甘肅省金昌市永昌縣第四中學2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

甘肅省金昌市永昌縣第四中學2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.2．音樂與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“微”，“微”經過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健吧獭薄来艘?guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個音階.據此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列3．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.5．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.26．有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；7．《九章算術》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在《九章算術》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學家、物理學家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.39．在等比數(shù)列中,，,則等于A. B.C. D.或10．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.11．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.12．已知向量分別是直線的方向向量，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則__________14．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.15．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______16．設是定義在上的可導函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（1）若在點處的切線與軸平行，求的值；（2）當時，求證：；（3）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍19．（12分）用長度為80米的護欄圍出一個一面靠墻的矩形運動場地，如圖所示，運動場地的一條邊記為（單位：米），面積記為（單位：平方米）（1）求關于的函數(shù)關系；（2）求的最大值20．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)21．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，首項，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知橢圓經過點，左焦點為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的右頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設，則，相減得，∴，又線段的中點為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點（或涉及到中點），可設弦兩端點的坐標，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點坐標，有．這種方法叫點差法2、C【解析】根據文化知識，分別求出相對應的頻率，即可判斷出結果【詳解】設“宮”的頻率為a，由題意經過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題3、D【解析】根據基本初等函數(shù)的導數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D4、A【解析】由等比數(shù)列的性質知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉化與化歸的數(shù)學思想5、D【解析】利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項公式得：.故選：D6、D【解析】根據題意，分別按照選項說法列式計算驗證即可做出判斷.【詳解】選項A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項錯誤；選項B，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項錯誤；選項C，6本不同的書分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項錯誤；選項D，先將6本書分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項正確.故選：D.7、C【解析】在，上分別取點，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算【詳解】如圖，在，上分別取點，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點睛】思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結構特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計算轉化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力8、D【解析】根據題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D9、D【解析】∵為等比數(shù)列，∴，又∴為的兩個不等實根，∴∴或∴故選D10、A【解析】設，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關于的軌跡方程.11、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C12、C【解析】由題意，得，由此可求出答案【詳解】解：∵，且分別是直線的方向向量，∴，∴，∴，故選：C【點睛】本題主要考查向量共線的坐標表示，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-3【解析】因為直線與直線垂直，所以考點：本題考查兩直線垂直的充要條件點評：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是14、①.x軸或直線②.【解析】根據給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；15、15【解析】易得拋物線方程為，根據，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1516、【解析】構造函數(shù)，結合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數(shù)在上單調遞增，不等式可化為，則，解得：【點睛】本小題主要考查構造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結果；（2）二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項系數(shù)是否為0進行分類討論，即可求出結果.【詳解】（1）當時，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因為在上恒成立，①當時，恒成立；②當時，，解得，綜上，的取值范圍為.18、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實數(shù)的值；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，求得，即可證得結論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點，且，可得出，構造函數(shù)，分析函數(shù)的單調性，求得的取值范圍，再構造，分析函數(shù)的單調性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因為的定義域為，.由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當時，，該函數(shù)的定義域為，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因為，，所以，存在，使得，則，且，當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減，所以，，所以，當時，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域為，.令，其中，則，所以，函數(shù)單調遞減，因為函數(shù)有兩個零點，等價于函數(shù)在上存在唯一的極值點，且為極大值點，且，即，所以，，令，其中，則，故函數(shù)在上單調遞增，又因為，由，可得，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調遞增，故，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數(shù).19、（1）（2）平方米【解析】（1）由題意得矩形場地的另一邊長為80-2x米，通過矩形面積得出關于的函數(shù)表達式；（2）利用二次函數(shù)的性質求出的最大值即可【小問1詳解】解：由題意得矩形場地的另一邊長為80-2x米，又，得，所以【小問2詳解】解：由（1）得，當且僅當時，函數(shù)取得最大值平方米20、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬元10年產生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.21、（1）；（2）【解析】（1）設數(shù)列的公差為d，根據等比中項的概念即可求出公差，再根據等差數(shù)列的通項公式即可求出答案；（2）由（1）得，再根據分組求和法即可求出答案【詳解】解：（1）設