1.5 函數(shù)的連續(xù)性

第一章函數(shù)極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一.連續(xù)函數(shù)的概念1連續(xù)函數(shù)的概念

在現(xiàn)實生活中有許多量都是連續(xù)變化的,例如氣溫的變化,植物的生長,物體運動的路程，金屬絲加熱時長度的變化等等.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.它是與函數(shù)的極限密切相關(guān)的另一個基本概念.1.增量定義1

設(shè)變量從它的初值變到終值,則終值與初值之差就叫做變量的增量,又叫做的改變量,記作.對于函數(shù),當(dāng)自變量從變到（自變量的改變?yōu)椋r,函數(shù)有相應(yīng)的改變量，記作，即.其幾何意義如圖11.

2、點連續(xù)如圖定義2設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在點的改變量趨于零時，函數(shù)相應(yīng)的改變量也趨于零,即則稱函數(shù)在點處連續(xù).由定義2可以得出下面的結(jié)論:⑴若函數(shù)在點處連續(xù),則在點處的極限一定存在;反之,在點處的極限存在,則函數(shù)在點處不一定連續(xù).⑵若函數(shù)在點處連續(xù),要求時函數(shù)的極限,只需求函數(shù)在點處的函數(shù)值即可.⑶當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時,有這個等式意味著在函數(shù)連續(xù)的前提下,極限符號與函數(shù)符號可以互相交換.這一結(jié)論給我們求極限帶來了很大的方便.例2求例3求3、左連續(xù)、右連續(xù)若函數(shù)

y=f(x)在點

x0

處有：則分別稱函數(shù)

y=f(x)在

x0

處是左連續(xù)或右連續(xù).由此可知，函數(shù)

y=f(x)在x0處連續(xù)的充要條件可表示為：即函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點處左、右連續(xù)．則稱該函數(shù)在開區(qū)間

(a,b)

內(nèi)連續(xù).

若函數(shù)

y=f(x)在開區(qū)間（a,b)

內(nèi)的各點處均連續(xù)，若函數(shù)

y=f(x)在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，則理解為除在

(a,b)

內(nèi)連續(xù)外，在左端點

a為右連續(xù)，在右端點

b為左連續(xù).4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線.

1.5.2初等函數(shù)的連續(xù)性定理1

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.根據(jù)這條定理，我們在求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點的極限時，只需求初等函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.例4求下列極限：解

（1）因為是初等函數(shù)，其定義域為[]，而[]，所以注：1、定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);

3.初等函數(shù)求極限的方法——代入法.（2）因為是初等函數(shù)，其定義域為而所以

1.5.3函數(shù)間斷點

定義3

設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個鄰域有定義(在

x0可以沒有定義)，

則稱

x0是函數(shù)

y=f(x)的間斷點.也稱函數(shù)在該點間斷.

如果函數(shù)

f(x)在點

x0處不連續(xù)，由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，如果在點處有下列三種情形之一，則點為的一個間斷點.（1）在點沒有定義，即不存在；（2）不存在；（3）雖然存在，但例5函數(shù)在點處無定義，所以在點處間斷，是函數(shù)的間斷點.見圖1—6

例6函數(shù)

在有定義，但，，所以不存在，因此在處不連續(xù).見圖1－7

例7函數(shù)在點無定義，所以在點間斷，是函數(shù)的間斷點.圖1－8例8

函數(shù)

在時有定義，但

顯然

，所以在不連續(xù).在以上幾個例子中,函數(shù)在指定點均不連續(xù)，但情況卻各有不同.例9已知函數(shù)在處連續(xù)，求的值解：因為例10

已知函數(shù)試求(1)函數(shù)的定義域；(2)在處的極限；(3)指出在處是否連續(xù).解：(1)顯然該分段函數(shù)的定義域為；（2），，因為，所以不存在。

（3）因為，所以在處連續(xù).

而不存在,所以是的間斷點.

1.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理定理2（最