（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專題4.1 導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義（含答案及解析）

專題4.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題題型七已知切線（斜率）求參數(shù)題型八兩切線的平行、垂直問題題型九公切線問題題型一 平均變化率和瞬時(shí)變化率例1．（北京市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題）下圖是函數(shù)的圖象，函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率分別為，，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定例2．（福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生“筑夢(mèng)”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某鐵球在時(shí)，半徑為.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為（

）A．0 B． C． D．練習(xí)1．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．練習(xí)2．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．2 B．6 C．12 D．48練習(xí)3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校狎娴捏w溫與陽光照射的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系式：，其中為蜥蜴的體溫（單位：），為太陽落山后的時(shí)間（單位：）．(1)求，并解釋其實(shí)際意義；(2)蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為時(shí)的時(shí)刻是多少（精確到）？練習(xí)4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學(xué)考試）如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用時(shí)間為T.若當(dāng)水深為h時(shí)，水注入所用時(shí)間為t，則函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．練習(xí)5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┤粜∏蜃杂陕潴w的運(yùn)動(dòng)方程為（g為常數(shù)），該小球在到的平均速度為，在的瞬時(shí)速度為，則和的大小關(guān)系為________（填“”，“”或“”）題型二 導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算例3．（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9例4．若在處可導(dǎo)，則可以等于（

）．A． B．C． D．練習(xí)6．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．3 B． C． D．0練習(xí)7．（2023春·四川達(dá)州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，則________．練習(xí)8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．練習(xí)9．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C． D．練習(xí)10．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：（

）A．0 B． C． D．題型三 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例5．（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B．C． D．例6．（黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）求下列已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)(2)(3)(4)練習(xí)11．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).練習(xí)12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．練習(xí)13．（2023春·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則________.練習(xí)14．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？计谥校ǘ噙x）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．練習(xí)15．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)開_________.題型四 求曲線切線的斜率（傾斜角）例7．（山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（

）A． B． C． D．例8．（江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)與的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．練習(xí)16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．練習(xí)17．（2023春·山東淄博·高三沂源縣第一中學(xué)?？计谥校┤糁本€與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．練習(xí)19．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)20．（2023春·四川德陽·高三德陽五中?？茧A段練習(xí)）若曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．題型五 曲線上一點(diǎn)處的切線問題例9．（遼寧省錦州市遼西育明高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．例10．（四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．練習(xí)22．（2023春·江蘇無錫·高三江陰市華士高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在處的切線方程為_______．練習(xí)23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則（

）A． B．2 C．±2 D．練習(xí)24．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為______________．練習(xí)25．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為__________．題型六 過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題例11．（天津市南開大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）曲線過點(diǎn)的切線方程為______________________.例12．已知經(jīng)過點(diǎn)的兩條直線，均與曲線相切，若直線的方程為，則m的值為______，直線的方程為______．練習(xí)26．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.練習(xí)27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知曲線，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程________．練習(xí)28．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為_________．練習(xí)29．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）（多選）過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B． C． D．練習(xí)30．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為_______________．題型七 已知切線（斜率）求參數(shù)例13．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為________.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．練習(xí)31．（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)P處的切線與直線垂直，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）若曲線在點(diǎn)(0,)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，練習(xí)33．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎本€是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2練習(xí)34．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)能作兩條直線與的圖象相切，則的取值可以是（

）A． B． C．0 D．練習(xí)35．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.題型八 兩切線的平行、垂直問題例15．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，過曲線上A，B兩點(diǎn)分別作曲線的切線交于點(diǎn)P，AP⊥BP．記A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B．1 C． D．2例16．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，曲線上存在分別以和為切點(diǎn)的兩條互相平行的切線，求的最大值.練習(xí)36．（2022秋·青海·高三青海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)：_______.練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線的切線C．有唯一極值點(diǎn) D．曲線上存在三條互相平行的切線練習(xí)38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若函數(shù)的圖象上不存在互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3練習(xí)39．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1練習(xí)40．（2023·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．時(shí)， B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，C．時(shí)，有極值 D．時(shí)，的圖象存在兩條相互垂直的切線題型九 公切線問題例17．（2023春·四川綿陽·高三校考期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5例18．（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若存在斜率為3a（a>0）的直線l與曲線與都相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)41．（2023春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎獌汕€和都經(jīng)過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有公切線，試求、、的值．練習(xí)42．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎本€是曲線與的公切線，則________.練習(xí)43．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校懗銮€與曲線的公切線的一個(gè)方向向量______.練習(xí)44．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知曲線與有公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.練習(xí)45．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（

）A．0 B． C． D．

專題4.1導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義題型一平均變化率和瞬時(shí)變化率題型二導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算題型三導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）題型五曲線上一點(diǎn)處的切線問題題型六過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題題型七已知切線（斜率）求參數(shù)題型八兩切線的平行、垂直問題題型九公切線問題題型一 平均變化率和瞬時(shí)變化率例1．（北京市第十四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題）下圖是函數(shù)的圖象，函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率分別為，，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)平均變化率定義直接計(jì)算即可.【詳解】由題可知，，，所以.故選：B例2．（福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生“筑夢(mèng)”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某鐵球在時(shí)，半徑為.當(dāng)溫度在很小的范圍內(nèi)變化時(shí)，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會(huì)發(fā)生變化，且當(dāng)溫度為時(shí)鐵球的半徑為，其中為常數(shù)，則在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由球的體積公式可得，求導(dǎo)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，當(dāng)溫度為時(shí)，鐵球的半徑為，其體積，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)，鐵球體積對(duì)溫度的瞬時(shí)變化率為.故選:D練習(xí)1．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時(shí)間t的函數(shù)圖象如圖.記該車在時(shí)間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均速度的定義和兩點(diǎn)求斜率公式，可得平均速度為經(jīng)過兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)直線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意知，汽車在時(shí)間的平均速度大小分別為，設(shè)路程y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，則，即為經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率，同理為經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率，為經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率，為經(jīng)過點(diǎn)的直線的斜率，如圖，由圖可知，最小，即最小.故選：C.練習(xí)2．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．2 B．6 C．12 D．48【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，結(jié)合函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】根據(jù)平均變化率的計(jì)算公式，可得函數(shù)在區(qū)間的平均變化率為：.故選：C.練習(xí)3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）蜥蜴的體溫與陽光照射的關(guān)系近似滿足函數(shù)關(guān)系式：，其中為蜥蜴的體溫（單位：），為太陽落山后的時(shí)間（單位：）．(1)求，并解釋其實(shí)際意義；(2)蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為時(shí)的時(shí)刻是多少（精確到）？【答案】(1)，實(shí)際意義見解析；(2).【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，代入可求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋其實(shí)際意義；（2）求解即可.【詳解】（1），則，表示太陽落山后，蜥蜴的體溫下降的速度為.（2）令，解得,故蜥蜴體溫的瞬時(shí)變化率為時(shí)的時(shí)刻是.練習(xí)4．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學(xué)考試）如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用時(shí)間為T.若當(dāng)水深為h時(shí)，水注入所用時(shí)間為t，則函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將容器看做一個(gè)球體，根據(jù)的實(shí)際意義求解.【詳解】將容器看做一個(gè)球體，在剛開始注水時(shí)，由于球體的截面積較小，對(duì)于相同的時(shí)間，高度的變化較大，即較大，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值較大，到水注入球體的一半時(shí)，由于球體的截面積較大，的變化率較小，接近于球體的頂端時(shí)，的變化率又較大；故選：D.練習(xí)5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為（g為常數(shù)），該小球在到的平均速度為，在的瞬時(shí)速度為，則和的大小關(guān)系為________（填“”，“”或“”）【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用平均速度和瞬時(shí)速度的意義，求出和即可作答.【詳解】小球自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為，求導(dǎo)得，則小球在到的平均速度，在的瞬時(shí)速度，所以.故答案為：題型二 導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算例3．（江西省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義式以及極限的性質(zhì)可求答案.【詳解】.故選：D.例4．若在處可導(dǎo)，則可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)逐一分析計(jì)算并判斷得出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義，對(duì)于A，，A滿足；對(duì)于B，，，B不滿足；對(duì)于C，，，C不滿足；對(duì)于D，，，D不滿足.故選：A.練習(xí)6．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．3 B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，故選:A.練習(xí)7．（2023春·四川達(dá)州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)，則________．【答案】/0.5【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義及求導(dǎo)公式求出答案.【詳解】由題意知，.故答案為：練習(xí)8．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知切點(diǎn)坐標(biāo)，由切線方程得到，利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.【詳解】依題意可知切點(diǎn)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，，即又即故選：D.練習(xí)9．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，再根據(jù)極限的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，所以，所以.故選：C練習(xí)10．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考期中）計(jì)算：（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)則.故選：D.題型三 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例5．（四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得.故選：D例6．（黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）求下列已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可逐一求解.【詳解】（1）（2）（3）（4）練習(xí)11．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用商的求導(dǎo)法則可得答案；（2）利用積的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得答案.【詳解】（1）；（2）.練習(xí)12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】由，，，，所以A、B、D錯(cuò)，C對(duì).故選：C練習(xí)13．（2023春·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則________.【答案】1【分析】求解導(dǎo)函數(shù)，即可得，于是可得函數(shù)解析式，從而可求解的值.【詳解】已知函數(shù)，則，所以則，故.故答案為：.練習(xí)14．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考期中）（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：ACD練習(xí)15．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學(xué)校考期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【分析】確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)確定導(dǎo)函數(shù)定義域得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，，?dǎo)函數(shù)需滿足，綜上所述：導(dǎo)函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.題型四 求曲線切線的斜率（傾斜角）例7．（山東省菏澤市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，正弦曲線在點(diǎn)處的切線斜率是.故選：B.例8．（江蘇省無錫市四校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)與的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接判斷.【詳解】由圖可知，與在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.在區(qū)間上，的圖象比的圖象更陡峭，所以，.故選：B.練習(xí)16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢(shì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可得結(jié)果.【詳解】由圖知：，即.故選：A.練習(xí)17．（2023春·山東淄博·高三沂源縣第一中學(xué)校考期中）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即可求解.【詳解】，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，.故選：A練習(xí)18．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件作出切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數(shù)在處的切線，如圖所示根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.練習(xí)19．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)的定義域是R，求導(dǎo)得：函數(shù)，而，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，而，于是得，又，因此，，所以的取值范圍是.故選：A練習(xí)20．（2023春·四川德陽·高三德陽五中?？茧A段練習(xí)）若曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D題型五 曲線上一點(diǎn)處的切線問題例9．（遼寧省錦州市遼西育明高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：B.例10．（四川省成都市蓉城高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，得到即切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】，，即切線的斜率為，又，切線方程為，即.故選：A練習(xí)21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何含義求出切線的斜率及切點(diǎn)，寫出切線方程.【詳解】已知，∵，∴，又，∴切線過，∴所求切線為，即，故選：A.練習(xí)22．（2023春·江蘇無錫·高三江陰市華士高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在處的切線方程為_______．【答案】【分析】直接求導(dǎo)得，代入則可解出，則得到函數(shù)方程，則求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線方程.【詳解】，令，，解得，則，則，則在處的切線方程為，即.故答案為：.練習(xí)23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則（

）A． B．2 C．±2 D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋缘膱D象在處的切線方程為.因?yàn)榍芯€與坐標(biāo)軸能圍成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故選：D練習(xí)24．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為______________．【答案】【分析】根據(jù)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，由得出在該點(diǎn)處切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程．【詳解】由得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為：．練習(xí)25．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.題型六 過一點(diǎn)的切點(diǎn)問題例11．（天津市南開大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）曲線過點(diǎn)的切線方程為______________________.【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，表示出切線方程，由切線過點(diǎn)，代入求出，再代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：例12．已知經(jīng)過點(diǎn)的兩條直線，均與曲線相切，若直線的方程為，則m的值為______，直線的方程為______．【答案】2【分析】本題是求過一點(diǎn)的切線方程問題，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，從而列出方程，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)．因?yàn)?，又由題意得切線的斜率，即．由直線的斜率為0，得的一個(gè)解為0，所以m的值為2，故，解得另一個(gè)解為，則此時(shí)，故直線的方程為，即．故答案為：2；.練習(xí)26．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】或【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線斜率，又因?yàn)椋瑒t切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或練習(xí)27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎€，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程________．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出切線方程，代入點(diǎn)求出，從而可得切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得.所以切線方程為.故答案為:.練習(xí)28．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）過軸上一點(diǎn)作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個(gè)可能值為_________．【答案】，，，只需寫出一個(gè)答案即可【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，代入一點(diǎn)，關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)解，由判別式解不等式求整數(shù)的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€方程為．因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，由題意關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，解得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個(gè)答案即可練習(xí)29．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）（多選）過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)求出，即可得解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)?，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得或，故切線方程為或.故選：BC.練習(xí)30．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則切線的條數(shù)為_______________．【答案】1【分析】分與兩種情況，設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將代入，求出相應(yīng)答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案為：1題型七 已知切線（斜率）求參數(shù)例13．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)列式得，即可實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋?，則，則，解得.故答案為：.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可.【詳解】由且x不為0，得設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以，可得.故選：C練習(xí)31．（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)P處的切線與直線垂直，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】由題設(shè)知P處的切線斜率為，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求P點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)在P處的切線斜率為，而，所以，則，即.故答案為：練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）若曲線在點(diǎn)(0,)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由可知切線的斜率為，所以切線方程為，又切線方程為，比較系數(shù)可得a，b的值．【詳解】因?yàn)椋悬c(diǎn)為(0,)，所以切線的斜率為，則切線方程為，即，又切線方程為，即，所以，.故選：D練習(xí)33．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎本€是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令直線與曲線相切的切點(diǎn)為，于是且，所以.故選：B練習(xí)34．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)能作兩條直線與的圖象相切，則的取值可以是（

）A． B． C．0 D．【答案】AB【分析】由題意切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得求出切線方程，代入點(diǎn)，可得，構(gòu)造函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意知，過點(diǎn)作直線與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，則切線方程為，將點(diǎn)代入，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；，作出的大致圖象如圖：由點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)能作兩條直線與的圖象相切，可知，且有兩個(gè)解，即的圖象和有2個(gè)交點(diǎn)，故，則a的取值可以為.故選：AB.練習(xí)35．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出過的切線方程，進(jìn)而有有三個(gè)不同值，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)研究的極值，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，所以，過的切線方程為，綜上，，即，所以有三個(gè)不同值使方程成立，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時(shí)兩函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故答案為：題型八 兩切線的平行、垂直問題例15．（2023·河南·洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線，過曲線上A，B兩點(diǎn)分別作曲線的切線交于點(diǎn)P，AP⊥BP．記A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】分段求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依題意，曲線在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，則在1的兩側(cè)，不妨令，因此，解得.故選：B例16．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，曲線上存在分別以和為切點(diǎn)的兩條互相平行的切線，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由題意知，化簡(jiǎn)得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，從而可求出的最大值.（1）當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋?，即，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）由題意知，，即，整理得，因?yàn)?，所以，所以，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，即所以的最大值為.練習(xí)36．（2022秋·青?！じ呷嗪煷蟾街行？茧A段練習(xí)）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)：_______.【答案】（答案不唯一）【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得結(jié)果.【詳解】?jī)蓷l切線互相平行應(yīng)先滿足在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，練習(xí)如，，，，此時(shí)，，函數(shù)在處的切線方程為：；函數(shù)在處的切線方程為：；合乎題意，故答案為：（答案不唯一）練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)零點(diǎn) B．過坐標(biāo)原點(diǎn)可作曲線的切線C．有唯一極值點(diǎn) D．曲線上存在三條互相平行的切線【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合零點(diǎn)的定義即可判斷A；利用反證法，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出切線方程，即可判斷B；利用二次求導(dǎo)研究函數(shù)的極值，結(jié)合零點(diǎn)的定義即可判斷C；利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的根個(gè)數(shù)、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)C即可判斷D.【詳解】A：，對(duì)于函數(shù)，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在，處分別取極大值和極小值，由，知只有一個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故A正確；B：假設(shè)B成立，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，即，∴，但顯然，故B錯(cuò)誤；C：，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處分別取到極大值和極小值，由知只有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；D：若D正確，則存在實(shí)數(shù)m使得有三個(gè)不同的根，即函數(shù)與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由選項(xiàng)C可知，，故D正確.故選：ACD.練習(xí)38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若函數(shù)的圖象上不存在互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】將切線垂直，轉(zhuǎn)化為斜率乘積為，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上，不存在互相垂直的切線，所以，即，解得.故選：AB練習(xí)39．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】AB【分析】由題可得：，利用基本不等式可得：，由條件知，即可得出答案.【詳解】∵函數(shù)，定義域?yàn)椋?，＋∞），∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，要使f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則，所以的值必有一正一負(fù)，當(dāng)時(shí)，，易知符合題意，當(dāng)時(shí)，，易知符合題意，當(dāng)時(shí)，，不符題意，當(dāng)時(shí)，，不符題意，所以a的值可以是－4或－3.故選：AB.練習(xí)40．（2023·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．時(shí)， B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，C．時(shí)，有極值 D．時(shí)，的圖象存在兩條相互垂直的切線【答案】ABD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，A代入自變量求參數(shù)值即可；B由在上恒成立，求范圍即可；C判斷時(shí)的符號(hào)即可；D利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及值域，判斷定義域內(nèi)是否存在即可.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，A：，則，正確；B：在定義域上遞增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值為，故，正確；C：由B分析知：當(dāng)時(shí)恒成立，此時(shí)無極值，錯(cuò)誤；D：令，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；又，故，趨向于0或正無窮時(shí)都趨向于正無窮，所以上各有一個(gè)零點(diǎn)，故上，上，