高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)篇

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

函數(shù)/（%）在x=/處瞬時(shí)變化率是lim電=lim/（x°+Ax）-/（x。），我們稱它為函數(shù)y=/（尤）在工=/處的

Ax°Ax

導(dǎo)數(shù),記作尸（/）或可10?

票點(diǎn)詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Ax->0的意義：Ax與0之間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)Axf0時(shí)，位在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

包=〃x。+?一（%）無(wú)限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即/'（%）=lim包=lim/（/+?）-”工0）.

—Ax-Ax

2.幾何意義函數(shù)j，=/（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)尸（%）的幾何意義即為函數(shù)j，=4X）在點(diǎn)尸（看,%）處的切線的

斜率.用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題，切點(diǎn)是關(guān)鍵.（三大基本關(guān)鍵點(diǎn)：切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)橫坐標(biāo)

的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）.后=/'6）=1211］（0表示傾斜角，注意tz等于90°的特殊情況）.

3.物理意義函數(shù)s=s（7）在點(diǎn)小處的導(dǎo)數(shù)s'%）是物體在％時(shí)刻的瞬時(shí)速度n,即n=s'（%）；v=v（7）在點(diǎn)

t0的導(dǎo)數(shù)M"o）是物體在九時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即a=MU。）.

考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1?求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(。為常數(shù))r?=o

/(x)=xa(aeQ)f\x)=axa~x

f(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=axlna

/'(X)=；

/(x)=logx(Q〉0,aw1)

axina

/(X)=//'(x)=e、

/(x)=lnxf'M=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXf\x)=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則：［/(X)土g(x)］'=八x)土g，(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)］=/'(x)g(x)+/(x)g，(x);

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)#O,則［回］=7'(x)g(xr(x)g'(x)

g(x)gW

導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)歹=/Q),M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為yx=yuux:

如y=(3x-1)2我們將分三步：①將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)\y=U

\u=3x-\

②將y對(duì)〃的導(dǎo)數(shù)記為乂=2",將〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù)記為4=3;③了=/-u'x=2u-3=6(3x-1).

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

【例1】（2020?南陽(yáng)月考）若〃x）=2礦（2）+，,則/\1）=（）

A.-4B.-6C.2D.4

【例2】（2020?全國(guó)I卷）曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

【例3】（2020?全國(guó)I卷）函數(shù)/（x）=/-2/的圖像在點(diǎn)（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-1B.y=—2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1

【拓展提升】（2020?韶關(guān)期末）已知曲線S:y=2x-xi,求過(guò)點(diǎn)/（1,1）并與曲線S相切的直線方程.

【拓展提升】（2020?深圳月考）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=上，點(diǎn)。在曲線y=ln（2x）上，則|尸最小值為（）

A.l-ln2B.V2(l-ln2)C.l+ln2D.V2(l+ln2)

【解題總結(jié)】

1.注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義.

2.先化簡(jiǎn)解析式，在求導(dǎo).

3.注意區(qū)分在點(diǎn)的切線方程和過(guò)點(diǎn)的切線方程

在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)y=/（x）在點(diǎn),/（x。））處的切線方程

y=fM

為一（%）=/'（%）（尤-X。）,抓住關(guān)鍵0

k=f'(xo)

過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為尸（X。，％）,則斜率左=/（%0）,過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)/（〃?，M）,所以=/'（%）（機(jī)-X0）然后解出X。的值.（x。有幾個(gè)值，就有幾條切線）

注意在做此類題目時(shí)票分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

【訓(xùn)練1】（2021?朝陽(yáng)期末）已知一/⑴f+x,則〃2）的值為（）

43

A.-1B.0C.-D.-

32

x

【訓(xùn)練2】(2020?全國(guó)HI)設(shè)函數(shù)/(%)=--e--,若/”)=—e,則〃=_________.

x+a4

【訓(xùn)練3】（2020?渭南一^莫）＞=Inx-2在1=1處的切線的傾斜角為二，貝寸cos（2a+馬的值為（）

x2

【訓(xùn)練4】（2018?全國(guó)卷I）設(shè)函數(shù)/（%）=%3+（〃_1.2+"，若"'）為奇函數(shù)，則曲線＞=/（%）在點(diǎn)（0,0）

處的切線方程為（）

A.y=-2xB.y=~^c.y=2xD.y=x

【訓(xùn)練5】（2019?全國(guó)m）已知曲線y=ae"+xlnx在點(diǎn)（1,ae）處的切線方程為y=2x+b,則

A.a=e,b=-lB.a=e,b=l

C.a=e~x,b=\D.a=e~{,b=-l

【訓(xùn)練6】（2020?清新期末）曲線y=e"+i+x在％=-1處的切線與曲線y=f+加相切，則加二（）

A.4B.3C.2D.1

【訓(xùn)練7】（2020?珠海期中）直線y=冽分別與曲線y=2（x+l）,y=x+hu交于點(diǎn)4,B9則|“目的最小

值為（）

A.圭也B.2C.3D.-

42

考點(diǎn)2八大同構(gòu)函數(shù)

八大同構(gòu)函數(shù)分別是：y=xex,y=--,y=~-9y=x\nx,y=——y=——y=ex-x-l,

exxInx9x9

y=x-lnx-1我們通過(guò)基本的求導(dǎo)來(lái)看看這六大同構(gòu)函數(shù)的圖像，再分析單調(diào)區(qū)間及極值，以及它們之間

的本質(zhì)聯(lián)系.

圖1-2-7

圖1-2-4圖1-2-6圖1-2-8

對(duì)于V=xe":如圖1-2-1,求導(dǎo)后知：f\x）=（x+1）-,/（%）在區(qū)間（-8,-1）遞減，在區(qū)間（-1,+8）遞

增，/w=/（-i）=--；

mne

對(duì)于V=xlnx:如圖122,求導(dǎo)后知：f\x）=lnx+l,/（x）在區(qū)間（0,』）遞減，在區(qū)間（L+8）遞增,

/（4=心=一

關(guān)于圖1-2-1和圖1-2-2,我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于y=xe'函數(shù)，我們把x換成Inx即可得到y(tǒng)=xlnx.

y1—y

對(duì)于y=—：如圖1-2-3,求導(dǎo)后知：f'（x）=-/（X）在區(qū)間（-00,1）遞減，在區(qū)間（1,+00）遞增，

eAex

/Wmax=/（1）=-；

e

對(duì)于＞=皿：如圖1-2-4,求導(dǎo)后知：尸（幻=上坐，”X）在區(qū)間（0,e）遞增，在區(qū)間（e,+oo）遞減,

XX

/Wmax=/（1）=-；

e

關(guān)于圖1-2-3和圖1-2-4,我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于了=三函數(shù)，我們把x換成Inx即可得到了=處.

exx

對(duì)于y=J：如圖1-2-5,當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=e（x[l）<0,在區(qū)間（_oo,0）遞減；

XX

當(dāng)x>0時(shí)，,在區(qū)間（0,1）遞減，在區(qū)間（1,+8）遞增，〃x）1nhi=〃l）=e;

對(duì)于>=上：如圖1-2-6,當(dāng)x<l時(shí)，/（x）=電二<0,在區(qū)間（0,1）遞減；

\nx（Inx）

當(dāng)%>1時(shí)，八%）=，，：,在區(qū)間（l,e）遞減，在區(qū)間（e,+oo）遞增，/（x）min=f（e）=e;

（Inx）

關(guān)于圖1-2-5和圖1-2-6,我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于y=J函數(shù)，我們把x換成Inx即可得到>==匚.

xInx

對(duì)于%—1：如圖1-2-7,求導(dǎo)后知：ff（x）=ex-l,/（x）在區(qū)間（-8,0）遞減，在區(qū)間（0,+8）遞增,

/?in=/（0）=0；

對(duì)于>=x-lnx-l:如圖1-2-8,求導(dǎo)后知：/r（x）=1--,/（%）在區(qū)間（0,1）遞減，在區(qū)間（1,+oo）遞增,

/（%濡=〃1）=0；

關(guān)于圖1-2-7和圖1-2-8,仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于>=—1函數(shù)，我們把x換成Inx即可得到歹=x—Inx—1.

【例1】（2020?福建模擬）函數(shù)/（x）=（x+l）?/的最小值為.

【例2】（2020?荊州期末）函數(shù)外幻=L+止的單調(diào)增區(qū)間為（）

xx

A.(-co,1)B.(0,1)C.(0,e)D.(1,+oo)

【例3】(2021?江蘇期末)函數(shù)/(x)=xe「xTnx的最小值為,

【解題總結(jié)】

1.熟悉掌握八大函數(shù)的基本性質(zhì).

2.利用八大函數(shù)基本性質(zhì)解決最值單調(diào)區(qū)間問(wèn)題.

3.注意函數(shù)之間的同構(gòu)式轉(zhuǎn)化.

x-l

【跟蹤訓(xùn)練1】(2020?惠州期末)函數(shù)/(%)=——e(x>0)的最小值為.

x

InX

【跟蹤訓(xùn)練2】(2020?成都二診)已知函數(shù)/(%)=---，g(x)=x-e~x,若存在不￡(0,+oo),xeA,使得

x2

f(xJ=g(X2)=k(k<0)前立,則(生>)2.1的最大值為()

修

41

A./9B?eC.—D.—

考點(diǎn)3三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、6?eR且aw0),其基本性質(zhì)有:

對(duì)于三次函數(shù)/(x)=G?+6/+cx+d(a、b、c、c?eR且aH0),其導(dǎo)數(shù)為/''(x)=Sax。+26x+

-b±J"-3ac

當(dāng)〃-3〃>0,其導(dǎo)數(shù)尸(x)=0有兩個(gè)解再，x,原方程有兩個(gè)極值國(guó)，x

223a

當(dāng)時(shí),原方程有且只有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)〃網(wǎng)>〃％)=0時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)〃再>/(%)<0時(shí),原方程三個(gè)實(shí)數(shù)根；

性質(zhì)3:對(duì)稱性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱曲線，且對(duì)稱中心是；,/(-—));

3a3a

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

【例1】（2020?瀘州期末）函數(shù)/（x）=x3+2x2+mx+3是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是（）

4,4C.[1,+00)D.(-oo,1]

A.(-00,-]B.弓，+oo)

1Q

【例2】(2020?金鳳期末)已知函數(shù)/(x)=］x3-x2-8x+§,則下列說(shuō)法正確的()

A.〃x)有一個(gè)零點(diǎn)

B.“X)在x=4處有極大值

C.“X)在［-2,4］上單調(diào)遞增

D.“X)在》=-2處有極大值

【例3】(2020?貴池期中)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=/+ax2+(a-3)x,且/'(x)是偶函數(shù)，則/(x)的遞減區(qū)

間為()

A.(0,+oo)B.(-00,-1),(1,+oo)C.(-1,1)D.(3,+oo)

【例4】(2020?新課標(biāo)皿)已知函數(shù)/(x)=x3-日+/.

(1)討論/(x)的單調(diào)性.

⑵若/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，求左的取值范圍

【解題總結(jié)】

1.注意三次函數(shù)的基本性質(zhì).

2.數(shù)形結(jié)合便于理解.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.（2020?煙臺(tái)期末）若函數(shù)/（；0=1+（2-0）/+1》+1在定義域上不單調(diào)，實(shí)數(shù)”的取值范圍

為（）

A.或。>4B.a>4C.1<?<4D.1<<4

2,若函數(shù)=3%+。有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.(-2，2)B.[-2,2]C.(-00,-1)D.(1,+oo)

3.(2014?全國(guó)I理)已知函數(shù)/(x)=ax3-3*+l,若/(x)存在唯一的零點(diǎn)%,且為>0,則a的取值范圍

為()

A.(2,+oo]B.(—cor—2)C.(1,+00)D.(-oo,-1]

考點(diǎn)4抽象函數(shù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造(拓展提升)

類型一導(dǎo)數(shù)和差，構(gòu)造和差型函數(shù):

f\x)+c=[/(x)+ex],;f，(x)+g'(x)=[/(x)+g(x)];f'(x)-g'(x)=[/(x)-g(x)T;

和與積聯(lián)系，構(gòu)造乘積型函數(shù)；差與商聯(lián)系，構(gòu)造分式型函數(shù):

/'(x)g(x)-/(x)g，(x)=[/(,,

/Xx)g(x)+/(x)g,(x)=[/(x)g(x)l，

g2(x)g(x)

類型二幕函數(shù)及其抽象構(gòu)造

定理1#'(x)+/(x)>0o[V(x)]'>0;xf'(x)-/(x)>0<^>[^^],>0

證明：因?yàn)?a)+/(x)=[M(x)y；獷⑴=[￡^1了,所以礦(x)+/(x)>o,則函數(shù)了=切a)單調(diào)遞

XX

增；xf\x)-f(x)>0,則卜=型?單調(diào)遞增.

定理2當(dāng)x>0時(shí)，xf'(x)+nf(x)>0o>0;-叭x)>0=>0

證明因?yàn)椤?'。)+內(nèi)1/(》)=口"/(初'；x"所以礦(x)+"(x)>0,則函數(shù)

y=x"/(x)單調(diào)遞增；rf'(x)-nf(x)>0,則y=駕單調(diào)遞減.

類型三指數(shù)函數(shù)與抽象構(gòu)造

定理3f'(x)+f(x)>0o[exf(x)]'>0;r(x)+f(x)<0=[e/(創(chuàng)'<0

/V)-/(x)<0?[^r<0

證明：因?yàn)閇/(x)e['=e'[/'(x)y(x)],[詈I="”八X),所以廣(x)+/(x)>0,則y=/(x)/單調(diào)遞

增；反之尸〃上單調(diào)遞減；仆—?jiǎng)t”號(hào)單調(diào)遞增；反之”號(hào)單調(diào)遞減.

定理4rw+/(x)>^[ev(x)-a)r>o；r(x)-/(x)>^[^|^r>0.

證明：因?yàn)?'(X)+/(x)_a=?°(.;/'(x)-/(x)-a=e2,[由當(dāng)@了，所以八x)+/(x)>a,則

exex

y="(/(%)-a)單調(diào)遞增；/'(%)+/(%)<〃，y=e、(/(x)-a)單調(diào)遞減；若/'(x)-/(1)>a,則y=/(")+。

ex

單調(diào)遞增，若八幻-則,=/(%)+」單調(diào)遞減.

ex

定理5正弦同號(hào)，余弦反號(hào)定理

〃x)smx+〃x)—[〃x)smx"0,當(dāng)xe(gj),fr(x)tanx+/(x)>0<=>[/(x)sinx]r>0;

當(dāng)xw(-工，工)，r(x)tanx—/(x)>00[^^|，>0;

/z(x)sinx-/(x)cosx>0>0,

sinx22sinx

cosxfr(x)-/(x)sinx>0o[/(x)cosx]r>0,當(dāng)XG(-—,—)/'(%)-f(x)tanx>0o[/(x)cosx]r>0;

f'(x)cosx+/(x)sinx〉0o3>。,當(dāng)Xe(-工，-),/'(x)+/(x)tanx>0o>0.

cosx22cosx

遇正切時(shí)化切為弦，請(qǐng)自己證明相關(guān)結(jié)論.

【例1】(2020?湛河月考)已知定義在R上的函數(shù)g(x),其導(dǎo)函數(shù)為g'(x),若g(x)=g(-x)+x3,且當(dāng)xNO

時(shí)，grW>|x2,貝U不等式2g(x+l)—2g(x)<3Y+3x+l的解集為()

A.(-；，0)

B.(-co,一；)C.(-,+oo)D.(一8,；)

【例2】(2015?新課標(biāo)n)設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

礦(x)-/(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(h+oo)

C.(-00,-1)U(-1.0)D.(0,1)U(1，+oo)

【例3】(2020?南平一模)已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(4-x)且/(-2)=0,/'(x)為函數(shù)

〃x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x<2時(shí)，有〃x)+/'(x)>0,則不等式x?/(x)>0的解集為()

A.(0,6)B.(-2,0)C.(-00,-2)D.(-oo,-2)U(0,6)

【例4】(2020?汕頭一模)已知函數(shù)y=/(x-2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意的

xe(0,萬(wàn))滿足八x)cosx>/(x)sinx(其中八x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是()

A./(_￡)>V3/(J)B./(-y)<V3/(^)

3o3o

C.W(q)>用電D.V2/(-^)>V3/(-1)

【解題總結(jié)】

1.構(gòu)造時(shí)抓住問(wèn)題最后的不等式，往往隱藏著原函數(shù)影子.

2.利用單調(diào)性求解范圍.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.(2020?宛城模擬)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),滿足了'(x)</(x)且>=/(尤+1)是偶函

數(shù)，/(0)=2e2,則不等式/(x)<2e，的解集為()

A.(-co,2)B.(-co,0)C.(0,+00)D.(2,+<?)

2.(2020?遂寧模擬)定義在(1,+8)上的函數(shù)“X)滿足//'(制+1>0,其中/'(X)為函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，

4

/(3)=j,則關(guān)于x的不等式“bg2X)-l>log、2的解集為()

A.(1,8)B.(2,+oo)C.(4,+oo)D.(8,+<?)

3.(2020?陜西月考)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)〃x)滿足切'(x)-/(x)<0,其中/(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)

函數(shù).若2/(m-2020)>(加-2020)/(2),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()

A.(0,2020)B.(2020,+<?)C.(2022,+<?)D.(2020,2022)

4.(2020?邵陽(yáng)一模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),/。)+/(-苫)=0且對(duì)任意工€(0,萬(wàn))有

/,(x)sinx</(x)cosx.設(shè)。=一2/(-令，6=0/()c=/(y),則()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

第2節(jié)單調(diào)性問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)1單調(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題

1.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果廣(x)>0,則y=/(x)為增函數(shù)；

如果/'(x)<0,則y=/(x)為減函數(shù).

2.已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

①若〃x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有尸(x)NO恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿足

尸(x)>0,才能得出/(%)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有廣(x)40恒成立(但不恒等于0);反之，要滿足

f\x)<0,才能得出/(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

考點(diǎn)2討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

類型一不含參數(shù)單調(diào)性討論

第一步：求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域(化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；

第二步：變號(hào)保留定號(hào)去(變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒

負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分)；

第三步：求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)

正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；

第四步：未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過(guò)第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；

第五步：正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；

第六步：一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo).

第七步：借助二階定區(qū)間(通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；

第八步：綜上所述得圓滿.

類型二含參數(shù)單調(diào)性討論

第一步：求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)

連續(xù)的區(qū)間）；

第二步：變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或

恒負(fù)，無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；

第三步：恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；

第四步：然后再求有效根；

第五步：根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

第六步：導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間（作圖原理同穿針引線法解高次不等式）；

第七步：綜上所述得圓滿.

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)一單調(diào)性基礎(chǔ)問(wèn)題

【例1】（2020?南崗期末）函數(shù)"x）=gx2-91nx的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（0,3）B.（-00,3）C.（3,+oo）D.（-3,3）

【例2】（2021?寧德期末）已知函數(shù)"x）=2x+，一，若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)°的

X+1

取值范圍是（）

A.iz>0B.tz>2C.a<2D.a<2

【例3】(2021?呼和浩特月考)若函數(shù)/(x)=(-|V+x+l區(qū)間[；,3]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A.(2,4)B.[2,4)C(2,當(dāng)D.[2,馬

【解題總結(jié)】

以上是單調(diào)問(wèn)題常見(jiàn)題型三劍客，即求單調(diào)、已知單調(diào)求參范圍、已知不單調(diào)求參范圍，這里要注意

一個(gè)細(xì)節(jié)，即是否取等.

【訓(xùn)練1】(2021?太原期末)函數(shù)/(x)=上的單調(diào)遞增區(qū)間是()

ex

A.(-oo,-1]B.(-oo,1]C.[-1,+oo)D.[1,+oo)

【訓(xùn)練2】(2020?全國(guó)I理)已知函數(shù)/(x)=，+*—X?

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論的單調(diào)性;

【訓(xùn)練3】(2020?興慶期末)若函數(shù)/(xhlnx-竺在[1,3]上為增函數(shù)，則加的取值范圍為()

A.(—00,—1]B.[—3,+oo)C.[―1,+00)D.(—co,—3]

【訓(xùn)練4】(2020?梅州期末)若函數(shù)〃x)=2x+旦在區(qū)間[0,+◎上單調(diào)遞增，實(shí)數(shù)°的取值范圍是()

X+1

A.a>0B.a>2C.a<2D.a<2

考點(diǎn)二討論單調(diào)區(qū)間問(wèn)題

[例4](2020?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(%)=1—q(x+2).

(1)當(dāng)4=1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

【例5】(2020?新課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

［拓展提升］(2020?新課標(biāo)II)已知函數(shù)/(x)=21nx+l.

(1)設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)=一/⑷的單調(diào)性.

"Mx-a

【解題總結(jié)】

1.關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問(wèn)題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來(lái)作出選擇，通過(guò)對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從

而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減.(注意定義域的間斷情況).

2.需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過(guò)二階導(dǎo)的正負(fù)來(lái)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函

數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段.

3.利用草稿圖像輔助說(shuō)明.

【訓(xùn)練1】(2020?新課標(biāo)H)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2x.

⑴討論/(x)在區(qū)間(0,萬(wàn))的單調(diào)性；

V-L1

【訓(xùn)練2](2019?新課標(biāo)D)已知函數(shù)/(x)=lnx-----

x-1

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

【訓(xùn)練3】(2014?新課標(biāo)0)已知函數(shù)/(x)=e*-eT-2x.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

情形一變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù)

【例7】(2019?重慶?？?已知函數(shù)/(x)=ox+lnx+l(aeJ?).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

情形二變號(hào)函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)

【例8】(2019?廣東二模)已知函數(shù)/(X)=Q/+2X-1.(其中常數(shù)e=2.71828…，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).)

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

【訓(xùn)練4](2020?廣西聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx,

(1)求函數(shù)/(x)的極值.

【訓(xùn)練5】(2020?重慶二模)已知函數(shù)/(x)=alnX—(其中。42且。*°),且〃x)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=L

X

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;

情形三變號(hào)函數(shù)為二次函數(shù)型

知識(shí)點(diǎn)講解：變號(hào)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，變號(hào)函數(shù)為0的方程一般有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根玉，/(無(wú)根情況下二次

函數(shù)恒正或恒負(fù)，只有一根時(shí)情況類似，故不作為討論重點(diǎn))，理論上票分X|>Xz，進(jìn)行討論；

若函數(shù)八>)有定義域限制，則方程往往會(huì)涉及根的分布問(wèn)題，需要結(jié)合定義域?qū)Ω姆植歼M(jìn)行分類討論.

可因式分解

【例9】(2017?新課標(biāo)田)已知函數(shù)/(x)=\nx+ax2+(2a+l)x.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

不可因式分解型

y—1

【例10】(2014?山東)設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+——,其中Q為常數(shù).

x+1

(1)若0=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)討論“X)的單調(diào)區(qū)間.

【訓(xùn)練6】(2019?新課標(biāo)W)已知函數(shù)〃x)=2x3一"+6.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

【訓(xùn)練7】(2020?新課標(biāo)IH)已知函數(shù)/(x)=x3-kx+k2.

(1)討論“X)的單調(diào)性;

【訓(xùn)練8】（2020?馬鞍山二模）已知函數(shù)/（%）=〃￡一"-/+%（?！?）

（1）討論/（X）的單調(diào)性;

情形四變號(hào)函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型

【例11】(2017?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(x)=/(1-a)-a2x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性.

【解題總結(jié)】

1.二次型結(jié)構(gòu)of+&C+C,當(dāng)且僅當(dāng)0=0時(shí)，變號(hào)函數(shù)為一次函數(shù).此種情況是最特殊的，故應(yīng)最先討

論，遵循先特殊后一般的原則，避免寫到最后忘記特殊情況，導(dǎo)致丟解漏解.

2.對(duì)于不可以因式分解的二次型結(jié)構(gòu)a/+bx+c9我們優(yōu)先考慮參數(shù)取值能不能引起恒正恒負(fù).

3.注意定義域以及根的大小關(guān)系.

考點(diǎn)三零點(diǎn)比大小破解雙參范圍(拓展提升)

1.fcc+6￡/(x)恒成立，求2的最值和取值范圍；

k

2.fcr+63/(x)恒成立，求2的最值和取值范圍.

k

如圖3-3-1所示，通常的方法是構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-履，則gGLn3。時(shí)，從而達(dá)到解決此類型的目的，

這種解答方法適合解答題，但此類型題目出現(xiàn)在選填壓軸題的幾率更大，常規(guī)思路由于計(jì)算量大，對(duì)一道

客觀題來(lái)說(shuō)沒(méi)必要，故需要采納一些高觀點(diǎn)低運(yùn)算的方法，此類型可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，如圖3-3-2

所示，通常y=y（x）是一個(gè)凹函數(shù)（/'x）〉0）,如丘+6￡/（x）意味著〉=/（工）與了=h+6相切時(shí)即恒成立,

（-2,0）是直線和x軸的交點(diǎn)，記為（9，。），將y=/（X）的唯一零點(diǎn)X1求出,滿足不￡%即可.

kk

圖3-3-1圖3-3-2圖3-3-3圖3-3-4

同理，在比較丘+方3“X）時(shí)，也是一類型轉(zhuǎn)化，此時(shí)y=/（x）為凸函數(shù)（76）〈0）,也將圖3-3-3的方案轉(zhuǎn)

化為圖3-3-4,構(gòu)造占3%=-2；四個(gè)圖中的虛線直線是不可能滿足題目要求的，此方法叫零點(diǎn)比大小.

k

【例12】（2021?成都期末）設(shè)后，61R,不等式fcc+b+131nx在（0,+￥）上恒成立，則白的最小值是（）

k

11

A.~e9B.——C.D.~e

ee

A-4

【例13］（2021?鎮(zhèn)海月考）不等式4x+2@zxb（a、6啜，a-4）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則——的

。+4

最大值為（）

A.-In2B.-l-ln2C.-2In2D.2-21n2

b-a+1

【跟蹤訓(xùn)練13】(2021?浙江月考)已知。，blR,若e*-1辦一方對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立恒成立，則------

a

的取值范圍為.

【跟蹤訓(xùn)練14】(2020?武漢二模)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=(a~e)x+2b.不等式/(x)￡g(x)在xf(0，+￥)

恒成立，則勺的最小值是()

a

A.--B.--C.-eD.e

2ee

第3節(jié)極值與最值

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

【知識(shí)梳理】

考點(diǎn)1極值與最值

1.函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點(diǎn)與附近有定義，如果對(duì)天附近的所有點(diǎn)都有“X)</(/),則稱/(%)是函數(shù)的一個(gè)極大

值，記作歹極大值=/&),如果對(duì)飛附近的所有點(diǎn)都有/(%)>/(%),則稱/(%)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作

y極小值=/(%).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱不為極值點(diǎn).

求函數(shù)的極值的三個(gè)基本步驟①求導(dǎo)數(shù)/'(X);②求方程/'(x)=0的所有實(shí)數(shù)根；③檢驗(yàn)廣(X)在方程

廣(力=0的根左右的符號(hào)，如果是左正右負(fù)(左負(fù)右正)(注意數(shù)形結(jié)合分析)，則/(%)在這個(gè)根處取得極

大(小)值.

2.最值的判斷法則

函數(shù)歹二/(%)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)/(%)最小值為極小值與靠近極

大值的端點(diǎn)之間的最小者.

2

間隔最值定理導(dǎo)函數(shù)為f(x)=ax+bx+c=a(x--x2)(m<xx<x2<n)

(1)當(dāng)。>0時(shí)，最大值是/(再)與/(幾)中的最大者；最小值是/(馬)與/(⑼中的最小者.

(2)當(dāng)q<0時(shí)，最大值是/(x2)與f(m)中的最大者；最小值是/(再)與f(n)中的最小者.

一^地，設(shè)歹=/(x)是定義在［m,n］上的函數(shù)，y=/(x)在(加，幾)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=/(%)在［冽，n\

上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

(1)求>=/(%)在(加，加)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將》=/(%)的各極值與/(加)和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)一極值與最值

【例1】(2020?平邑縣期中)已知函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為了'(X),如圖是函數(shù)y=x-y'(x)的圖

象，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)“X)的減區(qū)間是(-2,0),(2,+oo)B.函數(shù)“X)的減區(qū)間是(-8,-2),(2,+oo)

C.x=-2是函數(shù)的極小值點(diǎn)D.x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)

【例2】(2019?運(yùn)城期末)函數(shù)/(x)=f-lnx的極值點(diǎn)是

177

【例3】(2020?運(yùn)城期末)函數(shù)/(X)=asinx+§sin3x在x=§處有極值，則(?的值是.

【例4】(2020?天津)已知函數(shù)/(x)=G+8nx(無(wú)eR),/'(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)左=6時(shí)，

(i)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

o

(ii)求函數(shù)g(x)=〃x)-/'(x)+3的單調(diào)區(qū)間和極值；

x

【例5】(2017?北京)已知函數(shù)/(X)=excosx-x,

(1)求曲線＞=/(%)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(X)在區(qū)間［o,g上的最大值和最小值.

【解題總結(jié)】

1.因此，在求函數(shù)極值問(wèn)題中，一定要檢驗(yàn)方程/'（x）=0根左右的符號(hào)，更要注意變號(hào)后極大值與極小值

是否與已知有矛盾.

2.原函數(shù)出現(xiàn)極值時(shí)，導(dǎo)函數(shù)正處于零點(diǎn)，歸納起來(lái)一句話：原極導(dǎo)零.這個(gè)零點(diǎn)必須穿越x軸，否則不

是極值點(diǎn).判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

【訓(xùn)練1】（2021?湖南月考）若尤=1是函數(shù)/（x）=；/+（a+1），一（a?+0-3）x的極值點(diǎn)，貝'Ja為（）

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

【訓(xùn)練5】（2020?吉林月考）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=〃x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的

圖象為（）

【訓(xùn)練2】（2021?廣東期末）函數(shù)/（xhZxg?，的極大值為,

【訓(xùn)練3】(2021?河?xùn)|期末)若函數(shù)〃x)=gx3一af+x-5無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【訓(xùn)練4】(2018?新課標(biāo)I)已知函數(shù)/(x)=2sinx+sin2x,貝I〃x)的最小值是.

考點(diǎn)2恒能分問(wèn)題

恒成立：對(duì)定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，方程或不等式都成立.

能成立：定義域內(nèi)存在某個(gè)或某些實(shí)數(shù)，使得方程或不等式能夠成立，即存在性問(wèn)題.

這里，我們將這兩類問(wèn)題按著變量是否統(tǒng)一作了一個(gè)分類：

統(tǒng)一變量的恒成立與能成立問(wèn)題

類型一y/(x)滿足VxeD,/(x)>m恒成立,則在區(qū)間。上/(X)mM>加

f(x)滿足VxeD,f(x)<m恒成立,則在區(qū)間。上/(x)max<m

類型二(3)y/(x)滿足Hxe。，f{x}>m能成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上/(x)max>m

(4)f(x)滿足太eD,f(x)<m