2025屆安徽省蕪湖市安徽師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆安徽省蕪湖市安徽師大附中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．大衍數(shù)列，米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．3．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c4．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．5．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．6．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．7．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，8．已知.給出下列判斷：①若，且，則；②存在使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；③若在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；④若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、10．世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“”猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果是奇數(shù)，則將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到.如圖是驗(yàn)證“”猜想的一個(gè)程序框圖，若輸入正整數(shù)的值為，則輸出的的值是（）A． B． C． D．11．定義在上的奇函數(shù)滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．212．已知雙曲線的焦距為，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓六位同學(xué)重新坐，恰有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置，則不同的坐法有________種（用數(shù)字回答）.14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)___________.15．已知點(diǎn)M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為_(kāi)______．16．過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍，則的值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù)的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．18．（12分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．19．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）某商店舉行促銷(xiāo)反饋活動(dòng)，顧客購(gòu)物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類(lèi)推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次小（如5，3，1），則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購(gòu)物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點(diǎn).（1）寫(xiě)出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，，求的值.22．（10分）已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，，．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，即得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，再利用數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】由得，由題意函數(shù)得圖象恒在函數(shù)圖象的上方，作出函數(shù)的圖象如圖所示過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切線斜率為，所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想以及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.2、B【解析】

直接代入檢驗(yàn)，排除其中三個(gè)即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時(shí)B也滿足，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式，解題時(shí)可代入檢驗(yàn)，利用排除法求解．3、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】,選B5、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,6、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見(jiàn)方法為排除法.7、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球，所以.表示取出一個(gè)黑球，，所以.表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，，表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?，，表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?，，所?所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.8、B【解析】

對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性及平移變換，對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)分析，可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以周?對(duì)于①，因?yàn)椋?，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，解得，故對(duì)任意整數(shù)，，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，令，可得，則，因?yàn)?，所以在上?個(gè)零點(diǎn)，且，所以第7個(gè)零點(diǎn)，若存在第8個(gè)零點(diǎn)，則，所以，即，解得，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，且，所以，解得，又，所以，故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，考查三角函數(shù)的平移變換、最值、周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于中檔題.9、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.10、C【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的的值.【詳解】，輸入，，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)不成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，不成立，是偶數(shù)成立，則；，成立，跳出循環(huán)，輸出的值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、135【解析】

根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有種選擇，再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來(lái)的位置，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個(gè)人位置不變，共有種選擇.再確定4個(gè)人坐4個(gè)位置，但是不能坐原來(lái)的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分步乘法原理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時(shí)有最小值1，此時(shí)M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）2；（2）【解析】分析：（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求函數(shù)的最小值（2）分離參數(shù)，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．點(diǎn)睛：本題主要考查含兩個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)的最值和不等式的應(yīng)用，第二問(wèn)恒成立問(wèn)題分離參數(shù)，利用基本不等式求解很關(guān)鍵，屬于中檔題．18、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，，求出直線的斜率，進(jìn)而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故可得//，為中點(diǎn)；又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，是的中點(diǎn)，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因?yàn)槠矫?，故?即證.（2）連接，，作交于點(diǎn)，由（1）可知平面，又因?yàn)?/，故可得平面，則；又因?yàn)?/，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，，則，可取，設(shè)平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）分布見(jiàn)解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫(xiě)出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元，可能是三次二等獎(jiǎng)，也可能是一次一等獎(jiǎng)，兩次三等獎(jiǎng)，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)恰好獲得60