2025屆江蘇省三校數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆江蘇省三校數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知圓和橢圓.直線與圓交于、兩點,與橢圓交于、兩點.若時,的取值范圍是,則橢圓的離心率為()A. B.C. D.2.在等差數(shù)列中,若的值是A.15 B.16C.17 D.183.平行直線:與:之間的距離等于()A. B.C. D.4.已知關(guān)于的不等式的解集是,則的值是()A B.5C. D.75.已知直線:和:,若,則實數(shù)的值為()A. B.3C.-1或3 D.-16.已知圓:,點是直線:上的動點,過點引圓的兩條切線、,其中、為切點,則直線經(jīng)過定點()A. B.C. D.7.若定義在R上的函數(shù)滿足,則不等式的解集為()A. B.C. D.8.小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績?nèi)缦卤硭荆O(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和,則()第一次第二次第三次第四次第五次小王得分(環(huán))910579小張得分(環(huán))67557A. B.C. D.9.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列,其前6項分別為1,5,11,21,37,61,則該數(shù)列的第7項為()A.95 B.131C.139 D.14110.楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲,帕斯卡(1623~1662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律,比楊輝要遲了393年.如圖所示,在“楊輝三角”中,從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,則在該數(shù)列中,第37項是A.153 B.171C.190 D.21011.已知橢圓:的左、右焦點分別為、,為坐標原點,為橢圓上一點.與軸交于一點,,則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.12.已知,若是函數(shù)一個零點,則的值為()A.0 B.C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若圓的一條直徑的端點是、,則此圓的方程是_______14.某班學號的學生鉛球測試成績?nèi)缦卤恚簩W號12345678成績9.17.98.46.95.27.18.08.1可以估計這8名學生鉛球測試成績的第25百分位數(shù)為___________.15.已知是數(shù)列的前n項和,且,則________;數(shù)列的通項公式________16.已知雙曲線C:的一條漸近線與直線l:平行,則雙曲線C的離心率是______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四邊形為矩形,,,為的中點,與交于點,平面.(1)若,求與所成角的余弦值;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在長方體中,,,,M為上一點,且(1)求點到平面的距離;(2)求二面角的余弦值19.(12分)已知數(shù)列{}的首項=2,(n≥2,),,.(1)證明:{+1}為等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列{}的前n項和,求證:.20.(12分)已知的三個內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且滿足.(1)求角的大?。唬?)若,,,求的長.21.(12分)如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,,,和分別是和的中點,點在直線上,且.(1)證明:無論取何值,總有;(2)是否存在點,使得平面與平面所成角為?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.22.(10分)已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:對任意正整數(shù)n,

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由題設(shè),根據(jù)圓與橢圓的對稱性,假設(shè)在第一象限可得,結(jié)合已知有,進而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè),圓與橢圓的如下圖示:又時,的取值范圍是,結(jié)合圓與橢圓的對稱性,不妨假設(shè)在第一象限,∴從0逐漸增大至無窮大時,,故,∴故選:C.2、C【解析】由已知直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】在等差數(shù)列{an}中,由a1+a2+a3=3,得3a2=3,即a2=1,又a5=9,∴a8=2a5-a2=18-1=17故選C【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式,考查等差數(shù)列的性質(zhì),是基礎(chǔ)題3、B【解析】先由兩條直線平行解出,再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】,則:,即,距離為.故選:B.4、D【解析】由題意可得的根為,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是,所以方程的根為,所以,得,所以,故選:D5、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值,再驗證即可判斷作答.【詳解】因,則,解得或,當時,與重合,不符合題意,當時,,符合題意,所以實數(shù)的值為-1.故選:D6、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì),結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線,所以,因此點、在以為直徑的圓上,因為點是直線:上的動點,所以設(shè),點,因此的中點的橫坐標為:,縱坐標為:,,因此以為直徑的圓的標準方程為:,而圓:,得:,即為直線的方程,由,所以直線經(jīng)過定點,故選:D【點睛】關(guān)鍵點睛:由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上,運用圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意,求得其單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則,故在上單調(diào)遞減;又,故可得,則,即,解得,故不等式解集為.故選:B.【點睛】本題考察利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),屬中檔題.8、C【解析】根據(jù)圖表數(shù)據(jù)可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解:從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張,但是小王成績波動比較大,故設(shè)小王與小張成績的樣本平均數(shù)分別為和,方差分別為和.可知故選:C9、A【解析】利用已知條件,推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列,轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知,1,5,11,21,37,61,……,的差的數(shù)列為4,6,10,16,24,……,則這個數(shù)列的差組成的數(shù)列為:2,4,6,8,……,是一個等差數(shù)列,設(shè)原數(shù)列的第7項為,則,解得,所以原數(shù)列的第7項為95,故選:A10、C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1,2,3,3,6,4,10,5,…之間的關(guān)系即可。【詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數(shù):,所以第行的第三個數(shù)為在該數(shù)列中,第37項為第21行第三個數(shù),所以該數(shù)列的第37項為故選:C【點睛】本題主要考查了歸納、推理的能力,屬于中等題。11、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得,故可得,再由橢圓的定義得a,c的關(guān)系,故可得答案【詳解】,,又,,則,,則,,由橢圓的定義得,,,故選:C12、A【解析】首先根據(jù)題意求出,然后設(shè)函數(shù),利用以及的單調(diào)性,并結(jié)合對數(shù)運算即可求解.【詳解】由題意可知,,所以,不妨設(shè),(),故,從而,易知在上單調(diào)遞增,故,即,從而.故選:A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先設(shè)圓上任意一點的坐標,然后利用直徑對應的圓周角為直角,再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設(shè)圓上任意一點的坐標為可得:,則有:,即解得:故答案為:14、【解析】利用百分位數(shù)的計算方法即可求解.【詳解】將以上數(shù)據(jù)從小到大排列為,,,,,,,;%,則第25百分位數(shù)第項和第項的平均數(shù),即為.故答案為:.15、①.②.【解析】當時,,推導出,從而數(shù)列是從第二項起,公比為的等比數(shù)列,進而能求出數(shù)列的通項公式,即可求得答案.【詳解】為數(shù)列的前項和,①時,②①②,得:,,,,數(shù)列的通項公式為.故答案為:;.16、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出,再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為,則,即,則,故雙曲線C的離心率故答案為:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)以為原點,、所在的直線為、軸,以過點垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,利用空間向量法可求得與所成角的余弦值;(2)計算出平面的法向量,利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解:如圖,以為原點,、所在的直線為、軸,以過點垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,,,則,則,故,因為平面,平面,則,若,則,故、、、,則,,.因此,若,則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解:若,則、,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,可得,,所以直線與平面所成角的正弦值為.18、(1)(2)【解析】(1)以A為原點,以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,利用空間向量求解,(2)求出和的法向量,利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點,以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系由,,,,所以,,,因此,,,設(shè)平面的法向量,則,,所以,取,則,,于是,所以點到平面的距離【小問2詳解】由,,設(shè)平面的法向量,則,,所以,取,則,,于是,由(1)知平面的法向量為,記二面角的平面角為,則,由圖可知二面角為銳角,所以所求二面角的余弦值為19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)利用已知條件證明為常數(shù)即可;(2)求出和通項公式,再求出通項公式,利用裂項相消法可求,判斷的單調(diào)性即可求其范圍.【小問1詳解】∵=2,(n≥2,),∴當n≥2時,(常數(shù)),∴數(shù)列{+1}是公比為3的等比數(shù)列;【小問2詳解】由(1)知,數(shù)列{+1}是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列,∴,∴,∴∵,∴∴,∴∴.當n≥2時,∴{}為遞增數(shù)列,故的最小值為,∴.20、(1);(2).【解析】(1)由正弦定理化邊為角后,結(jié)合兩角和的正弦公式、誘導公式可求得;(2)用表示出,然后平方由數(shù)量積的運算求得向量的模(線段長度)【詳解】(1)因為,所以由正弦定理可得,即,因為,所以,,∵,故;(2)由,得,所以,所以.21、(1)證明見解析;(2)不存在,理由見解析.【解析】(1)以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,計算得出,即可得出結(jié)論;(2)計算出平面的一個法向量,利用空間向量法可得出關(guān)于的方程,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)因為平面,,以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,則、、、,,,所以,,則,因此,無論取何值,總有;(2),設(shè)平面的法向量為,則,取,則,,所以,平面的一個法向量為,易知平面的一個法向量為,由題意可得,整理可得,,此方程無解,因此,不存在點,使得平面與平面所成的角為.22、(1)見解析(2)見解析【解析】(1)由,令,得,或,又的定義域為,討論兩個根及的大小關(guān)系,即

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