專題04二次根式的大小比較-

培優(yōu)專題04二次根式的大小比較的方法【考法導(dǎo)圖】◎方法一根式變形法依據(jù)：當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。方法：將根號(hào)外的正因式移入根號(hào)內(nèi)，轉(zhuǎn)化比較被開方數(shù)的大小。適用題型：與之間比較大小問題。1．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較：（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定【答案】B【分析】把二次根式變形后比較被開方數(shù)即可.【詳解】解：=，=，∵45<75，∴<．即<，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的大小比較，掌握被開方數(shù)越大，算數(shù)平方根就越大是解決此題的關(guān)鍵.2．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）2、、15三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜15【答案】A【分析】將分別化成，再進(jìn)行比較即可．【詳解】且即故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，比較被開方數(shù)，是常用的比較實(shí)數(shù)大小的方法．3．（2021春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較的大小，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將根號(hào)外邊的數(shù)移入到根號(hào)里面可進(jìn)行大小比較．【詳解】解：，，即：；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較．注意：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。?．（2020秋·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)，5的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】把兩數(shù)都化為只有根式的形式，再根據(jù)根號(hào)里面的數(shù)比較大小.【詳解】∵,5=則＜∴＜5故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的大小比較，解題關(guān)鍵在于通過比較被開方數(shù)的大小去比較無理數(shù)的大小.◎方法二平方法依據(jù)：當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。方法：將兩個(gè)根式同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化比較冪的大?。?．（2020春·遼寧營口·八年級(jí)統(tǒng)考期中）比較大小：4與5的結(jié)果是（

）A．4=5 B．4＞5 C．4＜5 D．無法確定【答案】C【分析】首先求出4與5的平方各是多少，然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的這個(gè)數(shù)也大，判斷出4與5的大小關(guān)系即可．【詳解】解：，，∵48＜50，∴4＜5故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的這個(gè)數(shù)也大．6．（2020春·四川南充·八年級(jí)?？计谥校┫旅娌坏汝P(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】比較兩個(gè)正的二次根式，平方大的二次根式比較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，據(jù)此逐一作出判斷，即可解答．【詳解】解：A.∵，∴，故選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不合題意；B.∵，，∴，故選項(xiàng)判斷正確，符合題意；C.∵，∴，故選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不合題意；

D.∵，，∴，故選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式大小的判斷，先比較符號(hào)，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。粌蓚€(gè)正的二次根式比較大小，平方大的二次根式較大．7．（2019秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)a、b、c分別進(jìn)行變形，然后進(jìn)行比較即可.【詳解】解：由，，∵14＜15.5＜16∴，即a＜c＜b故答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的比較，解題的突破口是將他們化為相同的形式，然后進(jìn)行比較.8．（2019春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）比較大小:4與5的結(jié)果是(

)A．前者大 B．一樣大C．后者大 D．無法確定【答案】C【詳解】∵(4)2=48,(52=50,∴4<5.故選C.◎方法三分母有理化法依據(jù)：分式的性質(zhì)。方法：通過分母有理化，利用分子的大小來比較。9．（2019秋·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【詳解】∵;∴ab=;∴ab<0;∴a<b;故選C．10．（2021春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，，則a與b的大小關(guān)系是（

）．A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】將，進(jìn)行分母有理化，再比較即可．【詳解】解：，，∵，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，不等式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)比較大小等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)x＝，y＝，則x，y的大小關(guān)系是（）A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x＝y(tǒng)【答案】A【分析】把x的值分母有理化，再比較．【詳解】x==3，3＞?3，所以x=y且x＞y．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化和比較實(shí)數(shù)的大小，化簡，判斷與?3兩者互為相反數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12．（2020春·八年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）設(shè)a＝－，b＝－1，c＝，則a，b，c之間的大小關(guān)系是()A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．a(chǎn)＞b＞c【答案】D【詳解】a=－=（1），b=1；c===×（1），∵＞1＞，∴a＞b＞c．故選D．◎方法四分子有理化法依據(jù)：分式的性質(zhì)。方法：通過分子有理化，利用分母的大小來比較。13．（2023春·全國·八年級(jí)期中）已知，，，那么a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把化為再結(jié)合從而可得答案．【詳解】解：∵，，，而∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的大小比較，二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的大小比較的方法”是解本題的關(guān)鍵．14．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將a、b、c的值分子有理化，然后根據(jù)分?jǐn)?shù)的比較大小方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：=∵＞＞∴＞＞∴故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式比較大小，掌握分子有理化是解題關(guān)鍵．15．（2019·浙江杭州·九年級(jí)）已知：，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用平方差公式進(jìn)行二次根式的運(yùn)算，再比較大小即可．【詳解】即故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式、二次根式的運(yùn)算，掌握二次根式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．16．（2023春·重慶長壽·八年級(jí)重慶市長壽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，，則下列大小關(guān)系正確的是(

)A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【分析】將a，b，c變形后，根據(jù)分母大的反而小比較大小即可．【詳解】解:∵，，，又，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的大小比較，將根式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．◎方法五作差比較法依據(jù)：=1\*GB3①；=2\*GB3②.方法：求出兩個(gè)根式的差，然后判斷差值與0的關(guān)系．17．（2022春·上海閔行·七年級(jí)上海市七寶中學(xué)?？计谥校┍容^大?。篲__________（用“>”、“<”或“=”填空）【答案】【分析】通過作差與比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：，又，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，涉及到作差法比較實(shí)數(shù)大小、二次根式比較大小的方法等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握作差法比較大小的恒等變形判定符號(hào)是解決問題的關(guān)鍵．18．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。ㄌ睢?gt;、<或＝”）：_______2

_______【答案】

>

>【分析】根據(jù)二次根式比較大小的方法：作差法及平方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，22=4，∴5>4，∴>2；∵，>2，∴>0，∴，故答案為：>；>．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的大小比較的方法．19．（2022秋·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）估算比較大?。篲______；______．【答案】

>

<【分析】①二次根式比較大小，可比較其平方的大??；②二者作差與作比較，可比較二者的大?。驹斀狻拷猓孩?，，故答案為：．②，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根式的大小比較．解題的關(guān)鍵在于識(shí)別根式適用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．20．（2021·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）比較大?。篲_________（填寫“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】直接用，結(jié)果大于0，則大；結(jié)果小于0，則大．【詳解】解：，∴，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，常用的比較大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正確理解和記憶方法背后的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．◎方法六作商比較法依據(jù)：當(dāng)，時(shí)，則：=1\*GB3①；=2\*GB3②.方法：求出兩個(gè)根式的商，然后判斷商值與1的關(guān)系．21．（2023秋·四川樂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）比較下列兩個(gè)數(shù)的大?。篲__________．（用“>”或“<”號(hào)填空）【答案】【分析】根據(jù)二次根式比較大小的方法求解即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較二次根式的大小，正確化簡兩個(gè)二次根式是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）比較大?。篲____．（填“＞”“＝”或“＜”）【答案】【分析】利用平方運(yùn)算比較與的大小，即可解答．【詳解】解：，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的大小比較，不等式的基本性質(zhì)，掌握二次根式的大小比較的基本方法是解題的關(guān)鍵.23．（2022春·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大?。篲_____．（填“＞”“＝”或“＜”）【答案】＞【分析】先利用二次根式的性質(zhì)變形，再比較大?。驹斀狻拷猓骸?，，27>20，∴＞，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·河南漯河·八年級(jí)統(tǒng)考期中）比較大?。篲_____．【答案】＞【分析】根據(jù)平方法比較大小即可．【詳解】解：（5）2=25×4=100，（4）2=16×5=80，∵100＞80，∴5＞4，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】此題考查了比較二次根式的大小，當(dāng)兩數(shù)為大于零的二次根式時(shí)，則有a2＞b2?a＞b，運(yùn)用平方法比較二次根式的大小是一種簡便的方法．◎方法七中間值比較法依據(jù)：，且，則.方法：適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的中間值，利用傳遞性進(jìn)行比較.25．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）估計(jì)與最接近的整數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，先估算出的范圍，再求出與中點(diǎn)與比較大小，進(jìn)而得到最接近的整數(shù)【詳解】解：，，，，即，，且，，，即，與最接近的整數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用二次根式的性質(zhì)估算無理數(shù)的范圍，得出的范圍是，并取與得中點(diǎn)與比較大小是解決問題的關(guān)鍵．26．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）估算的值應(yīng)在（

）．A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間．【答案】D【分析】首先把原式化成一個(gè)系數(shù)為1的二次根式，再分別與比較，即可得到解答．【詳解】解：∵原式=且49<54<64，∴即，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．27．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）比較大小錯(cuò)誤的是（

）A．＜ B．＋2＜﹣1C．＞﹣6 D．|1－|＞－1【答案】D【分析】利用比較實(shí)數(shù)大小的方法逐項(xiàng)判斷正誤即可．【詳解】A、由于5<7，則＜，故正確；B、由于＋2<6+2=8，而8=91<－1，則＋2＜﹣1，故正確；C、由于，則，故正確；D、由于，故錯(cuò)誤．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，涉及二次根式的比較，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，其中掌握二次根式大小的比較是關(guān)鍵．28．（2021秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在ABC中，AB＝，BC＝，下列選項(xiàng)中，可以作為AC長度的是（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，可以得到AC的長度的取值范圍，從而得到答案．【詳解】解：∵在△ABC中，AB＝，BC＝，∴﹣＜AC＜+，∵（+）2＝8+4＜8+4×2＝16＝42，∴+＜4，∵＞，∴﹣＞0，∴0＜AC＜4，∴AC的長度可以是2，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D不正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系以及二次根式的比較大小，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用三角形三邊關(guān)系解答．◎方法八特殊值法方法：可以在許可的條件下設(shè)定特殊值進(jìn)行比較29．（2020秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，則、、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，則設(shè)代入計(jì)算，再分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：∵0＜x＜1，∴設(shè)，則；；；∵，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡．30．（2019·北京昌平·八年級(jí)校考期中）已知0<<1，則、、