5.2.1 解一元一次方程人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)2024-2025學(xué)年

第五章

一元一次方程

5.2解一元一次方程

在一卷古埃及草卷中，記載著這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題“它的全部與它的

，其和等于19.”你能求出這個(gè)問(wèn)題中的“它”嗎？

問(wèn)題：某校三年共購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)140臺(tái)，去年購(gòu)買(mǎi)數(shù)量是前年的2倍，今年購(gòu)買(mǎi)數(shù)量又是去年的2倍.前年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了多少臺(tái)計(jì)算機(jī)?學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】方法一：設(shè)前年這個(gè)學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了計(jì)算機(jī)x臺(tái)，則去年購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)2x臺(tái)，今年購(gòu)買(mǎi)計(jì)算機(jī)4x臺(tái).前年購(gòu)買(mǎi)量＋去年購(gòu)買(mǎi)量＋今年購(gòu)買(mǎi)量＝140臺(tái)根據(jù)題意，列得方程x+2x+4x＝140.還有不同的設(shè)法嗎？還可以列怎樣的方程？方法二：設(shè)去年購(gòu)買(mǎi)x臺(tái).方法三：設(shè)今年購(gòu)買(mǎi)x臺(tái).如何轉(zhuǎn)化呢?把含有x的項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，得對(duì)于x+2x+4x=140這個(gè)方程合并同類(lèi)項(xiàng)系數(shù)化為1，得7x=140x=20解：以x為未知數(shù)的方程，就是把方程逐步轉(zhuǎn)化為x=m（常數(shù)）的形式.

回顧本題列方程的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)：“總量=各部分量的和”是一個(gè)基本的相等關(guān)系.學(xué)生活動(dòng)一

【一起歸納】思考：上面解方程中“合并同類(lèi)項(xiàng)”起了什么作用？

合并同類(lèi)項(xiàng)的目的就是化簡(jiǎn)方程，它是一種恒等變形，可以使方程變得簡(jiǎn)單，并逐步使方程向x＝a的形式轉(zhuǎn)化．學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】問(wèn)題：

解下列方程：

系數(shù)化為1，得x=4（1）（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】（2）7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得6x=-78系數(shù)化為1，得x=-13

根據(jù)等式的性質(zhì)解一元一次方程時(shí)，得到的x=a就是方程的解.問(wèn)題：有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成1，－3，9，－27，81，－243，···，其中第n個(gè)數(shù)是（－3）

n－1（n＞1），如果這列數(shù)中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是－1701，那么這三個(gè)數(shù)各是多少？分析：從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面觀察，可發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的排列規(guī)律：后面的數(shù)是它前面的數(shù)與－3的乘積.學(xué)生活動(dòng)四

【一起探究】解:設(shè)所求三個(gè)數(shù)中第1個(gè)數(shù)是x,則后兩個(gè)數(shù)分別是－3x,9x.由三個(gè)數(shù)的和是-1701,得x－3x+9x=

－1701.合并同類(lèi)項(xiàng),得7x=

－1701.系數(shù)化為1,得x=－243.所以－3x=729,9x=

－2187.答:這三個(gè)數(shù)是-243,729,

－2187.1．方程2x＋x＝－6的解是()A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝－22．對(duì)于方程8x＋6x－10x＝8，合并同類(lèi)項(xiàng)正確的是()A．3x＝8B．4x＝8C．－4x＝8D．2x＝8DB3．解下列方程：(1)6x－5x＝3；解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得x＝3(2)－x＋3x＝7－1；解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x＝6.系數(shù)化為1，得x＝3解：合并同類(lèi)項(xiàng)，得3x＝9.系數(shù)化為1，得x＝3

4．若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是15，則它們的積為()A．105B．15C．35D．75A5．小明去文具店購(gòu)買(mǎi)2B鉛筆，店主說(shuō)：“如果多買(mǎi)一些給你打8折．”小明測(cè)算了一下，如果買(mǎi)50支比按原價(jià)購(gòu)買(mǎi)可以便宜6元，那么每支鉛筆的原價(jià)是多少元？解：設(shè)每支鉛筆的原價(jià)是x元，依題意，得50x－50×0.8x＝6.解得x＝0.6.答：每支鉛筆的原價(jià)是0.6元一元一次方程的解法:(1)合并同類(lèi)項(xiàng)——分配律(2)系數(shù)化成1——等式的性質(zhì)21．請(qǐng)欣賞一首詩(shī)：太陽(yáng)下山晚霞紅，我把鴨子趕回籠；一半在外鬧哄哄，一半的一半進(jìn)籠中；剩下十五圍著我，鴨有多少請(qǐng)算清．根據(jù)詩(shī)的內(nèi)容，設(shè)共有x只鴨子，列方_________________．將方程合并同類(lèi)項(xiàng)，得_________，方程兩邊同時(shí)乘____，得x＝______．x＝15460

2．解下列方程：(1)0.75x－0.25x＝5；解：x＝10解：y＝－15(4)2.4x－3x－1.4x＝5.2－8.解：x＝1.4

每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，這批書(shū)共（3x+20）本.

每人分4本，需要4x本，減去缺的25本，這批書(shū)共（4x-25）本.分析設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生.這批書(shū)的總數(shù)有幾種表示方法？它們之間有什么關(guān)系？表示這批書(shū)的總數(shù)的兩個(gè)代數(shù)式相等.3x+20=4x–25思考：（1）怎樣解這個(gè)方程？方程3x+20=4x-25與前面學(xué)過(guò)的一元一次方程在結(jié)構(gòu)上有什么不同？（2）怎樣才能將它轉(zhuǎn)化為x=a(常數(shù))的形式呢？（3）將方程3x+20=4x-25轉(zhuǎn)化為x=a的形式的依據(jù)是什么？3x+20=4x–25學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】解：（1）把方程轉(zhuǎn)化為x=m(常數(shù))的形式，方程3x+20=4x-25的兩邊都有含x的項(xiàng)（3x與4x）和不含字母的常數(shù)項(xiàng)（20與-25）；思考：（1）怎樣解這個(gè)方程？方程3x+20=4x-25與前面學(xué)過(guò)的一元一次方程在結(jié)構(gòu)上有什么不同？思考：（2）怎樣才能將它轉(zhuǎn)化為x=a(常數(shù))的形式呢？解：為了使方程的右邊沒(méi)有含x的項(xiàng)，等號(hào)兩邊減4x，利用等式的性質(zhì)1，得3x+20-4x=-25.為了使方程的左邊沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，等號(hào)兩邊減20.

利用等式的性質(zhì)1，得3x-4x=-25-20.而后就可以利用合并同類(lèi)項(xiàng)解方程了.思考：（3）將方程3x+20=4x-25轉(zhuǎn)化為x=a的形式的依據(jù)是什么？解：（3）等式的性質(zhì)1.

上面方程的變形，相當(dāng)于把原方程左邊的20變?yōu)楱C20移到右邊，把右邊的4x變?yōu)楱C4x移到左邊.像上面那樣把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng).學(xué)生活動(dòng)一

【一起歸納】思考：上面解方程中“移項(xiàng)”起了什么作用？

通過(guò)移項(xiàng)，含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于方程左右兩邊，使方程更接近于x=a的形式.學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】解下列方程（1）3x+7=32–2x解：移項(xiàng)，得3x+2x=32–7合并同類(lèi)項(xiàng)，得5x=25系數(shù)化為1，得x=5學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】解：移項(xiàng)，得合并同類(lèi)項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得問(wèn)題：若干輛汽車(chē)裝運(yùn)一批貨物,如果每輛汽車(chē)裝4噸,則這批貨物有2噸不能運(yùn)走；如果每輛汽車(chē)裝5噸,則裝完這批貨物后還可以裝其他貨物1噸,問(wèn)這批貨物共有多少?lài)?汽車(chē)共有多少輛？學(xué)生活動(dòng)四

【一起探究】解：設(shè)有x輛汽車(chē)，根據(jù)題意得4x＋2＝5x－1解得：x＝3則貨物的重量：4×3+2＝14（噸）1.下列移項(xiàng)正確的是()A.由2＋x＝8，得到x＝8＋2B.由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝－8C.由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1D.由5x－3＝0，得到5x＝－3C2.對(duì)方程7x=6+4x

進(jìn)行移項(xiàng)，得___________,合并同類(lèi)項(xiàng)，得_________，系數(shù)化為1，得________.3x=6

x=27x–4x=63.已知2m－3=3n+1，則2m－3n=

.4.當(dāng)x=_____時(shí)，式子2x－1的值比式子5x+6的值小1.4﹣2

6．將一堆糖果分給幼兒園某班的小朋友，如果每人2顆，那么就多8顆；如果每人3顆，那么就少12顆，這個(gè)班共有多少名小朋友？解：設(shè)這個(gè)班共有x名小朋友．根據(jù)題意，得2x＋8＝3x－12.解得x＝20.答：這個(gè)班共有20名小朋友1.移項(xiàng)的概念:把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊,叫作移項(xiàng).2.移項(xiàng)的作用:使含未知數(shù)的項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)分別位于方程左、右兩邊,使方程更接近于x=m的形式.3.移項(xiàng)法則:移項(xiàng)要變號(hào).4.解一元一次方程的步驟:移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化成1.1.對(duì)于方程–3x–7=12x+6，下列移項(xiàng)正確的是（

）

AA.–3x

–12x=6+7B.–3x+12x=–7+6C.–3x

–12x=7-6D.12x

–3x=6+72.

解下列一元一次方程：(1)5x-7=2x-10;解：（1）x=1.（2）t=20.（3）x=-4.（4）x=2.問(wèn)題：一批商界人士在露天茶座聚會(huì)，他們先是兩人一桌，服務(wù)員給每桌送上一瓶果汁，后來(lái)他們又改為三人一桌，服務(wù)員又給每桌送上一瓶葡萄酒，不久他們改坐成四人一桌，服務(wù)員再給每桌一瓶礦泉水．此外他們每人都要了一瓶可口可樂(lè)．聚會(huì)結(jié)束時(shí)服務(wù)員共收拾了50個(gè)空瓶．如果沒(méi)人帶走瓶子，那么聚會(huì)有幾人參加？學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】

解得:x=24.答:這次聚會(huì)共有24人參加.

問(wèn)題：某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t.新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5，兩種工藝的廢水排量各是多少？思考：①如何設(shè)未知數(shù)？②你能找到等量關(guān)系嗎？舊工藝廢水排量－200噸=新工藝排水量+100噸學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】若設(shè)新工藝的廢水排量為2xt，則舊工藝的廢水排量為5xt.由題意得5x-200=2x+100.移項(xiàng),得5x-2x=100+200.合并同類(lèi)項(xiàng),得3x=300.系數(shù)化為1,得x=100.所以2x=200,5x=500.答:新工藝的廢水排量為200t,舊工藝的廢水排量為500t.解：等號(hào)兩邊代表哪個(gè)數(shù)量？問(wèn)題：七年級(jí)(2)班男生、女生人數(shù)之比為5∶3，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了14名女生，此時(shí)男生人數(shù)正好與女生人數(shù)相等，求原來(lái)七年級(jí)(2)班有男生多少名？女生多少名？思考：①你學(xué)會(huì)如何設(shè)未知數(shù)了嗎？如何設(shè)？②本題中的等量關(guān)系是什么？男生人數(shù)=原來(lái)女生人數(shù)+14學(xué)生活動(dòng)三

【一起探究】答：原來(lái)七年級(jí)(2)班有男生有35名，則女生人數(shù)為21名.解：若設(shè)原來(lái)七年級(jí)(2)班有男生有5x名，則女生人數(shù)為3x名.由題意得：5x=3x+14移項(xiàng)，得5x－3x=14合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x=14系數(shù)化為1，得x=7所以5x=35，,3x=21.本題是一個(gè)與上一問(wèn)題相似的問(wèn)題，關(guān)鍵是要認(rèn)真分析出各個(gè)量之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)類(lèi)比，用上一個(gè)問(wèn)題的方法模式解決此問(wèn)題.1.小鄭的年齡比媽媽小28歲，今年媽媽的年齡正好是小鄭的5倍,小鄭今年的年齡是()A.

7歲B.8歲C.9歲D.10歲A分析：根據(jù)“表示同一個(gè)量的兩個(gè)式子相等”列方程解決問(wèn)題，于是設(shè)小鄭的年齡為x歲，則x+28=5x，則解得x=7歲.選A.2．甲廠庫(kù)存鋼材100噸，每月用去15噸；乙廠庫(kù)存鋼材82噸，每月用去9噸．經(jīng)過(guò)m個(gè)月，兩廠剩余鋼材相等，則m的值應(yīng)為()A．2B．3C．4D．5分析：題目中的相等關(guān)系是——m個(gè)月后“甲廠庫(kù)存鋼材噸數(shù)=乙廠庫(kù)存鋼材噸數(shù)”，于是列方程得：100-15m=82-9m，則解得m=3.選B.B3.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）的銷(xiāo)售瓶數(shù)的比為2：5．已知每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝_________大瓶．解:設(shè)每份為x瓶，則大瓶銷(xiāo)售了2x瓶，小瓶銷(xiāo)售了5x瓶，根據(jù)題意得:2x×500+5x×250=22500000，解得x=10000，所以大瓶銷(xiāo)售了2×10000=20000瓶，故答案是:20000.200004．江南生態(tài)食品加工廠收購(gòu)了一批質(zhì)量為10000千克的某種山貨，根據(jù)市場(chǎng)需求對(duì)其進(jìn)行粗加工和精加工處理．已知精加工的該種山貨質(zhì)量比粗加工的質(zhì)量3倍還多2000千克，求粗加工的該種山貨質(zhì)量．解：設(shè)粗加工x千克，則3x＋2000＝10000－x，解得x＝2000.答：粗加工的這種山貨質(zhì)量為2000千克.5.甲、乙、丙三位同學(xué)向貧困山區(qū)的希望小學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)，已知這三位同學(xué)捐贈(zèng)圖書(shū)冊(cè)數(shù)的比是5∶8∶9，如果他們共捐374本，那么這三位同學(xué)各捐書(shū)多少冊(cè)？解:設(shè)甲捐書(shū)5x本，則乙捐書(shū)8x本，丙捐書(shū)為9x本，根據(jù)題意，得5x+8x+9x=374,