專題25 圓的基本性質(zhì)（分層精練）（解析版）

專題25圓的基本性質(zhì)（分層精練）1．（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．2．（2016?赤峰）如圖，⊙O的半徑為1，分別以⊙O的直徑AB上的兩個(gè)四等分點(diǎn)O1，O2為圓心，為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（）A．π B．π C．π D．2π【答案】B【解答】解：π×12×＝π×1×＝π．答：圖中陰影部分的面積為π．故選：B．3．（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽(yáng)升起的速度為（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，如圖所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平線以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故選：A．4．（2022?貴港）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)P在⊙O上，若∠ACB＝40°，則∠BPC的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∵∠ACB＝40°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，由圓周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，故選：C．5．（2022?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．4 D．4【答案】A【解答】解：連接AB，如圖所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝．∵AC＝4，∴BC＝＝4．故選：A．6．（2022?山西）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠B＝20°，則∠CAD的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解答】解：連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝20°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，故選：C．7．（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（）A．32° B．42° C．52° D．62°【答案】A【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，∴∠D＝48°，∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，故選：A．8．（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦AB長(zhǎng)20厘米，弓形高CD為2厘米，則鏡面半徑為厘米．【答案】26【解答】解：如圖，點(diǎn)O是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC，則點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)O三點(diǎn)共線，由題意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），設(shè)鏡面半徑為x厘米，由題意可得：x2＝102+（x﹣2）2，∴x＝26，∴鏡面半徑為26厘米，故答案為：26．9．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為cm．【答案】4【解答】解：∵C點(diǎn)是的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴CD過圓心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），設(shè)圓心為O，連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣1.6）cm，在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．故答案為4．10．（2021?恩施州）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長(zhǎng)1尺，問圓形木材的直徑是多少？（1尺＝10寸）答：圓材直徑寸．【答案】26【解答】解：過圓心O作OC⊥AB于點(diǎn)C，延長(zhǎng)OC交圓于點(diǎn)D，連接OA，如圖：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．則CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為2×13＝26（寸）．故答案為：26．11．（2022?黃石）如圖，圓中扇子對(duì)應(yīng)的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時(shí)，扇子會(huì)顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則β﹣α的度數(shù)是．【答案】90°【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案為：90°．12．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB＝8cm，CD＝2cm，則⊙O的半徑為cm．【答案】5【解答】解：如圖，連接OA，∵C是的中點(diǎn)，∴D是弦AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，∵OA＝OC，CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，解得OA＝5，故答案為：5．13．（2022?郴州）如圖，點(diǎn)A．B，C在⊙O上，∠AOB＝62°，則∠ACB＝度．【答案】31【解答】解：∵∠AOB＝62°，∴∠ACB＝∠AOB＝31°，故答案為：31．14．（2022?永州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC＝度．【答案】120【解答】解：∵∠ADC是所對(duì)的圓周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120．15．（2022?湖州）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是．【答案】30°【解答】解：∵OC⊥AB，∴，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∴∠APD＝∠AOD＝×60°＝30°，故答案為：30°．16．（2022?雅安）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為．【答案】144°【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圓周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案為：144°．17．（2021?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長(zhǎng)DC經(jīng)過O點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，則OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF＝＝16，∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在離橋的一端4米處，橋墩高4米．18．（2020?北海模擬）在直徑為100cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB＝80cm，求油的最大深度．【解答】解：如圖，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，依題意得CD就是油的最大深度，根據(jù)垂徑定理得：AC＝AB＝40cm，OA＝50cm，…（6分）在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得：OC＝＝＝30（cm），∴CD＝OD﹣OC＝50﹣30＝20（cm），答：油的最大深度是20cm．19．（2022秋?相山區(qū)期末）一輛裝滿貨物的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過廠門（廠門上方為半圓形拱門）？說明你的理由．【解答】解：這輛卡車能通過廠門．理由如下：如圖M，N為卡車的寬度，過M，N作AB的垂線交半圓于C，D，過O作OE⊥CD，E為垂足，則CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，由作法得，CE＝DE＝0.8m，又∵OC＝OA＝1m，在Rt△OCE中，OE＝＝＝0.6（m），∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．所以這輛卡車能通過廠門．20．（黃州區(qū)校級(jí)模擬）圖1是某希望小學(xué)放心食堂售飯窗口外遮雨棚的示意圖（尺寸如圖所示），遮雨棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形．圖2是遮雨棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．遮雨棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋遮雨棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π）．【解答】解：連接OB，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于F，如圖，由垂徑定理，可知：E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴EF是弓形高，∴AE＝AB＝2，EF＝2，設(shè)半徑為R米，則OE＝（R﹣2）米，在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，解得R＝4，∵sin∠AOE＝，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120度．∴的長(zhǎng)為＝π（m），∴帆布的面積為π×60＝160π（平方米）．21．（2020?廣西）如圖，已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于點(diǎn)H，DH＝，∠ABC＝120°，則AB+BC的值為（）A． B． C．2 D．【答案】C【解答】解：延長(zhǎng)BA到E，使AE＝BC，連接DE，如圖，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝×120°＝60°，∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，∴△DAC為等邊三角形，∴DA＝DC，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（SAS），∴∠E＝∠DBC＝60°，而∠DBA＝60°，∴△DBE為等邊三角形，∵DH⊥AB，∴BH＝EH，在Rt△BDH中，BH＝DH＝×＝1，∴BE＝2BH＝2，∴AB+BC＝2．故選：C．22．（2022?六盤水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說．真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，如圖是月亮洞的截面示意圖．（1）科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬CD約是28m，洞高AB約是12m，通過計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，點(diǎn)M在上，求∠CMD的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況．【解答】解：（1）設(shè)OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD＝CD＝14m，在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R＝，∴OC＝≈14.2m．（2）補(bǔ)全⊙O，在CD的下方取一點(diǎn)N，連接CN，DN，CM，DM，∵∠N＝∠COD＝81°，∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMD＝99°不變，是定值，∴“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況．20．（2022?湖北）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接CE交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G，連接BG．（1）求證：FB2＝F