28.1銳角三角函數（講練）（原卷版）

28.1銳角三角函數銳角三角函數的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．注意：

(1)正弦、余弦、正切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值．角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化．

(2)sinA，cosA，tanA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成，，，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時習慣上省略∠A的角的記號“∠”，但對三個大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數的定義知：當角度在0°<∠A<90°間變化時，，，tanA＞0．題型1：銳角三角函數的相關概念1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，下列三角函數表示正確的是（）A．sinA=45 B．cosA=45 【變式11】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，則∠A的正弦值為（）A．512 B．1213 C．125【變式12】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值為（）A．34 B．43 C．35題型2：求銳角函數值2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，cosA，tanA．【變式21】已知，如圖Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．【變式22】在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分別求出sinA和tanB的值．題型3：構造直角三角形求銳角函數值3.如圖，在△ABC中，AB=8，BC=6，S△ABC=12．試求tan∠B的值．【變式31】如圖，在4×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，則tan∠ACB的值為.【變式32】如圖，銳角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面積為27cm2．求tanB的值．特殊角的三角函數值利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，歸納如下：銳角30°45°160°注意：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數值，它的另一個應用就是：如果知道了一個銳角的三角函數值，就可以求出這個銳角的度數，例如：若，則銳角．

(2)仔細研究表中數值的規(guī)律會發(fā)現：

、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結為：

①正弦、正切值隨銳角度數的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數的增大(或減小)而減小(或增大)．題型4：特殊角的三角函數值的計算4.計算：（1）sin45（2）cos60（3）sin60【變式41】計算：∣?823·sin60°－2·cos45°＋38－1【變式42】先化簡，再求值：a?ba+2b銳角三角函數之間的關系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余關系：，；

(2)平方關系：；

(3)倒數關系：或；

(4)商數關系：．

注意：

銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的意義推導得出，常應用在三角函數的計算中，計算時巧用這些關系式可使運算簡便．題型5：銳角三角函數之間的關系5.已知α為一銳角，sinα=45，求cosα，tanα．【變式51】已知tanα=25【變式52】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35【變式53】已知α+β=90°，且sinα+cosβ=3，求銳角α．題型6：銳角三角函數與圓綜合6.如圖，AB是圓O的直徑，PB，PC是圓O的兩條切線，切點分別為B，C．延長BA，PC相交于點D．（1）求證：∠CPB=2∠ABC．（2）設圓O的半徑為2，sin∠PBC=23【變式61】如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，連接BC交⊙O于點D，點E是BD的中點，連接AE交BC于點F．（1）求證：AC=CF；（2）若AB=4，AC=3，求∠BAE的正切值．【變式62】如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD與⊙O相切于點D．（1）求證：△CAD∽△CDB；（2）若sinC＝13題型7：銳角三角函數與平面直角坐標系7.如圖，在平面直角坐標系中，直線OA過點（2，1），則tanα的值是（）A． B． C． D．2【變式71】點P關于y軸對稱的點的坐標是（sin60°，cos60°），則點P關于x軸的對稱點的坐標為（）A．（32，12） B．（32C．（32，12） D．（12【變式72】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（3，0），點B（0，4），則tan∠OAB的值為（）

A．?43 B．34 C．4【變式73】如圖，已知A點坐標為（5，0），直線y=x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α=75°，則b的值為（）

A．3 B．533 C．4 題型8：銳角三角函數與一元二次方程綜合8.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA的值是方程2x25x+2=0的一個根,求sinA的值.【變式81】已知α為銳角，且tanα是方程x2+2x﹣3=0的一個根，求2sin2α+cos2α﹣3tan（α+15°）的值．【變式82】已知α為銳角且cosα是方程2x2﹣7x+3=0的一個根，求1?2sin題型9：利用三角函數值確定三角形類型9.△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且|2sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，請判斷△ABC的形狀．【變式91】在△ABC中，cosA＝，tanC＝，試判斷△ABC的形狀．【變式92】在△ABC中，若（2cosA﹣1）2+|﹣tanB|＝0，試判斷△ABC的形狀．題型10：銳角三角函數閱讀理解10.如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：sin2A1+sin2B1＝；sin2A2+sin2B2＝；sin2A3+sin2B3＝．（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A+sin2B＝．（2）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．【變式101】如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα＝＝，根據上述角的余切定義，解下列問題：（1）ctan30°＝；（2）如圖，已知tanA＝，其中∠A為銳角，試求ctanA的值．【變式102】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠C＝90°．若定義cotA＝，則稱它為銳角A的余切，根據這個定義解答下列問題：（1）cot30°＝；（2）已知tanA＝，其中∠A為銳角，試求cotA的值；（3）求證：tanA＝cot（90°﹣∠A）．一、單選題1．如果把一個銳角三角形三邊的長都擴大為原來的兩倍，那么銳角A的余切值（）A．擴大為原來的兩倍 B．縮小為原來的1C．不變 D．不能確定2．如圖，∠α的頂點位于正方形網格的格點上，若tanα=23A． B．C． D．3．cos60°的值等于（）A．1 B．12 C．22 4．如圖，△ABC的三個頂點在正方形網格的格點上，則tan∠A的值是（）A．65 B．56 C．2105．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23A．355 B．53 C．26．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，若AB=8，AD=5，則sinBA．35 B．45 C．34二、填空題7．計算：4tan45°＝．8．要使二次根式x?sin30°有意義，則x9．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值為．10．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點D，且有AD＝BD，點E是線段AB上的動點（與A、B不重合），連結DE，當△BDE是等腰三角形時，則AE的長為.11．（3.14﹣π）0+2cos45°﹣|1﹣2|+（12）﹣1=三、解答題12．計算：（12）﹣2+（π﹣3.14）0﹣|313．先化簡，再求代數式x?4x2?9四、綜合題14．如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分線交⊙O于D，過點D作DE∥AB