2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷（江蘇卷）（解析版） (二)

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)模擬考場仿真演練卷（江蘇專用）

第四模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

［已知集合A={x|-iWxVn,wCNbBTxeZl/TxTWO},若ACIB={-1,01,2},則m的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】可求出集合B={-1,0,1,2,3,4},然后根據(jù)0,1,2}即可求出"?的值.

【解答】解：VA={x|-wGN},8={x€Z|-14W4}={-1,0,1,2,3,4},AA8={-I,0,

1,2},

**?Z77-3.

故選：c.

【知識點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

2.若復(fù)數(shù)Z滿足（1-i）Z=i,其中/為虛數(shù)單位，則Z的虛部為（）

A.-1B.-AC.-LD.A

222

【答案】B_

【分析】由題意求出，，電寫出Z與它的虛部.

【解答】解：由（1-i）5=i，

所以-A+A/,

1-i（l-i）（l+i）222

由共規(guī)復(fù)數(shù)的定義知z=-l-li,

22

所以z的虛部為

2

故選：B.

【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

3.命題：“AoCR,sinxo+阮vo>xo”的否定是（）

A.mxoWR,sinxo+lnxo<xoB.VRGR,sinx+lwc<x

C.V.rGR,sinx+lnx^xD.3A-O￡R?sinxo+/nro》xo

【答案】B

【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求出.

【解答】解：特稱命題的否定是全稱命題，故"mx()eR,sirwo+/nxoexo”的否定是VxCR,sinx+/"x<x,

故選：B.

【知識點(diǎn)】命題的否定

4.如圖，ZVIBC中，AB=2,AC=3,。是BC的中點(diǎn)，BE=EC,點(diǎn)P在。E上運(yùn)動，則而?正的值()

A.與角A有關(guān)，且與點(diǎn)P的位置有關(guān)

B.與角A有關(guān)，但與點(diǎn)尸的位置無關(guān)

C.與角A無關(guān)，但與點(diǎn)尸的位置有關(guān)

D.與角A無關(guān)，且與點(diǎn)P的位置無關(guān)

【答案】D

【分析】易知而,前=(),由平面向量的線性運(yùn)算，可推出存=-(1AB+—AC+DP).再計(jì)算F系前的值,

22

即可得解.

【解答】解：：。是8c的中點(diǎn)，BE=EC,

：.DP±BC,ADP*BC=O,

vPA=-(AB+BD+DP)=-(AB+-1BC+DP)=-[AB+-1(AC-AB)+DP]=-

22

(1AB+^AC+DP).

22

???PA-BC=-(1AB+^AC+DP)-BC=-1(AB+AC)-BC-DP-BC

222

=-1(AB+AC)'(AC-AB)-0=-1(AC2-AB2)=」x(32-22)=至，

2222

即市?正是定值，

故選：D.

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

5.在二項(xiàng)式(x-2y)6的展開式中，設(shè)二項(xiàng)式系數(shù)和為A,各項(xiàng)系數(shù)和為8,x的奇次幕項(xiàng)的系數(shù)和為C,

則姻_=()

C

2

A.-西B.KC.-ilD.91

91911616

【答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為2"可求得A,令x=l,y=l可得各項(xiàng)系數(shù)和B,令f(x)=

(x-2)6,-的奇次一項(xiàng)的系數(shù)和為f(D-f(-1)可求得C,計(jì)算可得迪的值.

2C

【解答】解：在二項(xiàng)式(x-2y)6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和A=26=64,

令％=y=L得各項(xiàng)系數(shù)和8=(-1)6=1,

令/(x)=(X-2)6,得X的奇次基項(xiàng)的系數(shù)和C=f(l)-f(-l)=上班=-364,

22

所以嶇=_且_=_曲.

C36491

故選：A.

【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

6.已知函數(shù)/(x)=以叫a=f(log1),b=f(log1),c=f(log1),則下述關(guān)系式正確的是()

e33e—9

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】由題意可知函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，利用函數(shù)/(x)是偶函數(shù)結(jié)合

對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化筒”，b,c的值，再利用函數(shù)/(x)的單調(diào)性即可比較a,b,c的大小關(guān)系.

【解答】解：???函數(shù)/(x)=以叫

.??函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x20時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

log[)=/(-叫，3)=/(loge3),

e3

b=f((7°g3e)=/(log3e),

Je

c=f(logj-^-)^/(log..9)=f(21oge3),

—y

e

Vl<log￡3<2,0<log3e<l,21ogc3>2,

(21og￡>3)<f(log^3)<f(logse),B|Jc<a<b,

故選：A.

【知識點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較

7.設(shè)點(diǎn)A,B分別為雙曲線C：(?>0,。>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)用，N分別在雙曲線C的左、

2,2

ab

右支上，若而=5京，MB2=MN-MB.KIMBI<INB|,則雙曲線C的離心率為()

A.逗B.&C.迫D.II

5557

【答案】B

【分析】由題意畫出圖形，設(shè)|嬴|=n，則|MN|=5m3”>0)，再由而,=而?而，得8MLM8,求得切=

3

a,可得14Vl,|8N|,cos/MNB,在△A8N中，由余弦定理列式，即可求得雙曲線C的離心率.

【解答】解：設(shè)|京|=ir.則|而5|=5m（m>0），

VMB2=M-MB=（而+際）?而=誣2+而.誣,

BN-MB=0-BPBN1MB,

|MB|2+|BN|2=|MN|2,即（2a+W?+（6"-2a）』（5m）2

解得m=a或m=—^.

3

①若”=2a時(shí)，IBMI=—a-I而l=2“，不滿足麻|<|麗（舍去）,

33

②若時(shí)，IBM=3。,INBI=4?,滿足|而|<|而I，則根=a.

'：cosZMNB^-^L=^-^-,

MNI5a5

在△ANB中，依8|2=忸乂2+|8川2_2\AN\\BN\'COS^MNB,

即4c2=36a2+16a2-2X6aX4aX言，

b

整理得4c2喈a(chǎn)2，即/《，得《=欄聾L

【知識點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)

8.在三棱錐A-8C。中，平面BCD,BCLBD,AB=BC=BD=2,E,F分別是BC,AO的中點(diǎn)，則直

線AE與CF所成角的余弦值為（）

4

A

【答案】B

【分析】取CE,AF,AC的中點(diǎn)分別為例，N,G,作于O,連接MG,GN,MN,M0,由直線

AE與CF所成角即為GM與GN所成角，能求出直線AE與C尸所成角的余弦值.

【解答】解：取CE,AF,AC的中點(diǎn)分別為M,N,G,作NOL8Q于。，

連接MG,GN,MN,MO,如圖，

由GM//AE,GN//CF,得直線A￡與CF所成角即為GM與GN所成角，

根據(jù)題意得：

GN=*CF={(22+22)一(警I產(chǎn)牛

/乙

仰=而02+加2:=VMB2+BO2+NO2=^(-|-)2+(y)2+(y)2=隼，

222

：.cosZMGN=^[-H3N-MN^_2730

2GM-GN15

2730

15

故選：B.

【知識點(diǎn)】異面直線及其所成的角

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求

的，選對得分，錯選或漏選不得分。

5

9.某集團(tuán)公司經(jīng)過五年的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使集團(tuán)營業(yè)收入不斷增長，公司今年的年收入比五年

前翻了兩番.為了更好地分析各工廠的產(chǎn)值變化情況，統(tǒng)計(jì)前后產(chǎn)值占比情況，得到如圖所示的餅圖：

則下列結(jié)論正確的是（）

A.產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后生物制藥的收入增幅最快

B.產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工的收入是超過調(diào)整前金融產(chǎn)業(yè)的收入

C.產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后機(jī)械加工的收入是五年前的總收入

D.產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后金融產(chǎn)業(yè)收入相比調(diào)整前金融產(chǎn)業(yè)收入略有降低

【答案】ABC

【分析】設(shè)五年前年收入為“，則今年的年收入為22a=4”，根據(jù)餅形圖得五年前金融產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.45”，機(jī)

械加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.15a,食品加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.18a,生物制藥產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.22”，今年金融產(chǎn)業(yè)

產(chǎn)值為0.6a,機(jī)械加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為小食品加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.6”，生物制藥產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為1.8a,由以

上數(shù)據(jù)計(jì)算得到結(jié)果.

【解答】解：???公司今年的年收入比五年前翻了兩番，

設(shè)五年前年收入為a,則今年的年收入為2%=4a,

根據(jù)餅形圖得五年前金融產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.45a,

機(jī)械加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.15a,食品加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.18?,

生物制藥產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.22a,今年金融產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.6a,

機(jī)械加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為a,食品加工產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為0.6m

生物制藥產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值為1.8?,

由以上數(shù)據(jù)計(jì)算得到產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后生物制約的收入增幅最快，故A正確；

產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后食品加工產(chǎn)業(yè)收入的調(diào)整前金融產(chǎn)業(yè)收入的2，故選項(xiàng)B正確；

3

產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后機(jī)械加工的收入是五年前的總收入，故c正確；

產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整后金融產(chǎn)業(yè)收入相比調(diào)整前金融產(chǎn)業(yè)收入略有升高，故D錯誤.

故選：ABC.

【知識點(diǎn)】頻率分布直方圖

10.已知拋物線E：）2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,過尸點(diǎn)的直線與拋物線E交于A,B兩點(diǎn),C,￡＞分別為A,

8在/上的射影，且|AQ=3|8/q,M為4B的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.NCFD=90°B.直線A8的斜率為士“

6

C.△CM。為等腰直角三角形D.線段A8的長為西

3

【答案】ABD

【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，再設(shè)出點(diǎn)4,8的坐標(biāo)進(jìn)而得到點(diǎn)C,力的坐標(biāo)，設(shè)出直

線AB的方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量的線性運(yùn)算求出對應(yīng)的各個(gè)選項(xiàng)的問

題，即可求解.

【解答】解：由拋物線的方程可得：F(1,0),準(zhǔn)線方程為：x=-l,

設(shè)直線AB的方程為：x=my+\,A(xi，巾)，B(處”)，

x=iny+l

則C(-1,yi),D(-1,以)，聯(lián)立方程4，

.y=4x

消去x整理可得：y2-4my-4=0,所以川+竺=4根，y\yi=-4,

所以而?而=(-2,71)?(-2,y2)=4W2=4-4=0,

所以FC_LFQ,即NCF0=9O°,所以A正確，

選項(xiàng)8：因?yàn)椋跘f］=3|BQ,所以標(biāo)=3祚，即)1=-3”，且》+”=4，“，yi)z=-4,

解得m=±返，所以直線A8的斜率為％=工=±?,故B正確，

3m

選項(xiàng)C由A正確，則CMLOM不可能，且角C和角。不可能為直角，故C錯誤，

選項(xiàng)》由題意可得忸8|=心渭?河J產(chǎn)或

6m2+16=4(1+>)=孕故。正確，

0

故選：ABD.

【知識點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)

11.已知函數(shù)/(x)=2e"F,函數(shù)g(尤)滿足g(x)=-g(x+1),且當(dāng)-1，1］時(shí)，g(x)=-f+l,

那么()

A.f(x)在R上關(guān)于直線x=l對稱

B.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減

C.當(dāng)x［-2,4］時(shí)，h(x)=/(x)-g(x)有6個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)xe［-2,4］時(shí)，h(x)=/(x)-g(x)所有零點(diǎn)的和為6

【答案】ACD

【分析】根據(jù)/(X),g(X)的解析式，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判斷可得答案；

【解答】解：由函數(shù)f(x)=2e*F,

對于A：由/(2-x)=2e"-xF=2e*n=/(x),可得/(x)在R上關(guān)于直線x=1對稱，故A

正確；

-

nX1K或1

對于8：由/(x)=2ehl|=J',當(dāng)xWl時(shí)，函數(shù)/(X)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x

2e",x>l

>1時(shí)，函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)；故8錯誤;

7

對于Cg(x)=-g(x+1),可得g(x)是周期為2的函數(shù)，且當(dāng)在［-1,1］時(shí)，g(X)=-

x2+l,

作出函數(shù)/(x)圖象與y=g(x)的圖象，從圖象可知有6個(gè)不同交點(diǎn)，故/?(X)有6個(gè)零點(diǎn),

故C正確；

對于》根據(jù)圖象可得g(x)也關(guān)于直線x=l對稱，所以6個(gè)零點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x=l對稱，

可得6個(gè)零點(diǎn)的和為6,故。正確；

綜上，可得答案為ACD

12.如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，CC,=V6>AB=BC=2,AC=2^，點(diǎn)M是棱A4I的中點(diǎn)，則下列

說法正確的是()

A.異面直線BC與BiM所成的角為90°

B.在BC上存在點(diǎn)。，使M?！ㄆ矫鍭BC

C.二面角AC-B的大小為60°

D.BtMLCM

【答案】ABC

【分析】選項(xiàng)4，連接MG，易知8C〃5G，故NM8G即為所求.由勾股定理可知AiBLBiG，由三棱

柱的性質(zhì)可知再結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證得可證得即

ZMB|Ci=90°:

選項(xiàng)8,連接8G，交SC于點(diǎn)。，連接例。，再取8c的中點(diǎn)E,連接。E、AE,易知四邊形

AMZJE為平行四邊形，故MD/3E,再由線面平行的判定定理即可得證；

選項(xiàng)C,取AC的中點(diǎn)N,連接8N、B\N,則NBN81即為所求，在中，由三角函數(shù)

可求H!tanZBNBi的值，從而得解；

8

選項(xiàng)Q,在△CM3中，利用勾股定理分別算出CM、和81c的長，判斷其結(jié)果是否滿足

（；112+兒8產(chǎn)81。2即可?

【解答】解：選項(xiàng)A,連接MG，由三棱柱的性質(zhì)可知，BC〃BC，

：.AMB\C\即為異面直線BC與BM

"：AB=BC=2,AC=2^2**,-ZABC=ZA,B|Ci=90°,即

由直三棱柱的性質(zhì)可知，88J_平面Ai8G，

???'Gu平面4BCi，ABBilBiCi，

又A1B1、BBg平面ABBA，；.6iG_L平面ABBiA，

ABiCilMBi，即NMBG=90°,.?.選項(xiàng)A正確;

選項(xiàng)B,連接BC，交BC于點(diǎn)D,連接MQ,再取8c的中點(diǎn)E,連接。E、AE,則。E〃AM,

DE—AM,

，四邊形AMDE為平行四邊形，，〃?！?日

平面ABC,AEu平面A8C,二用?！ㄆ矫鍭BC,即選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,取AC的中點(diǎn)N,連接BMB、N,

???88」平面ABC,...NSMBi即為二面角助-AC-B的平面角.

在RtZ\8N8i中，BB\=EBN=J^AB=y/2>：.tanZB7VB,=1^1=73，:.NBNB\=60°,

2BN

即選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)￡>,在△CMS中，CM2=AC2+AM?=善，蛇產(chǎn)A[B,A[M2=3,8~2=8遇2+802

顯然CM2+MB；WB]C'即BIM與CM不垂直，；.選項(xiàng)。錯誤.

9

故選：ABC.

【知識點(diǎn)】二面角的平面角及求法、直線與平面所成的角、直線與平面垂直

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若“cosB-儀:os4=&,則主1他_=.

5tanB

【答案】9

【分析】利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合sinC=sin（A+B）與正弦的兩角和公式進(jìn)行運(yùn)算，

即可得解.

【解答】解：由正弦定理知，——

sinAsinBsinC

acosB-Z?COSA=AC',

5

/.sinAcosB-sinBcosA=—sinC,

5

又sinC=sin（A+B）=sinAcos3+cosAsinB,

iq

.i-sinAcosB=^.cosAsinB>

55

-tanA_Q

tanB

故答案為：9.

【知識點(diǎn)】正弦定理

14.新冠病毒爆發(fā)初期，全國支援武漢的活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、4

名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，要求至少有一名主任醫(yī)師參加，則

不同的選派方案共有一種.（用數(shù)字作答）

【答案】90

【分析】根據(jù)題意，先計(jì)算從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)

生的取法數(shù)目，再排除其中沒有主任醫(yī)師參加的取法，由此分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從4醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生,

有C63c/=120種取法，

若其中沒有主任醫(yī)師參加，即從不是主任醫(yī)師的5名男醫(yī)生中選出3名男醫(yī)生，從不是主任醫(yī)

師的3名女醫(yī)生中選出2名女醫(yī)生，

其取法有C53c3?=30種，

則至少有一名主任醫(yī)師參加的取法有120-30=90種，

故答案為：90.

【知識點(diǎn)】排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題

15.已知圓心在原點(diǎn)的圓O與直線/：y=?r+l相切，則圓。的半徑為—；若圓O沿著直線/向上滾動一

周得到圓?！瑒t圓?！膱A心坐標(biāo)為.

【分析】根據(jù)題意，求出原點(diǎn)到直線/的距離，又由圓O的半徑r=d,即可得第?空答案，結(jié)合題意，設(shè)

10

圓O'的圓心坐標(biāo)為("?，〃)，(w>0,n>0),分析可得｛m-0vo,接待客機(jī)、〃的值，即

2.2-q-r-2

Im+n-兀

可得第二空答案.

【解答】解：根據(jù)題意，原點(diǎn)(0,0)到宜線/的距離1=^^=工，

V1+32

若圓心在原點(diǎn)的圓。與直線/相切，則圓O的半徑『=4=上，

2

若圓。沿著直線/向上滾動一周得到圓。'，設(shè)圓0'的圓心坐標(biāo)為(山，")，(”>(),〃>0),

則00'=2TIX—=TI,

2

，迪3

且直線00'與直線/平行，則有｛m-0V。，

2,2-qr2

Im+n-兀

解可得：m=—,n=^2L

22

即?！淖鴺?biāo)為(匹,,a

22

故答案為：-1,(―,”).

222

【知識點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系、I圓的切線方程

16.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，四邊形A8CD為菱形，ZDAB=60a,DMLPA,PA=PD=AB=4,

M為BC中點(diǎn).則點(diǎn)M到平面PBD的距離是

【分析】由題意得。DMA.PA,且%04)=4,可得。平面以。，故而平面力力，平面ABC￡)；

根據(jù)V,wPBD=VpBDM即可求出M到平面PBD的距離.

【解答】解：：四邊形48c0為菱形，且ND48=6(T,.?.△8CO是等邊三角形，

又M是BC的中點(diǎn)，：.DM±BC,又BC//AD,：.DM±AD,

又。MJ_外，PAQAD^A,平面膽力，

又QMu平面ABCD,；.平面平面A8CD

取40的中點(diǎn)，，連接P"，BH,'：PA^PD^AB=4,A8=BO=AO=4,

J.PHVAD,旦PH=BH=2次，

由平面以.平面ABC。，平面群0c平面48CC=A。，

.?.Pb_L平面48cO,故PHLBH,，PB=2近，又PD=BD=4,

11

2

SABDpVX2在x^4-（7^）2=2715-

V

設(shè)M到平面P8力的距離為〃，則M-PBD4*2V15XhjVph.

33

又%-PBD=VP-BDM《X]X2X2FX2y=4,；?等電=4,解得hR五?

點(diǎn)M到平面PBD的距離為2屋.

故答案為：空運(yùn).

5

【知識點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。考生根據(jù)要求作答。

17.已知△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3a=4=看，.

①asin8=3；②當(dāng)x=8時(shí)，函數(shù)/"(x)=cos2x+J§sinxcosx+2取得最大值.在①②這兩個(gè)條件中選擇一

個(gè)補(bǔ)充至上述橫線上，求解下述問題：若問題中的三角形存在，能否求出邊c的值？若能，請求出邊c的值;

若不能，請說明理由；若問題中的三角形不存在，請說明理由.

【分析】由己知結(jié)合余弦定理可得〃的值，當(dāng)補(bǔ)充①至條件中時(shí)：分類討論，利用余弦定理可求sinB,進(jìn)

而可求“的值，可求c的值；當(dāng)補(bǔ)充②至條件中時(shí)：分類討論，利用余弦定理可求cosB,結(jié)合分

B6(0,TT),可得8=工，化簡函數(shù)解析式可得f(x)=cos(2X-2L)+5,利用余弦函數(shù)的性

632

質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)椤?&,結(jié)合余弦定理可得cosA=Ya=b2+c2-a2,整理可得〃-揚(yáng)出2/=(),

322bc3

即(b-^c)("空2)=0,解得人=返.或2/2,

3333

當(dāng)補(bǔ)充①至條件中時(shí)：

當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得cos8=a+c-b_=，^_,則sinB=-l,再由asinB=3,可得

32ac22

a=6,可得°=6港；

當(dāng)b=仄區(qū).時(shí),由余弦定理可得cosB=a一°二=0,則§皿3=1,再由〃sin5=3,可得a

32ac

=3,可得c=3?,

綜上可知三角形存在，且可求得。=6?或3y.

當(dāng)補(bǔ)充②至條件中時(shí)：

12

當(dāng)6=恒-時(shí)，由余弦定理可得cosB=a，c2-b2=返,由在(0(冗)，可得s=2L；

32ac26

當(dāng)b=入行。時(shí),由余弦定理可得cos8=a+c-b_=0,由36(0,n),可得8=2L；

32ac2

因?yàn)閒(x)=cos2:v+J^sinNcosx+2=l+cos2x+、3sin2x+2=cos(2x-_ZL)+且

2232

要使/(x)取得最大值，只需2x-：=2)tn,keZ,解得X=KT+」L,kWZ,所以二時(shí)，

366

滿足條件，

綜上所述，這樣的三角形存在，但這樣的三角形彼此相似，有無數(shù)多個(gè)，故無法確定邊長C,的

值.

【知識點(diǎn)】兩角和與差的三角函數(shù)、余弦定理、正弦定理

a-1

18.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”且S5=25S，%=工一

2

(1)求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列｛兒｝滿足"=內(nèi)，且＞=/-------〃22,“CN*,求證：｛4｝的前〃項(xiàng)和〃＜料”.

a-1

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,根據(jù)S5=25SI，斯=12一，利用通項(xiàng)公式與求和公式可得

2

5"i+5X4"=25ai,4i+(n-1)"=_1?伍1+(2?-I)d-1],

22

解得為,d,即可得出斯.

aS-S

(2)由求和公式可得&=〃2,bn=,----------「=/門產(chǎn)1=

於「1，”22,"6N*,利用累加求和方法可得｛4,｝的前〃項(xiàng)和T“，結(jié)合重要不等式(a+b)

2<2(后+/)即可證明結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d，；55=25S,a—2n].-.5,Z1+12￡￡/=25aI,a]+(n-1)

22

d=^a\+⑵-1)d-

解得m=l，d=2.

，a〃=l+2(n-1)=2n-1.

(2)證明：5〃=口11+2n-1).二〃2.

2

aq_q

b,尸/?-------「=/11-I----心2,"6N*,

_-++_

則：｛兒｝的前n項(xiàng)和。，="+邪2Tg-1+邪3-17S2-1……VSn-lV^n_i-l

=1+厄

13

22

根據(jù)(〃+一)2<2(a+b)fa,h>0,a*b.

???"廬I(正-1+1=揚(yáng),

，*,<加〃.

【知識點(diǎn)】數(shù)列的求和、數(shù)列遞推式

19.如圖，四面體ABC。中，ZXABC是正三角形，△AC。是直角三角形，NABD=NCBD,AB^BD.

(1)證明：平面4COJ_平面ABC；

(2)若稀=2而，求二面角Q-AE-C的余弦值.

【分析】(1)取4C的中點(diǎn)。連接B。，OD.OBVAC,OBLOD,從而。8,平面ACD,由此能證明平面

AC￡>1>平面4BC.

(2)點(diǎn)E是8。的三等分點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角。-AE-C的余

弦值.

【解答】(1)證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)。連接8。，0D.

「△ABC是等邊三角形，J.OBLAC,

△ABO與△C8O中，AB=BD=BC,NABD=NCBD,

:./\ABD?ACBD,：.AD^CD,

???△AC。是直角三角形，，AC是斜邊，.?.NA￡>C=90°,

?：DO=^^,：.DO2+BO2^AB2=-BD2,：.ZBOD=90°,AOBA.OD,

又DOriAC=O,/.OBmACD.

又OBu平面ABC,；.平面ACO_L平面ABC.

(2)解：由題知，點(diǎn)E是8。的三等分點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系._

不妨取AB=2,則O(0,0,0),A(1,0,0),C(-I,0,0),D(0,0,0),B(0,遍，

0),E(0,叵2).

33_

AD=(-1.0,1),AE=(-1,返，—),AC=(-2,0,0),

33

設(shè)平面AOE的法向量為7=(X，y，Z),

mpAD=-x+z=0__

則<_2,取x=3,得n=(3,3).

n?AE=-x+--^-y+7rz=0

14

同理可得：平面ACE的法向量為二=（0,1,-昱）.

2

—?—?

/.cos<71:>=——貯工—=-—）

Iml-lnl7

.?.二面角。-4E-C的余弦值為上.

【知識點(diǎn)】平面與平面垂直、二面角的平面角及求法

20.抖音短視頻已成為很多人生活中娛樂不可或缺的一部分，很多人喜歡將自己身邊的事情拍成短視頻發(fā)布

到網(wǎng)上，某人統(tǒng)計(jì)了發(fā)布短視頻后1-8天的點(diǎn)擊量的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)

計(jì)量的值.

15

22(?_y)(”-y)

4.5525.542357072.8686.8

其中。=居.

某位同學(xué)分別用兩種模型：①丫;加+?、趛=A+c進(jìn)行擬合.

(I)根據(jù)散點(diǎn)圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？

(H)根據(jù)(I)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程；(在計(jì)算回歸系數(shù)時(shí)精確到0.01)

(III)并預(yù)測該短視頻發(fā)布后第10天的點(diǎn)擊量是多少？

n__

L(x「x)(y「y)

AX1q-

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=^\------二-------，a=?_b?

2

￡(Xi-x)

i=l

【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖即可判斷；

(II)由"=],結(jié)合表格中數(shù)據(jù)求解即可.

(III)把x=10代入回歸直線方程求解即可.

【解答】解：(I)由散點(diǎn)圖可知，模型①效果更好.

444

(II)因?yàn)榉?/,所以y=b'+a，

n__

L(xd-x)(y--y)

?；二以^--------------=686?8-O/9,

bJ?z-、23570

工(Xj-X)

i=l

a-y_b^=5-0.19X25.5~0.16,

￥=0.19^+0.16.

(Ill)由(II)可知，令x=10,則y=0.19X100+0.16=19.16.

預(yù)測該短視頻發(fā)布后第10天的點(diǎn)擊量19.16.

【知識點(diǎn)】線性回歸方程

2門

2

21.如圖，已知橢圓Ci：^-+y=l,拋物線C2：V=2px(p>0),點(diǎn)A為橢圓G的右頂點(diǎn).

(1)若拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(且，0),求橢圓G與拋物線C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；