專題02 平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型（解析版）

專題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（鉛筆頭模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過P1作AM的平行線P1C，過點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023下·北京順義·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行公理求出，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出，，再根據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，則，，，，．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目，難點(diǎn)在于過拐點(diǎn)作平行線．例2．（2023下·陜西西安·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】過點(diǎn)F作，因?yàn)?，所以，再根?jù)平行線的性質(zhì)可以求出，，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作，∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算．例3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】過點(diǎn)C作，

，，∴由得，，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例4．（2023下·遼寧鞍山·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【詳解】解：作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故選：C．例5．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)分別在直線和直線上，點(diǎn)在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)為．

【答案】/141度【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合角平分線的定義得到，同理可得．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出結(jié)論．例6．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，平分，平分，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，由，即可得，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，

∵，∴，∴，，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的性質(zhì)．例7．（2023下·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．例8．（2023下·河南安陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當(dāng)，（即時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)及新知說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)________；【答案】(1)①；②詳見解析(2)【分析】（1）①由可求，再根據(jù)已知的平行條件可得，從而求解；②由的度數(shù)求出，再根據(jù)，，可求出，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)作，根據(jù)平行公理推論證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系，求出，，進(jìn)而可得，在由三角形內(nèi)角和為，求出．【詳解】（1）解：（①∵，∴．又∵，∴．②由題意知，．∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，過點(diǎn)作，．

∴．∵，∴，∵，∴，∴．同理可得，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識(shí)別圖形，找出角與角之間的關(guān)系．例9．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】在“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，有這樣一道典型問題：如圖①，，點(diǎn)P在與之間，可得結(jié)論：．理由如下：過點(diǎn)P作．∴．∵，∴．∴．∴．【問題解決】(1)如圖②，，點(diǎn)P在與之間，求證：；(2)如圖③，，點(diǎn)P在與之間，平分，平分，寫出與間的等量關(guān)系，并寫出理由；(3)如圖④，，點(diǎn)P，E在與之間，，，可得與間的等量關(guān)系是______（只寫結(jié)論）【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)P作．由平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得；（2）由題意可設(shè)，，則，，由（1）可知：，同理可得，可得，，證得；（3）由（2）可知，由，，可得，由題意可知，進(jìn)而可得；【詳解】（1）證明：過點(diǎn)P作．∵，∴；∵，∴．∴，∴；（2）結(jié)論：．理由：如圖中，∵平分，平分，∴，．設(shè)，，則，，由（1）可知：，同理可得：，，，∴；（3）．理由如下：由（2）可知，∵，，∴，即：，由題意可知：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的推論，等量代換等相關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)是作輔助線構(gòu)建平行線．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？计谥校┥钪谐Ｒ娨环N折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中，垂足為A，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過B作，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂線的定義即可得解．【詳解】解：如圖，過B作，

∵，則，∴，∵，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和垂線的定義是解題關(guān)鍵．2．（2023下·湖北隨州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作，可得，推出，再利用角的和差求解即可.【詳解】解：如圖，∵，∴，作，∵，∴，∴，∵，∴；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．（2023下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，為、之間的一點(diǎn)，連接、，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作，則有，利用平行線的性質(zhì)可求得與，即可求的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖，

∵，∴，，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．4．（2023下·湖北襄陽·七年級(jí)襄陽四中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)得到，，再把三個(gè)角相加即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．5.（2023上·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°【答案】A【分析】根據(jù)入射角等于反射角以及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，入射角等于反射角等知識(shí)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)B作，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，再解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作，∴

∵，∴，∴∴，∴，∵∴∵，∴的度數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解是解此題的關(guān)鍵．7．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點(diǎn)E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．8．（2023上·福建南平·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在五邊形中，，分別是，的外角，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、多邊形的外角和定理；根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)、點(diǎn)為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和等于，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖所示，反向延長(zhǎng)，，

∵，∴，根據(jù)多邊形的外角和定理可得，又∴．故答案為：．9．（2023下·山東青島·七年級(jí)?？计谥校┠陈房诩t綠燈的平面示意圖如圖所示，平行于地面，垂直于地面，已知的度數(shù)是，則的度數(shù)是°．【答案】120【分析】過點(diǎn)作，則有，利用平行線的性質(zhì)可求得，則可求得，從而可求出的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)作，如圖所示，∵平行于地面，垂直于地面，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．10．（2023下·江西吉安·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】過點(diǎn)B作長(zhǎng)方形邊的平行線，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，再解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)B作，

∵，∴，∴∴，即，∵，，∴的度數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，此題的關(guān)鍵是加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)求解即可．11．（2023下·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是．

【答案】/85度【分析】過點(diǎn)P作，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)P作，如下圖：

則∴，∴，，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線．12．（2023下·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．【答案】540【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023下·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，則，則等于（用含的式子表示）．

【答案】/360度【分析】過點(diǎn)向右作，過點(diǎn)向右作，得到，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)向右作，過點(diǎn)向右作，

∵，∴，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值為的序號(hào)是．

【答案】①③/③①【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到：，再根據(jù)，，得到，從而得到，即可判斷①，，，可判斷②，根據(jù)，結(jié)合，可判斷③，根據(jù)，，結(jié)合可判斷④．【詳解】解：，，，，又平分，，，，故①的值為；，，，，，，，故②的值為，，，，故③的值為；，，，，故④的值為；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角度之間的運(yùn)算，熟練運(yùn)用垂直的定義及角平分線的性質(zhì)，正確運(yùn)算角度間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖一，，，，則．（2）如圖二，，，，，分別平分和，則，滿足的數(shù)量關(guān)系為．

【答案】【分析】（1）過點(diǎn)E作，由平行線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合已知條件進(jìn)行角的計(jì)算轉(zhuǎn)換求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作，

∵，∴，，故答案為：；（2）同（1）可知，，∵，，∴，∴∵，，∴，又∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023下·天津?yàn)I海新·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．

（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【分析】（1）過點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；

（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．17．（2023·廣東肇慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】如圖，作，由得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，然后先計(jì)算出，再計(jì)算出，最后計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．18．（2023·成都·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，直線，，，求的度數(shù).【答案】.【分析】作，得，由題意得，又因?yàn)?，得到，?【詳解】如圖，作，易證，由筆尖圖TABDS知，，又因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19．（2023下·廣東梅州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)C在和之間、連接，與的平分線交于點(diǎn)F，求與之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．過點(diǎn)C作，推出，利用角平分線的定義求得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)C作，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵與的平分線交于點(diǎn)F，∴，∴，∴．20．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，與的角平分線相交于點(diǎn)，（1），，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（2），，設(shè)，直接用含有，的代數(shù)式表示寫出∠M=____.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，，由題意得，，因?yàn)榕c的角平分線相交于點(diǎn)，所以，；再由結(jié)合題目得到x與y的關(guān)系，，，最終得到答案.（2）由（1）結(jié)合題目可知.【詳解】如圖，（1）設(shè)，，，，與的角平分線相交于點(diǎn)，由筆尖圖ABEDC知，即①由側(cè)M圖ABMDC知，即②由①②得（2）設(shè)，，，，與的角平分線相交于點(diǎn)，由筆尖圖ABEDC知，即①由側(cè)M圖ABMDC知，即②由①②得則.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì).21．（2023·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【分析】（1）①過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．22．（2023下·河南三門峽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數(shù)量關(guān)系，他先作出．

(1)如圖1，點(diǎn)O在一條格線上，當(dāng)時(shí)，__________；(2)如圖2，點(diǎn)O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（可根據(jù)證明的需要用a，b，c，…來表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請(qǐng)直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）先標(biāo)出和，然后再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，然后再利用角的和差解答即可；（2）如圖：過點(diǎn)C作一條直線平行于格線，標(biāo)出和，再根據(jù)平行的性質(zhì)可得，然后再利用角和差解答即可；（3）分兩種情況：當(dāng)射線在的內(nèi)部，當(dāng)射線在的外部，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：；

（2）解：，證明如下：如圖所示，過點(diǎn)O作，∵，∴，∴，∵，∴；

（3）解：設(shè)與圖中一條格線形成的銳角為，與另一條格線形成的銳角為當(dāng)射線在的內(nèi)部，如圖：在圖中隨意選擇兩條格線標(biāo)出、且