDEFO如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中的），點O是的圓心，其中CD=600米，E為上一點，且，垂足為F，EF=90米，求這段彎路的半徑．CDEFO【答案】545米．【解析】∵點O是的圓心，，∴，設(shè)的半徑為，則，由得，解得，∴這段彎路的半徑為545米．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用．ABCOEFG如圖，在中，，截的三邊所得的弦長都相等，求ABCOEFG【答案】．【解析】作、、，∵截的三邊所得的弦長都相等，∴，∴平分，平分，∵，∴，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理、角平分線的逆定理及三 角形的內(nèi)角和．ABCEFNMO已知，如圖，是等邊三角形，AB是的直徑，，CE、CF交AB于點ABCEFNMO求證：AM=MN=NB．【答案】詳見解析．【解析】連接、，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴//，∴．∵，O是AB中點， ∴，∴，∴．∴，∴，，同理，，∵，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及平分線分線段成比例．如圖，AB為的直徑，CD為弦，過點C、D分別作、，分別交AB于點N、M，請問圖中的AN與BM是否相等，說明理由．ABCDONABCDONMH【解析】作交于，則，∵、，∴∥∥，∴，∵，∴，∴．【總結(jié)】本題考查了垂徑定理及梯形的中位線．課后作業(yè)課后作業(yè)在下列命題中，正確的個數(shù)是（）圓心角相等，則它們所對的弦必相等；經(jīng)過線段的兩個端點及線段所在直線外一點可以確定一個圓；直徑平分弦，則必垂直于弦；④如果同圓中，兩條弦互相平分，那么這兩條弦都是直徑．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【難度】★【答案】B．【解析】①需說明是在同圓或等圓中，故①錯誤；不共線的三點可以確定一個圓，故②正確；直徑平分非直徑的弦，則必垂直于弦，故③錯誤；如果同圓中，直徑垂直于弦，則必然平分弦，故④錯誤．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及垂徑定理．在中，，D、E分別是AB、AC的中點，AC=7，BC=4．若以點C為圓心，BC為半徑作圓，判斷點D、E與的位置關(guān)系．【答案】點D在外；點E在內(nèi)．【解析】∵AC=7，BC=4，，∴，∵，，∴點D在外；，∴點E在內(nèi)．【總結(jié)】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．已知直線a和直線外兩點A、B，經(jīng)過A、B作一圓，使它的圓心在直線a上．【答案】如圖所示．【解析】作線段的中垂線于直線的交點即為圓心．【總結(jié)】本題考查了線段的垂直平分線的作法．已知外一點A和圓上的點最大距離為23厘米，最小距離為10厘米，則的半徑為______厘米．【答案】．【解析】點與圓心的連心線所在的直線與圓的交點即為點到圓上的最大距離和最小 距離，所以半徑厘米．【總結(jié)】本題考查了點與圓的位置關(guān)系．ABCOE如圖，在中，，試確定AB與2BCABCOE【答案】．【解析】取中點，∵，∴，∵，∴．【總結(jié)】本題考查了圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理．如圖，矩形ABCD與圓心