浙江省杭州聞濤中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市濱江區(qū)聞濤中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列數(shù)學(xué)符號(hào)中，是軸對(duì)稱圖形的是(

)A. B. C.≌ D.2.以下表達(dá)式：①；②；③；④；⑤其中不等式有(

)A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)3.若，則下列不等式成立的是(

)A. B. C. D.4.如圖，，，添加下列哪一個(gè)條件可以推證≌(

)A.

B.

C.

D.5.對(duì)于命題“如果，那么”，能說(shuō)明它是假命題的反例是(

)A.， B.，

C.， D.，6.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的底角為(

)A. B. C.或 D.或7.如圖，中，D為AB中點(diǎn)，E在AC上，且若，，則BE的長(zhǎng)度是(

)

A.5 B. C.6 D.8.將一箱蘋果分給若干個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生都分到蘋果.若每個(gè)學(xué)生分5個(gè)蘋果，則還剩12個(gè)蘋果；若每位學(xué)生分8個(gè)蘋果，則有一個(gè)學(xué)生所分蘋果不足8個(gè)，若學(xué)生的人數(shù)為x，則列式正確的是(

)A. B.

C. D.9.如圖，在中，點(diǎn)P在邊BC上不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合，(

)A.若，，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，，則

10.如圖，中，，，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合，連接AD，作，DE交線段AC于E，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，其中正確的結(jié)論的是(

)A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.根據(jù)語(yǔ)句列不等式：x的3倍與2的差小于______.12.“直角三角形的兩銳角互余.”的逆命題是______，它是______命題填“真”或“假”13.如圖，中，DE是AB的垂直平分線，交BC于D，交AB于E，已知，的周長(zhǎng)為12cm，則的周長(zhǎng)是______

14.已知直角三角形的兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)為______.15.如圖，中，，分別以的三條邊為直角邊作三個(gè)等腰直角三角形：、、，若圖中陰影部分的面積，，，則______.

16.如圖，已知在中，，，，D是AC上的一點(diǎn)，，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為過點(diǎn)D作于點(diǎn)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t為______時(shí)，能使？三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。17.本小題6分

解不等式組：

；

18.本小題6分

在中，BD是的高線.

用直尺和圓規(guī)作出的平分線.

設(shè)的平分線交AC于點(diǎn)E，若，，求的大小.19.本小題8分

已知：，DE和AE分別平分和，BC過點(diǎn)E，且與AB垂直.

求證：

若，求的度數(shù).20.本小題8分

已知：A，E，F(xiàn)，B在同一條直線上，，，，

求證：

若，求DO的長(zhǎng).21.本小題8分

如圖，在中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，于G，

求證：

已知，，求點(diǎn)E到線段BC的距離.22.本小題8分

已知的三邊，，

求證：是直角三角形；

利用第題的結(jié)論，寫出兩組m，n的值，要求三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù).23.本小題10分

如圖1，已知線段AD、EC相交于點(diǎn)F，連接AE、DC，

求證：；

如圖2，連接AC，若CE平分，，，求CD的長(zhǎng).

24.本小題12分

對(duì)m、n定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：均為非零常數(shù)，等式右邊的運(yùn)算是通常的四則運(yùn)算，例如：

已知，

①求a、b的值；

②若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解，求字母t的取值范圍；

若運(yùn)算“?”滿足加法交換律，即對(duì)于我們所學(xué)過的任意數(shù)m、n，結(jié)論“”都成立，試探究a、b應(yīng)滿足的關(guān)系.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、圖形是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、圖形不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．

本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，掌握若一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸是關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：、、是不等式，和不是不等式，

即不等式有3個(gè)，故B正確．

故選：

據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號(hào)連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵．3.【答案】B

【解析】解：由，得，故本選項(xiàng)不合題意；

B.由，得，故本選項(xiàng)符合題意；

C.由，得，故本選項(xiàng)不合題意；

D.由，得，故本選項(xiàng)不合題意．

故選：

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.【答案】D

【解析】解：，

，

，

又，

添加條件，不能判斷≌，故選項(xiàng)A不符合題意；

添加條件，不能判斷≌，故選項(xiàng)B不符合題意；

添加條件，可以得到，不能判斷≌，故選項(xiàng)C不符合題意；

添加條件，可以得到≌，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：

根據(jù)題目中的條件，可以得到，，然后即可判斷各個(gè)選項(xiàng)中添加的條件是否能使得≌，從而可以解答本題．

本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答．5.【答案】D

【解析】解：A、滿足條件，也滿足結(jié)論，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不滿足條件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、滿足條件，不滿足結(jié)論，故D選項(xiàng)正確．

故選：

能說(shuō)明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子．

考查了命題與定理的知識(shí)，理解能說(shuō)明它是假命題的反例的含義是解決本題的關(guān)鍵．6.【答案】C

【解析】解：①當(dāng)?shù)慕菫樵摰妊切蔚捻斀菚r(shí)，

則該等腰三角形的底角為：，

此時(shí)該等腰三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：，，；

②當(dāng)?shù)慕菫樵摰妊切蔚牡捉菚r(shí)，

則該等腰三角形的頂角為：，

此時(shí)該等腰三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：，，；

綜上所述：該等腰三角形的底角為或

故選：

分兩種情況：①當(dāng)?shù)慕菫樵摰妊切蔚捻斀菚r(shí)，可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出底角；②當(dāng)?shù)慕菫樵摰妊切蔚牡捉菚r(shí)，可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出頂角，綜上所述即可得出答案．

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半求出AB長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BE即可．

【解答】

解：，

，

，D為AB中點(diǎn)，

，

，

由勾股定理得：

故選8.【答案】D

【解析】解：由題意可得，

，

故選：

根據(jù)題意，可以得到不等式，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)昂符合題意．

本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的不等式，注意不足8個(gè)暗含著小于8個(gè)，同時(shí)題干中有每個(gè)學(xué)生都分到蘋果，則最少1個(gè)．9.【答案】B

【解析】分析：

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判定可求解．

解：，

，

，

，

，

只有當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；

B.，

，

，

，

，

即，故正確；

C.，，

垂直平分BC，

而不一定等于，故錯(cuò)誤；

D.根據(jù)，，無(wú)法證明，故錯(cuò)誤，

故選：

本題主要考查直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：①，

，

，，

，

故①正確；

②為BC中點(diǎn)，，

，

，

，

，

，

，

故②正確；

③，

，

，

為等腰三角形，

，

，

，

，

或?yàn)榈妊切危?/p>

，

，

，

，

故③錯(cuò)誤，

④，

，

，

，

，

，

，

，

≌，

，

故④正確；

故選：

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到或，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：由題知，

“x的3倍與2的差”可表示為：，

所以“x的3倍與2的差小于1”可表示為：

故答案為：

根據(jù)先讀的先寫這一原則，表示出“x的3倍與2的差”，據(jù)此可得出不等式．

本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，熟知先讀的先寫這一原則是解題的關(guān)鍵．12.【答案】如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形

真

【解析】解：“直角三角形的兩銳角互余．”的逆命題是如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形，是真命題，

故答案為：如果三角形有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形；真．

先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)直角三角形的判定判斷即可．

本題主要考查命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．13.【答案】14

【解析】解：因?yàn)镈E是AB的垂直平分線，

所以，，

所以的周長(zhǎng)為：

的周長(zhǎng)是

故答案為

由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，進(jìn)行線段的等量代換后將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)和線段AB的和即可得的周長(zhǎng)

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，得到，是正確解答本題的關(guān)鍵．14.【答案】5或

【解析】【分析】

此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解．

已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①3是直角邊，4是斜邊；②3、4均為直角邊；可根據(jù)勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長(zhǎng)．

【解答】

解：①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)：

第三邊的長(zhǎng)為：；

②長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)：

第三邊的長(zhǎng)為：；

綜上，第三邊的長(zhǎng)為：5或

故答案為5或15.【答案】

【解析】解：、、均是等腰直角三角形，

，，，

設(shè)，，，，，

，

，

，

故答案為：

設(shè)，，，，，由，可得，由此構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論．

本題考查了勾股定理在幾何計(jì)算中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．16.【答案】5或11

【解析】解：①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過點(diǎn)D作于E，如圖1所示：

則，

，

平分，

，

又，

≌，

，，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

解得：；

②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)D作于E，如圖2所示：

同①得：≌，

，，

，

，

，

在中，由勾股定理得：，

解得：

綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t的值為5或11時(shí)，能使

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不同位置利用勾股定理即可求解．

本題主要考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置形成不同的直角三角形．17.【答案】解：，

，

，

，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

所以不等式組的解集為：

【解析】根據(jù)解一元一次不等式組的步驟對(duì)所給不等式組進(jìn)行求解即可．

本題主要考查了解一元一次不等式組及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式及解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：如圖，射線BE即為所求．

，，

射線BE為的平分線，

，

是的高線，

，

，

【解析】根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可．

由題意得，，根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)可得答案．

本題考查作圖-基本作圖、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．19.【答案】證明：過E作于H，

平分，

，

，，

，

，

，

≌，

，

同理：≌，

，

解：，

，

和AE分別平分和，

，，

，

，

，，

【解析】過E作于H，由AAS判定≌，得到，判定≌，得到，即可證明

由平行線的性質(zhì)推出，由角平分線定義得到，求出，由三角形外角的性質(zhì)推出

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是判定≌，≌；由角平分線定義求出20.【答案】證明：，，

，

在和中，

，

≌，

，

，

；

解：≌，

，

，

，

，

，

，

【解析】由“AAS”可證≌，可得，從而得出結(jié)論；

由全等三角形的性質(zhì)可得，可證

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：連接DE，

是BC邊上的高線，

是直角三角形，

是AB邊上的中線，

是AB的中點(diǎn)，

即DE是斜邊AB上的中線，

，

，

，

，

；

解：作于點(diǎn)F，

，，

，

，，

，

，

，

點(diǎn)E到線段BC的距離為

【解析】連接DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，由，等量代換得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出；

①作于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再利用勾股定理即可求出

此題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：，，，

，

則，

，

是直