（圓夢高考數(shù)學(xué)）題型16 11類數(shù)列通項公式構(gòu)造解題技巧（含答案及解析）

題型1611類數(shù)列通項公式構(gòu)造解題技巧技法01技法01用與關(guān)系求通項公式的解題技巧技法02已知用累加法求通項公式的解題技巧技法03已知用累乘法求通項公式的解題技巧技法04已知用求通項公式的解題技巧技法05已知用求通項公式的解題技巧技法06已知用求通項公式的解題技巧技法07已知用求通項公式的解題技巧技法08已知用求通項公式的解題技巧技法09已知用求通項公式的解題技巧技法10已知用求通項公式的解題技巧技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項公式的解題技巧技法01用與關(guān)系求通項公式的解題技巧用用與關(guān)系求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點，難度不大，需要同學(xué)們按公式解題即可.知識遷移例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．1．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）記數(shù)列的前n項和為，已知，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，若，，，求.技法02已知用累加法求通項公式的解題技巧累加法求累加法求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點，難度不大，需要同學(xué)們注意累加的類型，需強化練習(xí).知識遷移例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，，，求通項公式．原遞推式可化為，則，，…，，逐項相加，得，故．1．（2023上·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．2．（2023·江蘇南京·校考二模）已知數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值，并求數(shù)列的通項公式.(2)令，求數(shù)列的前項和.3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．技巧技法03已知用累乘法求通項公式的解題技巧累乘法求累乘法求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)常考查的知識點，難度不大，需要同學(xué)們注意累乘的類型，需強化練習(xí).知識遷移例3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.技法04已知用求通項公式的解題技巧已知已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解，是高考的?？碱}型，需強化練習(xí)知識遷移例4．1．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且，為其前項的和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足不等式的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，，其中，若對任意，，總有成立，求的取值范圍．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┮阎棓?shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記為數(shù)列的前項和，求滿足不等式的的最大值.技法05已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項，可以套模板來靈活解題，其本質(zhì)是待定系數(shù)，需強化練習(xí).例5．（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項和．2．（2022下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前n項和.技法06已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以一個指數(shù)式，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為(1)試求數(shù)列的通項公式；(2)求.（1）由題意，兩邊同時除以，將其變形為，即，由等差數(shù)列的定義可知是以首項為、公差為的等差數(shù)列，所以，即.1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項積．2．（2022下·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，.(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；(2)求的通項.技法07已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例7．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.（1），．已知，，得，可得，數(shù)列為以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列1．（2024上·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．2．（2023下·吉林白城·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍3．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023上·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，，對任意的時，都有成立.(1)令，，求證：，都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.技法08已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，證明：.（1）因為，，所以，所以.所以，所以為等差數(shù)列，首項為，公差，所以，所以1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.2．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，求k的最小值．技法09已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是取到數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列中，，且.(1)求的通項公式；(2)令，記數(shù)列的前項和為，求.（1）由，可得.因為，所以.所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.2．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列的前n項和.技法10已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是取對數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例10．1．（2023·浙江寧波·浙江省寧波市鄞州中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足，下列說法正確的是（

）A．存在正整數(shù)，使得 B．存在正整數(shù)，使得C．對任意正整數(shù)，都有 D．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.3．（江西撫州·高一統(tǒng)考期中）已知，點在函數(shù)的圖像上，其中.（1）求的值；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）記，求數(shù)列的前項和.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項公式的解題技巧構(gòu)造常數(shù)列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標的一種風(fēng)向，能替代部分累加累乘構(gòu)造常數(shù)列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標的一種風(fēng)向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.例11．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和（1）由，得當(dāng)時，，兩式相減得：，從而，即數(shù)列是常數(shù)列，因此，所以數(shù)列的通項公式是.1．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）記為數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求除以3的余數(shù).2．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；

題型1611類數(shù)列通項公式構(gòu)造解題技巧技法01技法01用與關(guān)系求通項公式的解題技巧技法02已知用累加法求通項公式的解題技巧技法03已知用累乘法求通項公式的解題技巧技法04已知用求通項公式的解題技巧技法05已知用求通項公式的解題技巧技法06已知用求通項公式的解題技巧技法07已知用求通項公式的解題技巧技法08已知用求通項公式的解題技巧技法09已知用求通項公式的解題技巧技法10已知用求通項公式的解題技巧技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項公式的解題技巧技法01用與關(guān)系求通項公式的解題技巧用用與關(guān)系求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點，難度不大，需要同學(xué)們按公式解題即可.知識遷移例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．（1）因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．1．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系得到為等比數(shù)列求解即可;（2）利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即，又因為，滿足上式，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因為，所以.2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系分析可得數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項公式運算求解；（2）由（1）可得：，利用裂項相消法運算求解.【詳解】（1）因為，可得，兩式相減得，整理得，可知數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可得：，則，所以．3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）記數(shù)列的前n項和為，已知，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，若，，，求.【答案】(1)(2)-36672【分析】（1）利用得到數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求解；（2）求出，然后利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）因為，則當(dāng)時，，兩式相減可得，則，且當(dāng)時，，解得，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即；（2）因為，則.技法02已知用累加法求通項公式的解題技巧累加法求累加法求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點，難度不大，需要同學(xué)們注意累加的類型，需強化練習(xí).知識遷移例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，，，求通項公式．原遞推式可化為，則，，…，，逐項相加，得，故．1．（2023上·江蘇·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【答案】.【分析】得到，利用累加法求出通項公式.【詳解】由得，則2．（2023·江蘇南京·?？级＃┮阎獢?shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值，并求數(shù)列的通項公式.(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式分別計算的值，然后構(gòu)造數(shù)列，利用累加法求出通項公式；（2）錯位相減法求和.【詳解】（1），當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，，又（2）由（1）得，，，，3．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進行合理變形放縮.

4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．【點睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．技巧技法03已知用累乘法求通項公式的解題技巧累乘法求累乘法求通項公式是高考數(shù)列中經(jīng)?？疾榈闹R點，難度不大，需要同學(xué)們注意累乘的類型，需強化練習(xí).知識遷移例3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用累乘法計算；（2）運用裂項相消法求和.【詳解】（1）由題意：

，，，，將代入上式也成立，；（2），.2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計算出的值，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式；解法二：由已知條件計算出的值，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求出，進而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，由得，所以當(dāng)時，，也滿足，所以數(shù)列的通項公式為；解法二：由題，①，，即②，由①②得，由，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式為．（2）證明：由（1）知，所以，兩式作差得，所以.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題，利用累乘法即可求解，進而可得，進而可證等差；（2）由（1）得，由裂項求和即可求解.【詳解】（1）由題可得，所以當(dāng)時，，易知滿足，所以.所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.所以.技法04已知用求通項公式的解題技巧已知已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解，是高考的?？碱}型，需強化練習(xí)知識遷移例4．1．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.，即.（2）由（1）可知，，所以，又由題知.2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且，為其前項的和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足不等式的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，，其中，若對任意，，總有成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)14(3)【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列的形式即可求解；（2）數(shù)列分組求和后代入已知條件即可求解；（3）恒成立轉(zhuǎn)化為最值即可求解【詳解】（1）因為，所以，所以而，所以是以3為首項，為公比的等比數(shù)列；所以，則.（2），所以，由得，則，所以的最小值為14.（3）恒成立，所以，因為，而，所以，所以，由得，所以，則有，所以，解得，因為，所以解得.【點睛】注意構(gòu)造新數(shù)列，分組求和，并將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知正項數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得;（2）根據(jù)裂項求和法可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.4．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時，，故.5．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，記為數(shù)列的前項和，求滿足不等式的的最大值.【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）已知與的關(guān)系求解，然后證明即可；（2）由（1）求出，進而由裂項相消法求出數(shù)列的前項和，求解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得：.當(dāng)時，，所以，即，所以所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以，所以，..所以時，即，所以，所以的最大值為.技法05已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項，可以套模板來靈活解題，其本質(zhì)是待定系數(shù)，需強化練習(xí).例5．（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）化簡得，即可證明；（2）應(yīng)用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）令，得，則．因為①，所以②．①-②得，即．因為，所以數(shù)列為常數(shù)列．（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，所以．因為，所以③，④．③-④得，所以．2．（2022下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由已知可得，即可得到證明；（2）由（1）的等比數(shù)列可得通項公式；（3）由錯位相減法求和即可.【詳解】（1）證明：由于，所以，又，所以.所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，所以.（3）由題得，所以，①則，②由①-②得，.所以.技法06已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以一個指數(shù)式，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為(1)試求數(shù)列的通項公式；(2)求.（1）由題意，兩邊同時除以，將其變形為，即，由等差數(shù)列的定義可知是以首項為、公差為的等差數(shù)列，所以，即.1．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡，可得，由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【詳解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式兩邊同時除以，得．又，所以，即，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，．所以．所以．2．（2022下·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，.(1)設(shè)，求證是等差數(shù)列；(2)求的通項.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）式子變形后，可知是首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）利用累加法和錯位相減法即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由已知可得：即即，所以是首項，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知則得到①，②，得.技法07已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例7．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.（1），．已知，，得，可得，數(shù)列為以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列1．（2024上·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用給定的遞推公式變形，結(jié)合等比數(shù)列定義推理即得.（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列通項公式，再利用累加法求解即得.【詳解】（1）數(shù)列中，，則，由，，得，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，當(dāng)時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是.2．（2023下·吉林白城·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，利用累和法、等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可；（2）利用錯位相減法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】（1），設(shè)，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，顯然也適合，故；（2）由（1）可知，，，所以有，兩式相減得，由，顯然函數(shù)是正整數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時，該函數(shù)有最小值，最小值為，所以有，因此3．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列定義證明為等比數(shù)列，得到，再證明為等比數(shù)列，進而可求得；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，利用作差法得到的單調(diào)性，進而列出不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵，則，且，故數(shù)列是首項為，公比為3為等比數(shù)列，∴，則，可得，且，故數(shù)列首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，故.（2）由（1）可得：，即，故對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，設(shè)，則當(dāng)時恒成立，故數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時，則對任意的恒成立，，可得，解得；當(dāng)為偶數(shù)時，則對任意的恒成立，，可得，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍.4．（2023上·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，，對任意的時，都有成立.(1)令，，求證：，都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知變形可得，代入，即可得出；由已知變形可得，代入，即可得出；（2）由（1）知，，.作差即可得出.【詳解】（1）證明：因為，故.又，則，所以.又，所以對任意的時，，故是以為首項，公比為3的等比數(shù)列；又因為，所以.又，則，所以.又，所以對任意的時，，故是以為首項，公比為2的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，，.即，，兩式作差可得，整理可得.技法08已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是除以，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例8．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，證明：.（1）因為，，所以，所以.所以，所以為等差數(shù)列，首項為，公差，所以，所以1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)已知轉(zhuǎn)化為，得出數(shù)列是等差數(shù)列，求出，繼而得出答案.(2)由(1)得出，然后利用裂項相消法求和即可.【詳解】（1）由，得，且，所以，所以.所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，故.（2）由題知，，所以2．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為公差為1的等差數(shù)列，即可求解，（2）由裂項求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，所以，，故為公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，（2），所以3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，求k的最小值．【答案】(1)，(2)17【分析】（1）通過變形得，則數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，則得到其通項.（2），再通過裂項法得到的最小值.【詳解】（1）∵，，∴，，又，∴數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴，則，．（2）由（1）知，∴．由得，解得，又，∴k的最小值為17．技法09已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是取到數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）數(shù)列中，，且.(1)求的通項公式；(2)令，記數(shù)列的前項和為，求.（1）由，可得.因為，所以.所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，即.1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】(1)證明見解析(2)99【分析】（1）由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再由等比數(shù)列的求和公式可得，令，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）：，，，令，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，可得，所以滿足條件的最大整數(shù)為.2．（2023·山東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）變形，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，即可求解；（2）根據(jù)題意解得，，由此證明.【詳解】（1），又，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，.（2）由（1），，，，.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因為，，故，所以，整理得．

又，，，所以為定值，

故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，得.（2）因為，

所以．技法10已知用求通項公式的解題技巧已知已知用求通項公式，其本質(zhì)是取對數(shù)，是高考中的高頻考題，可靈活運用模板解題例10．1．（2023·浙江寧波·浙江省寧波市鄞州中學(xué)?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足，下列說法正確的是（

）A．存在正整數(shù)，使得 B．存在正整數(shù)，使得C．對任意正整數(shù)，都有 D．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增【答案】C【分析】由，可判斷A，由，得，兩邊取對數(shù)可得，從而可判斷B，C,進一步可得，從而數(shù)列單調(diào)遞減，可判斷D.【詳解】數(shù)列滿足.，所以A不正確.由，得兩邊取以2為底的對數(shù)，可得所以數(shù)列是等比數(shù)列，且則，所以，即當(dāng)時，，，所以，即,所以B不正確.所以，則數(shù)列單調(diào)遞減.所以D不正確.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，單調(diào)性，考查考生的邏輯思維能力，及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.【答案】【分析】通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式.【詳解】∵，，∴.在式兩邊取常用對數(shù)得，①設(shè)，②將①代入②整理得，兩邊消去并整理，得，則，故，代入②式，得，③由及③式，得，則，∴數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于由遞推式所確定的數(shù)列通項公式問題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列，要注意對遞推式等價變形.3．（江西撫州·高一統(tǒng)考期中）已知，點在函數(shù)的圖像上，其中.（1）求的值；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）．【詳解】試題分析：（1）將點代入函數(shù)中，可得遞推公式，結(jié)合便可求得；（2）將代入比式中可求得為定值，且，所