彈塑性動力學(xué)

彈塑性動力學(xué)

沖擊動力學(xué)實(shí)驗室

閆鴻浩

2009-9-10

目錄

第一講：概論.....................................................................1

1、彈塑性動力學(xué)意義.........................................................1

2、彈塑性動力學(xué)研究內(nèi)容.....................................................1

2.1應(yīng)力波的傳播........................................................1

2.2動力響應(yīng)............................................................2

3、彈塑性動力學(xué)課程主要安排.................................................2

4、參考教材..................................................................2

5、應(yīng)力波應(yīng)用...............................................................3

5.1應(yīng)力波應(yīng)用..........................................................3

5.2應(yīng)力波在實(shí)際中的應(yīng)用...............................................3

5.3動力響應(yīng)............................................................4

第二講：桿中彈性波的相互作用...................................................12

一、兩個半無限長的彈性桿的共軸撞擊........................................12

二、彈性波的相互作用（彈性波的疊加原理）..................................13

三、有限長桿與半無限長桿的共軸撞擊........................................15

四、彈性波在不同介質(zhì)界面上的反射和投射....................................20

第三講：彈性波、塑性波以及特征線求解波動....................................23

不同問題的的特征線法（差分方法）..........................................32

一、初值問題（Cauchy問題）............................................32

二、Goursat問題........................................................33

三、混合邊界問題.......................................................34

第四講：塑性波基本理論.........................................................35

4.1塑性波的定義..........................................................35

4.2一維塑性應(yīng)力波.......................................................36

4.3有限桿的撞擊..........................................................41

4.3.1泰勒試驗.......................................................41

第五講：彈塑性波的相互作用....................................................48

材料本構(gòu)關(guān)系的簡化.........................................................49

材料的塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系................................................49

凹型應(yīng)力-應(yīng)變曲線......................................................50

三、凸凹變向的應(yīng)力-應(yīng)變曲線............................................50

5.2彈塑性加載波的相互作用................................................54

521兩彈塑性波迎面加載（不考慮波在邊界的反射）......................55

第六講：兩彈塑性波迎面卸載.....................................................57

第7講一維應(yīng)變彈塑性波........................................................66

一維應(yīng)變問題與一維應(yīng)力問題的異同點(diǎn)........................................66

第八講：一維應(yīng)變波在自由而反射及在不同介質(zhì)中傳播規(guī)律.........................73

一、一維應(yīng)變彈塑性波在自由面的反射........................................73

二、一維應(yīng)變彈塑性波在不同介質(zhì)中的傳播....................................78

第九講：固體應(yīng)變率效應(yīng)及其本構(gòu)關(guān)系............................................83

霍普金森桿的測試技術(shù).......................................................83

一、系統(tǒng)測試標(biāo)定...........................................................83

二、試樣準(zhǔn)備設(shè)計...........................................................84

三、試驗方案的建立.........................................................84

四、測試原理及基本方程.....................................................84

第十講：理想塑性梁的動力響應(yīng)...................................................87

第十一講：簡支彈塑性梁受到?jīng)_擊波作用時的動力響應(yīng)..............................96

彈性變形能和塑性變形能....................................................102

第十二講：剛塑性梁動力分析的基本方程..........................................104

塑形較的運(yùn)動連續(xù)條件為....................................................104

第二部分：剛性區(qū)和塑性區(qū)的運(yùn)動方程.......................................108

第一講：概論

1、彈塑性動力學(xué)意義

彈塑性動力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支學(xué)科，它主要研究各種彈塑

性物體或在短時強(qiáng)加載作用下的運(yùn)動、變形及其破壞規(guī)律。

在穿甲彈及裝甲板的研究中，在傳播與飛行器的設(shè)計中，在原子

彈爆炸所產(chǎn)生的強(qiáng)擊沖擊波的防護(hù)工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中，以及在機(jī)械工

業(yè)、土建水利工程、抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計等廣泛的領(lǐng)域中，都會遇到彈塑性

應(yīng)力波、應(yīng)變波和動力響應(yīng)問題。

彈塑性動力學(xué)區(qū)別與塑性力學(xué)（靜力學(xué)），主要在于彈塑性材料

在動荷載下具有一系列重要的、與靜載荷作用下不同的力學(xué)特性（這

些特性反映在本構(gòu)關(guān)系中）；同時分析動力學(xué)問題時，必須計入介質(zhì)

的慣性。

2、彈塑性動力學(xué)研究內(nèi)容

2.1應(yīng)力波的傳播

研究局部擾動向未擾動區(qū)的傳播，它是將動力效應(yīng)作為一個傳播

過程來研究；當(dāng)物體在局部受到突然加載時，由于物體的慣性，突加

載荷對于各個部分質(zhì)點(diǎn)的擾動不可能同時發(fā)生，而是要經(jīng)過一個傳播

過程，由局部擾動區(qū)逐步傳播到未擾動區(qū)。

1

2.2動力響應(yīng)

忽略擾動的傳播過程，研究結(jié)構(gòu)的變形與時間的關(guān)系。

對于梁、拱、薄板、薄殼這樣一類結(jié)構(gòu)，在三個方向上，總有一

個或兩個尺度方向上比較小，而常常突加的載荷作用的方向又往往就

是尺寸最小的方向。此時，應(yīng)力波在這個方向上傳播所需要的時間比

起載荷作用的時間短些，因此應(yīng)力波的傳播現(xiàn)象很快消失，結(jié)構(gòu)的動

力響應(yīng)主要表現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的變形與時間的關(guān)系；這就是動力響應(yīng)研究問

題。

3、彈塑性動力學(xué)課程主要安排

3.1一維彈性應(yīng)力波

3.2桿中彈性波的相互作用

3.3塑性波理論

3.4彈塑性波的相互作用

3.5試驗技術(shù)（霍普金森測試技術(shù)獲得材料動態(tài)本構(gòu)關(guān)系）

3.6梁的動力響應(yīng)

4＞參考教材

《應(yīng)力波基礎(chǔ)簡明教程》郭偉國、李玉龍編西北工業(yè)大學(xué)

出版社；

《應(yīng)力波基礎(chǔ)》第二版王禮立著國防工業(yè)出版社；

《塑性動力學(xué)》楊桂通、熊祝華編清華大學(xué)出版社。

2

5、應(yīng)力波應(yīng)用

5.1應(yīng)力波應(yīng)用

a、爆炸和沖擊載荷下結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)；

b、沖擊載荷下材料的動態(tài)性能；

c、動態(tài)斷裂問題。

5.1.1、彈性波理論可以解釋一般強(qiáng)度的瞬態(tài)載荷作用；

5.1.2、彈塑性波理論可以解釋高強(qiáng)度的瞬態(tài)載荷作用下局部分析；

5.1.3、遠(yuǎn)離區(qū)域可以用彈性時預(yù)估；

5.1.4、在無損探傷、地震波的測量、煤、礦田勘探方面也可以用到。

5.2應(yīng)力波在實(shí)際中的應(yīng)用

a、鐵絲在重錘的影響下，出現(xiàn)斷裂的地方可能發(fā)生在A點(diǎn)，也

可能發(fā)生在B點(diǎn)。因為在撞擊的瞬間會有應(yīng)力在鐵絲中傳播，應(yīng)力

波在固定端B點(diǎn)發(fā)生反射，反射后的應(yīng)力大于初始應(yīng)力，可以在初

始應(yīng)力的2?4倍之間。這將在以后的學(xué)習(xí)中具體討論。

圖3?物對銅絲的沖擊

3

b、炸藥爆炸引起的層裂，因為大多數(shù)脆性材料固體中，抗壓能力

比抗拉能力強(qiáng)。壓縮波不能引起破壞。然而當(dāng)壓縮波到達(dá)背面反射為

拉伸波，在往返傳播過程中往往在自由面附近出現(xiàn)層裂，當(dāng)然后續(xù)學(xué)

習(xí)過程中可以自己進(jìn)行分解。

5.3動力響應(yīng)

《簡支梁在突加載荷作用下的響應(yīng)》

q

o

t

這里有相概念，如果在靜力分析中，很容易求出該結(jié)構(gòu)的撓度，

梁的應(yīng)力等。但在突加載荷下，’是慣性力的影響，即運(yùn)動加速度的

問題。我們將在后面詳細(xì)介紹幾種工況下梁的動力相應(yīng)問題。

在靜態(tài)載荷下材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖2所示，此時，載荷對

試件所做的功全部轉(zhuǎn)化為試件的應(yīng)變能。但當(dāng)材料在沖擊載荷作用

下，材料內(nèi)部出現(xiàn)不均勻的變形，外力對試件所做的功，除一部分使

4

試件產(chǎn)生應(yīng)變能，還存在一部分用于產(chǎn)生試件的慣性。此時的應(yīng)力-

應(yīng)變關(guān)系如下圖所示。

圖2材料的單向壓縮本構(gòu)關(guān)系

在介紹本課程之前，我們要先理解一些概念：

質(zhì)點(diǎn)、波陣面、波速、質(zhì)點(diǎn)速度、縱波、橫波、彌散波、沖擊波、

加載波、卸載波。

彌散波：高應(yīng)力水平增量波，某介質(zhì)改變，波速減小，周期拉長,

散開。

沖擊波：高應(yīng)力水平增量波，某介質(zhì)改變，高波速。追趕低波速,

強(qiáng)間斷波，連續(xù)波變?yōu)闆_擊波。

加（卸）載波波陣面材料壓實(shí)（稀疏）。

一維彈性應(yīng)力波

物體受到?jīng)_擊載荷后，擾動傳播，先后、時間、次序反復(fù)傳播。

波的分類：縱波和橫波。區(qū)別：質(zhì)點(diǎn)擾動的方向與波的傳播方向

“平行”或“垂直”。

在波的傳播過程中，需要考慮兩種速度：1、擾動傳播速度C；2、

質(zhì)點(diǎn)移動速度Vo

5

圖2.1圓柱桿的沖擊壓縮

是突然加到桿的另一端，均布于表面，設(shè)壓縮波開始以某個速

度CL沿桿向右傳播，經(jīng)過一段時間t后，傳播到C』設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度

為根據(jù)牛頓第二定律，得

FLdt=mdvL

式中，m是受到擾動質(zhì)點(diǎn)部分的質(zhì)量，m=Adi（A是桿的橫截面的

面積，是材料密度），因為=FJA,所以

Adt=AdldvL

dl」

=—av.

dtL

式中dl/dt為速度CL（脈沖速度）。所以

=CL（乙）

類似的，橫向脈沖速度可以寫成

=C,s（%）

式中是剪應(yīng)力，Cs是橫向擾動速度，%是質(zhì)點(diǎn)的速度在剪切時的

變化。

A-~A（—x）

X

由牛頓第二定律得

6

[AA(—x)]Ax——

xt

化簡后得

丁-1

由于桿變形是彈性的，所以

/=E(*=)U是位移。所以1式可以寫成

X

22廠2

「「Ur~uuEu

-[￡-]=下一

對于一維條件下，令c0=產(chǎn)，所以J=c；]。下面我們對1式進(jìn)

行求解，我們知道一般偏微分方程

222

A—^-+2B—^-C-^+D—E—+FuG+0

xxyyxy

當(dāng)笈AC0時，為雙曲線型方程；

B-AC0時，為拋物線型方程；

B2AC0時，為橢圓型方程。

22

上式中V0

所以A=C；；B=0,C=-lo所以公AC4C；=0為雙曲線型方程。

求解雙曲線型方程的方法由(波動求解)駐波

a、分離變量法；

b、變換法。在這里我們可以用變換法，諧波分量分離后得

一/、/.〃Xncor

U(x,Z)=w()(sincos-)

式中1為特征長度，Co為波速，其三角函數(shù)項可以進(jìn)一步寫成

7

所以

U(x,f)=^[sin,(xCor)sin-^-(xCot)]

這里假設(shè)存在非諧波函數(shù)F和G,將有

U(x,t)=F(xCo/)G(xC0Z)

這里可以證明x和x+C。/是方程的正解。作如下變換=xC°t,

=XCQt得

du=(±)d(-)d

XX

X

XX

因此

uu

對y/2同樣推導(dǎo)得

"c。

8

7=9c°4c。

所以得

?=孰(------)"上上)=c；(WC2〃2〃、

2--------------F）3

將2式和3式代入1式得

222222

C：（T22-4）=C：（T+2UU.

得

即方程u(,)=F()+G()成立，因此方程的通解為

U(x,Z)=F(xCQt)G(xCot)

這里假設(shè)傳入波引起的位移山沿X正方向傳播，設(shè)反射波引起

的位移U2沿X負(fù)方向傳播。

波的反射疊加

當(dāng)波在材料中傳播時，遇到自由表面時會發(fā)生反射，如果入射波

是壓縮波，那么反射波是拉伸波。這里設(shè)傳入波引起的位移5沿X

正方向傳播

U〃=F(xCot)

設(shè)反射波引起的位移沿x負(fù)方向傳播，

UR?=G(XCot)

因為在自由表面上(x=l)其應(yīng)力恒等于零，即

net—InRe

9

而=EE(j/Y),所以

nel=E[F'(lCot)G\lC(/)]+0

通過上式我們可以看出，放射波與入射波的脈沖方向相反。

在x=l處速度為

%=匕"%+號號=6(*+G)

=2G'Co或2F,C0

上式為入射波的2倍。

若右端固定，則右端位移和速度為零，即s0,v=0o

%=CqF'G'CU0

得

F'=G

進(jìn)而

“,“=￡(%&)+E(尸G)=2EF'

XX

所以疊加后的脈沖重合后，質(zhì)點(diǎn)的速度是任一脈沖的2倍。從而

達(dá)到疊加的效果。

不同材料，變截面桿中應(yīng)力波

圖2.6在橫確面變化時波的反射和透射

?為強(qiáng)度彈性壓縮波向右傳播，在1和2的界面處，該壓縮波將一

10

部分透射，一部分反射。反射強(qiáng)度為R，透射強(qiáng)度為「，則在界面

處滿足如下兩個條件：

1、兩側(cè)桿內(nèi)力相等；

2、質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)。

通過條件1,我們可以得到

4(7+R)"2T1

通過條件2,我們可以得到

匕VRVT2

應(yīng)力表達(dá)式為=。0匕，貝h/=——,VR=——,vT=——,代入上

1G1G2c2

式，得

1R7'3

CiiG2G

C稱為波阻抗，是材料本身的特性，是密度和聲速的乘積。

聯(lián)合1、2、3式解得

=242c24

Af|C|+A-,2c2

_42c24Cl5

L4G+42c2'

分析上式可知

1、透射波不改變?nèi)肷洳ǖ男再|(zhì)，因為24c—恒為正。

]G+2G

2、界面不發(fā)生反射時則R=0,所以％2。2=46，

11

3、在以后如果想改變透、反射強(qiáng)度，可以根據(jù)4式和5式調(diào)

整材料、面積利密度。

完

第二講：桿中彈性波的相互作用

一、兩個半無限長的彈性桿的共軸撞擊

當(dāng)兩個物體相互碰撞時，應(yīng)力會在兩個物體從接觸界面處各自傳

播，本講中研究兩根半無限長縱桿向共軸碰撞后應(yīng)力傳播現(xiàn)象。

圖3.1兩半無限長桿共軸撞擊

如圖3.1(a)兩桿的截面積相等，在撞擊之前，兩桿中均無應(yīng)力,

且分別具有初始質(zhì)點(diǎn)速度V］和V2,這里假定VyV2。但自從撞擊后，

應(yīng)力波以相反的方向在各自的材料中傳播，設(shè)碰撞后的質(zhì)點(diǎn)速度分別

為VA和VB，應(yīng)力分別為，和B。由動量定理可以得到

尸1(乙匕)(la)

12

B=2%）（lb）

定義波在傳播過程中受到的波阻抗為C，符號為。由上式可

以看出符號為負(fù)，表示受壓

在界面上滿足以下條件

1、相同的質(zhì)點(diǎn)速度；

2、應(yīng)力相等。

即

V=VA=VB，=AB（2）

根據(jù)條件，所以

二1（VV,）2（vv2）（3）

得

懺M+2.,=?2（…）（4）

1+21-*■2

分析4式，我們可以知道

V

b、如?,Vi=O,則v=0,=22（A桿為剛壁）

c、如2，則v=V2，=（v2V］）,這相當(dāng)于剛性桿B對彈性

桿A的撞擊。

二、彈性波的相互作用（彈性波的疊加原理）

多列彈性波共同作用下的應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度，只要將它們的應(yīng)力和

質(zhì)點(diǎn)速度疊加即可。

疊加原理成立的理由：各種強(qiáng)度，各種類型的波都具有相同的波

13

速，即彈性區(qū)范圍內(nèi)材料具有唯一的現(xiàn)行應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

圖3.2兩彈性波的相互作用

通過圖3.2我們可以看出，AE,BF分別為加載面A和B的特征

線，CG和DH分別為加載面C和D的特征線。我們可以把物理平面

分成9個區(qū)域，其中1、3、5、9不受任何一列波的影響；2和8區(qū)

只受到右行波的作用；4和6區(qū)受到左行波的影響；7受到左右兩列

波的共同作用。我們要重點(diǎn)研究各區(qū)在受到左行和右行波的作用下應(yīng)

力、質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)變的變化。

設(shè)右行波的波幅為1,左行波的波幅為2,干擾產(chǎn)生的波幅為

3,質(zhì)點(diǎn)速度為V3，由波陣面上的動量守恒條件得

v（右行）

V（左行）

C

圖中M是瞬間作用面，在該面上質(zhì)點(diǎn)的速度相同。

14

L.（0,）7

C3（.（3.））5

內(nèi)2（02）%

V

R3（2（32））R

先考慮右側(cè)（M）

,0,

由上述兩式得

因為在瞬間碰撞面上質(zhì)點(diǎn)的速度相同，得

□—也

即

321_223

-312

而1=0C0Vl和2=0。0匕得

丫二匕匕

三、有限長桿與半無限長桿的共軸撞擊

對于兩根半無限長桿的碰撞，只是一次彈性波，未涉及反射，本

節(jié)將分析波在有限長桿中的反射后的情況。

15

M0=0______________

「B-|IA

J

V0

Ch(CJ,

圖3.4有限長桿共軸碰撞

碰撞后的質(zhì)點(diǎn)的速度和應(yīng)力可以采用前節(jié)所述的半無限長桿共軸撞

擊求得。

y=-?2%

I+2I+2

當(dāng)右行波(反射后)滿足n=0,所以由壓縮波被反射成拉伸

波，

_(2])匕

當(dāng)仁七時一，左行壓縮波到達(dá)自由端產(chǎn)生反射。

c2

1、當(dāng)I=2時

16

圖3.5有限長桿與半無限長桿豉撞

(n)物理平面?(b)速度平面；(O典型時刻的應(yīng)力分布；(d)典型時刻的速度分布

如果A桿有限長，則滿足

圖3.6物理平面和速度平面

這時我們可以自己分析。

17

2、若<1,即由軟桿碰撞硬桿，依據(jù)

即得V3<0,由于兩桿接觸界面處的質(zhì)點(diǎn)速度不同，兩桿將脫離，即桿

B以反向速度脫離界面，撞擊過程結(jié)束。此時桿A中有=2L2CJC2,

壓縮應(yīng)力脈沖，因為界面斷開，所以沒有卸載波跟上。整個撞擊過程

在物理平面和速度平面上表示，如圖3.7所示。

圖3.7(p0G)2/(p0G)x<1時撞擊結(jié)果

如果桿A也為有限長桿，在特殊情況下，其長度也滿足

L\l（6=L/6

撞擊結(jié)束后，桿B處于質(zhì)點(diǎn)速度為VB=V3<0,=0的狀態(tài)，（如圖3.8

中的點(diǎn)4）,而桿A處于

的狀態(tài)，如圖3.8中的點(diǎn)5。即撞擊結(jié)束后，入射桿B以一個速度回

彈，而桿A則以速度

飛出。

18

圖3.8(p.G)JW.GLVLA杯也是有限長桿的情形

3、當(dāng)＞1時

如果入射桿B的波阻抗大于被撞桿A的波阻抗時，桿B中由于

撞擊產(chǎn)生的左行波在桿的自由端反射后，應(yīng)力降為零，質(zhì)點(diǎn)速度變?yōu)?/p>

唳=__o

2+1

此時，桿A和桿B的應(yīng)力和速度分別為

2+1

=12匕

2+1

1，_(21)V2

3一丁

2T1

_12V2

■『

此時的物理平面和速度平面分別為

19

圖3.9撞擊過程在物理平面和速度平面上的表示

四、彈性波在不同介質(zhì)界面上的反射和投射

上節(jié)我們講述了不同截面，不同材料波的反射與投射，這里我們

重點(diǎn)研究彈性應(yīng)力波垂直入射截面集合形狀相同的兩種介質(zhì)截面上

的反射與投射。

假設(shè)A和B具有相同的截面面積，其波阻抗分別為?和2,在

界面兩側(cè)取兩個緊鄰界面的質(zhì)點(diǎn)M,N,如圖3.10所示。

圖3.10彈性波在不同介質(zhì)界面上的反射與透射

當(dāng)入射波的波陣面到達(dá)界面左側(cè)時，由波陣面上的相容條件可得

質(zhì)點(diǎn)獲得的速度的增量為

vi=-

2

20

當(dāng)入射波在界面上反射后，質(zhì)點(diǎn)又獲得一個速度增量

V2=—

2

因此，反射和入射疊加后緊鄰界面左側(cè)的質(zhì)點(diǎn)M的速度和應(yīng)力分別

為

L

VM=Vi彩+——

22

M~12

在界面的右側(cè)，只有投射波通過，因此，質(zhì)點(diǎn)N的速度和應(yīng)力

分別為

%=匕-

2

N=3

根據(jù)連續(xù)性條件，在界面上的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力應(yīng)該相等，即有

VM-VNJM-N

得

3=I2

_L_2__3_

221

用|和V1來表示2，3,%，匕，則有

」

2=2.];v2=-I-?.V)

1+21+2

—2].i，-乙22”

3—]，丫3一

1+21+2

定義尸=」一為反射系數(shù)，7=3—為投射系數(shù)。我們可以把上式

I+91+2

21

簡寫成

2=F?V2=F%

3=71，匕-Tv\

I

注意到T總是為正值，因此投射波總是和入射波的性質(zhì)相同，但

是，反射系數(shù)可正可負(fù)，因此反射波的性質(zhì)必須視條件而定。我們來

討論波阻抗對反射和入射波的影響。

1、2>>>此時F<o,0<T<lo因此，反射波與人射波的應(yīng)力符

號相反，而透射波雖然和人射波的應(yīng)力符號相同，但是幅值要小于入

射波。這種情況也就相當(dāng)于波從較“硬”的材料傳入較“軟”的材料。

2、2此時F>0,T>l0因此，反射波與入射波的應(yīng)力符號

相同，而透射波雖然和入射波的應(yīng)力不但符號相同，但是幅值要大干

入射波。這種情況也就相當(dāng)于波從較“軟”的材料傳人較“硬”的

材料。

3、2=1，此時F=0,T=l。因此，當(dāng)波到達(dá)兩種介質(zhì)的界面時

將全部透過，并無反射波產(chǎn)生。這說明：兩種不同的介質(zhì)，雖然。和

Co不同，但是只要波阻抗相同，彈性波在通過其界面時就不會產(chǎn)生反

射，這稱為波阻抗匹配。在不希望產(chǎn)生反射波的情況下.選材時就可

以通過考慮波阻抗匹配的問題來滿足要求。

兀

22

第三講：彈性波、塑性波以及特征線求解波

動

本節(jié)講述彈性波、塑性波轉(zhuǎn)變以及用特征線法求解波動，進(jìn)一步

過渡到塑性波理論基礎(chǔ)。

23

首先限制波在半無限長細(xì)桿中傳播。對于小變形情況下，分析桿

中的微單元可知

2

—=-4（1）成立，U,為X方向上的位移和應(yīng)力，為

xr

密度。

依據(jù)材料本構(gòu)關(guān)系不同，該方程具有不同的形式性質(zhì)，波的傳播

也將出現(xiàn)不同情況。

例如：彈塑性材料有：

當(dāng)II。，=

“>0，=

其中。為屈服應(yīng)變，對應(yīng)的屈服應(yīng)力為。，且有。=，那么1

式進(jìn)一步成立

—一凡―即—

txdxx

所以

21z722

c2—⑵

tdx'x

大家可以看到其中系數(shù)為c2=Jj,該值不一定是定值，可能

a

變化。

對于這種材料可知：彈性波在前傳播，塑性波在后傳播（因速

度不同），見圖

24

eg:對于土壤或某種材料，本構(gòu)關(guān)系會有:

II0，=

II>0，=但<

對應(yīng)圖可表示為

圖8-2

針對此類材料，塑性波波速大于彈性波波速，所以最終塑性波

能追趕到彈性波，一旦超過了彈性波會形成陡峭的波前，一旦應(yīng)變速

度不連續(xù)會出現(xiàn)強(qiáng)間斷面，若連續(xù)則形成弱間斷波。

特征線：

針對波動方程

25

;=L—二是雙曲線二階偏微分方程，由數(shù)理方程

txax

知識可知解特征線解法如下:

依據(jù)偏微分方程原理，這類方程可以在物理平面（X,t）平面內(nèi)沿

特征線進(jìn)行數(shù)值積分。所謂特征線就是波界面的運(yùn)動軌跡。

方程

A——+B—C1

tx

d—dt——dx2

tx

求解三，-

_____L_____2.3

t'X

AB

=AdxBdt

dtdx

CB

其中=CdxBd—4

ddx

=Ad

當(dāng)0,且?=20時，此時曲線上導(dǎo)數(shù)由無窮多解，曲線

就1式的特征線，而I=20為特征線上的相容條件。由

.0=CdxBd0dxdtd

'(dx,dt,d)——=—5

20=AdCdt0BAC

由0得Adx-Bdt=0得包=H,將包=4代入1式，得

dxBdxB

噌一+一)c6

dxxx

A(一+—一)C7

tdtx

對于6式兩邊同乘以dx,得5(—dt+一dx)Bd=Cdx

xx

26

對于7式兩邊同乘以dt,得4(一dt+一dx)Ad=Cdt

tX

BAC

下面我們講解典型的波動方程的解法

~2U_?-U

下“V

上式可以寫成-%,=人兩個函數(shù)代入上式，得

A、」=。2—,已知速度V和應(yīng)變，滿足式B、—包=，一。設(shè)(x,

tXtXXt

t)平面內(nèi)有一曲線滿足沿曲線速度V,應(yīng)變變化，即

C、a7v=——Va,t——Va.x

tx

D、d=——dt——dx

注意dx和出是曲線上的X和t的全微分，所以與是曲線的

斜率。再重新整理A、B、C、D式得

vV

—dt~\----dxdv

tx

dtT----dxd

x

上式可以看成」,，,一,一的方程組，求解得

tXXt

式中

27

100c2

0110

=(dx)2=(cdt)2

dtdx00

00力dx

000c2

0110

=c'(dxddtdv)

dvdx00

d0dtdx

100

001

=dxdvc~dtd

dtdv00

Qddtdx

100

010

=dxdvc1dtd

dtdxdv0

00ddx

1000

0110

=dxddtdv

4dtdx0dv

00dtd

令=0得到特征線的特征方程

dt1,.…

—=—±dxCdt8

dxC

1、定義dt/dx=l/c,為正向特征線a+；

dt/dx-1/c,為負(fù)向特征線a.。

28

2^轉(zhuǎn)向，正向特征線負(fù)向特征線，轉(zhuǎn)向即x軸向t軸轉(zhuǎn)；

3、圖中a+,a一也即過平面（x,t）M點(diǎn)的兩條不同的特征線。

積分8式可得兩條特征線表達(dá)式，當(dāng)然會出現(xiàn)積分常數(shù)，代表一族（一

系列）的特征線。

如果令1=23=4有

出_d_19

dxdvC

即

dv=Cd10

在特征線上滿足上式，表達(dá)了V和沿特征線的變化規(guī)律。從9式我

們可以知道

dtd1

瓦=不'加C5正向特征線11

dt1d1

區(qū)=石'加?負(fù)向特征線

從8式和9式可知（x,t）和（v,）兩個平面具有相同形式的

表達(dá)式。當(dāng)然也說明了八=Cd是（v,）平面上的特征線，（x,t）

是物理平面，（v,）是速度平面，也可以表達(dá)成（v,）（x,t）,

上一講中也提到了該平面。為了更好的表達(dá)特征線和相容關(guān)系式，11

式引入應(yīng)變函數(shù)C=C（）滿足（）=°C（W,則d（）=C（）d=dvo

做一可以將11式改寫為

dx+cdt=0

沿a12b

v+()=

29

相容條件

V+()=13

式中，在同一特征線上為常數(shù)，有時稱為Riemann不變量。

22

如將方程-4=。2-4的解稱作波，那么12a式表示波是隨時間沿x軸

r

正向傳播，即正向波（左行波），12b式稱作反向波（有行波），其中

的v（）表示正向波波前的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度與應(yīng)變關(guān)系。如是彈

性波，則G=co〃s/,則其特征線為x=Cot±ki2,這是兩族各自平行

的直線特征線族，其坡度為士工

C

對于同向的不同的特征線，表示了不同波在不同質(zhì)點(diǎn)引起的相

應(yīng)。為用特征線法計算波的傳播規(guī)律，這里定義過物理平面（x,t）

任一點(diǎn)曲線進(jìn)行定義。

30

如果過M點(diǎn)的切線斜率滿足

1dtpdt1

—>—及一>—

CdxdxC

該曲線方向為時間，如果滿足

1dt1

—>一>一

CdxC

該曲線方向為空間。

在上圖b中知，AA線是空間，BB線是時間，當(dāng)曲線斜率滿足

包=±工時，此時為特征線，含時間和坐標(biāo)，且在曲線上，有（v,）

dxC

相容關(guān)系。

注意一下幾個原則：

a、曲線方向的定義是對該曲線段上任一點(diǎn)來判定的；

b、過某點(diǎn)的正向特征線，負(fù)向特征線相互關(guān)系與（x,t）相

互關(guān)系一致；

c、如果說某曲線段是空間的，則該曲線段上過任一點(diǎn)的兩條

特征線都位于該曲線的同側(cè)，如圖所示。

圖8-5

這里AB是空間的，過該線段上點(diǎn)的所有的特征線位于AB

31

22

的上側(cè)。對于波動方程/過（X,t）平面內(nèi)任一點(diǎn)可

作兩根不同的特征線。如果C2為常數(shù)，則這兩條特征線是直線,

如方程中C?是應(yīng)變或的函數(shù)，（例如非彈性材料），則其特征

線上的坡度變化，不再保持直線狀。

不同問題的的特征線法（差分方法）

一、初值問題（Cauchy問題）

已知某時刻L，AB段上的各量值已知，AB是空間的（因為

特征線在同側(cè)）。求：t>ti不同時刻的值。

由偏微分方程理論可知：在AB給出初值下，由且唯一確定

一個特征三角形ABP區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值。其中AP為正向特征線,

BP為負(fù)向特征線。ABP是AB的影響區(qū)，P點(diǎn)依賴于AB段，

該區(qū)域的值都依賴于AB°A'AM,BM“B,M依賴于MN.。

計算時采用差分法，對N1點(diǎn)，用AN［，M］N］線段為直線。得

XxA=C（ttA）

XX=

M\CMIQ，M1）

32

類似的應(yīng)變與速度也滿足

=CA（V叱）

M=CA（Vn“i）

二、Goursat問題

在（x,t）平面內(nèi)的兩根不同特征線上給出函數(shù)由相容條件存在

即函數(shù)（v,）滿足

V+（）=

求其它點(diǎn)的函數(shù)。

在偏微分方程理論中已證明，如已知特征線AB,AC上的函數(shù)值，

可確定特征四邊形ABCD區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值，在采用數(shù)值法求

解時，與Cauchy問題相似，用短直線段代替特征線的曲線段，用差

分方程代替微分方程。聲速C對每步計算取常數(shù)，取已知點(diǎn)的C值。

計算次序從給定的特征線AB或AC開始，逐層向四邊形區(qū)域內(nèi)部推

移，當(dāng)然四邊形內(nèi)結(jié)點(diǎn)的多少應(yīng)根據(jù)計算精度而定。

33

三、混合邊界問題

這里AB,BP是特征線，AP點(diǎn)的斜率在正負(fù)特征線斜率之間，

從前學(xué)過的內(nèi)容，我們知道，AP是時間曲線。

已知AP函數(shù)，v或值在特征線AB上，給出兩個函數(shù)的v和

值，構(gòu)成混合邊界問題，將AB點(diǎn)分多個小的線段，從結(jié)點(diǎn)1引另一

特征線與AP相交與2點(diǎn)(用短直線代替)在(v,)平面內(nèi)A'B'

對應(yīng)與AB的特征線，在AP上已經(jīng)給出值，則2為已知，從1'引

特征線與2相交與2'，于是(v,)平面內(nèi)2'求出，也可求出對應(yīng)

的v值，從結(jié)點(diǎn)2、3引特征線相交與4,相應(yīng)的可求出4'(v,)0

類似下去可求出區(qū)域內(nèi)的全部結(jié)點(diǎn)即其上的函數(shù)值。結(jié)點(diǎn)4,4值用

下式計算

xx1=C,(t4)

xx2=C2(/t2)

VVf=cf([)

vv.=C.(.)

22'27

一旦4坐標(biāo)函數(shù)值求處后，可依Goursat問題計算特征線2、4上其

34

它的結(jié)點(diǎn)函數(shù)值。這樣ABP區(qū)域內(nèi)的結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)值可全部求出。

兀