2025屆新疆喀什第二中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題含解析

2025屆新疆喀什第二中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.12．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.4．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.115．丹麥數(shù)學家琴生（Jensen）是19世紀對數(shù)學分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)為，在區(qū)間內(nèi)恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為“凸函數(shù)”，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是“凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.6．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺7．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列{}中，已知=8，+=4，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.59．在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.6C.3 D.110．在等差數(shù)列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.2411．若直線與直線垂直，則（）A6 B.4C. D.12．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為______14．已知點和，M是橢圓上一動點，則的最大值為________.15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____16．已知直線與圓：交于、兩點，則的面積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.18．（12分）設橢圓過，兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點，且PM＝2MC.（1）求證：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱錐P-ADM的體積20．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點，求的面積的最大值.21．（12分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點M，使得三角形MAB的面積為，求點M的坐標22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C2、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D3、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎題.4、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.5、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導函數(shù)公式求各函數(shù)二階導函數(shù)，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；B：，則，故是“凸函數(shù)”；C：，則，故不是“凸函數(shù)”；D：，則，顯然定義域內(nèi)有正有負，故不是“凸函數(shù)”；故選：B6、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D7、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結(jié)果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.8、C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)求出公比，將原式化簡后計算【詳解】設等比數(shù)列{}的公比為，則＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故選：C9、A【解析】直接由等差中項得到結(jié)果.詳解】由得.故選：A.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的基本量運算求解【詳解】設的公差為d，因為，所以，又，所以故選：B11、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.12、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結(jié)論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導數(shù)求出切線的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，所以切線的方程為即.故答案為：14、【解析】由題設條件可知，.當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點，設左焦點為，則由橢圓定義，于是.當M不在直線與橢圓交點上時，M、F、B三點構(gòu)成三角形，于是，而當M在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有，在第三象限交點時有.顯然當M在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時要熟練掌握基本公式.15、【解析】求導，根據(jù)可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【點睛】本題考查運用導函數(shù)的符號，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.16、2【解析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因為同號，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，于是有以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，此時最小，當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.18、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到，結(jié)合題意求解即可，當切線斜率不存在時，驗證即可.【小問1詳解】將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯(lián)立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即當切線的斜率不存在時，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過M作MN∥CD交PD于點N，證明四邊形ABMN為平行四邊形，即可證明BM∥平面PAD.（2）過B作AD的垂線，垂足為E，證明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱錐P-ADM的體積.【詳解】解：（1）證明：如圖，過M作MN∥CD交PD于點N，連接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四邊形ABMN為平行四邊形∴BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如圖，過B作AD的垂線，垂足為E.∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD∴PD⊥BE.又AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴點M到平面PAD的距離等于點B到平面PAD的距離，即BE.連接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝則三棱錐P-ADM的體積VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.20、（1）；（2）2.【解析】（1）由離心率，得到，再由點在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關系和弦長公式，以及點到直線的距離公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過點，可得，將代入，可得，故橢圓方程為.（2）設的方程為，設點，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直線與橢圓相交，所以，解得，則，點P到直線的距離，所以，當且僅當，即時，的面積取得最大值為2.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點式求AB所在直線的斜率，結(jié)合點坐標求AB的垂直平分線，根據(jù)已知確定圓心、半徑即可得圓C的方程；（2）求AB所在直線方程，幾何關系求弦長，由三角形面積求點線距離，設M所在直線為，由點線距離公式列方程求參數(shù)，進而聯(lián)立直線與圓C求M的坐標【小問1詳解】由題意知，AB所在直線的斜率為，又，中點為，所以線段AB的垂直平分線為，即，聯(lián)立，得，半徑，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由題意，AB所在直線方程為，即，