2025屆廣西壯族自治區(qū)南寧市二中數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

2025屆廣西壯族自治區(qū)南寧市二中數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.02．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.4．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④5．過點且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.37．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或8．過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點，若，則的斜率為（）A. B.C. D.10．若圓的半徑為，則實數(shù)（）A. B.-1C.1 D.11．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個與橢圓有公共焦點的橢圓方程__________14．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.15．已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．若，則外接圓面積的最小值為______16．已知，求_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測試，學(xué)校利用簡單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來自甲班的概率.18．（12分）已知橢圓一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點B與點A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.19．（12分）已知圓，直線.（1）當(dāng)為何值時，直線與圓相切；（2）當(dāng)直線與圓相交于、兩點，且時，求直線的方程.20．（12分）已知拋物線上的點P（3，c）），到焦點F的距離為6（1）求拋物線C的方程；（2）過點Q（2，1）和焦點F作直線l交拋物線C于A，B兩點，求△PAB的面積21．（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個極值點.（1）求實數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.22．（10分）已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意，求得平面的一個法向量，結(jié)合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.2、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標(biāo)為該點對應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C3、D【解析】通過尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D4、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【點睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.5、A【解析】設(shè)直線的方程為，代入點的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C7、B【解析】利用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當(dāng)時，可化為：，解得：，此時“”是“”的充要條件，應(yīng)舍去；當(dāng)時，可化為：，解得：或，此時“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B8、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因為直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C9、C【解析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.10、B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出半徑的表達(dá)式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進(jìn)行取舍.12、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）14、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點M為的重心，E為AC中點，當(dāng)點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學(xué)生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運算能力，屬于中檔題.15、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即可求出外接圓的面積；【詳解】解：因為，所以，解得或（舍去）．又為銳角三角形，所以．因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以．外接圓的半徑，故外接圓面積的最小值為故答案為：16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，用列舉法寫出基本事件總數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86，則，又∵，且故【小問2詳解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為，，乙班86分以上2人為，，從中任取兩名同學(xué)共有，，，，,共有6組基本事件，且每組出現(xiàn)都是等可能的記：“從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，兩人都來自甲班”為事件M，事件M包括：共1個基本事件，由古典概型的計算概率的公式知∴所以兩人都來自甲班的概率為18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點坐標(biāo)，同理可得B點坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時，直線BP的方程為，經(jīng)驗證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：兩條直線關(guān)于直線對稱，兩直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).19、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實數(shù)的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求得，即可得到拋物線方程；（2）寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，進(jìn)而求得弦長|AB|,再求出點P到直線的距離，即可求得答案.【小問1詳解】由拋物線的焦半徑公式可知：，即得，故拋物線方程為：；【小問2詳解】點Q（2，1）和焦點作直線l，則l方程為，即，聯(lián)立拋物線方程：，整理得，設(shè)，則，故，點P（3，c）在拋物線上，則，點P到直線l的距離為，故△PAB的面積為.21、（1）；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即得解.【小問1詳解】解：因為，所以，因為在處有極值，所以，即，所以.經(jīng)檢驗，當(dāng)時，符合題意.所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，令，得，當(dāng)時，由得，；由得，或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上