2024屆廣東省揭陽市高三下學(xué)期第二次調(diào)研（模擬）考試數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆廣東省揭陽市高三下學(xué)期第二次調(diào)研（模擬）考試數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．2．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．43．如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．5．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變7．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．8．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)9．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加10．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．11．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于任意的正數(shù)，不等式恒成立，則的最大值為_____.14．若正三棱柱的所有棱長均為2,點(diǎn)為側(cè)棱上任意一點(diǎn),則四棱錐的體積為__________．15．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為______.16．設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實(shí)根，且這4個根的平方和存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的極值；（2）對任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，長為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的兩個動點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個定值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）已知是的一個極值點(diǎn)，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).21．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號零點(diǎn)，令，則，令，則問題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.2、C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．則幾何體的體積為．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．4、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.5、C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.6、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項A，B；又∵當(dāng)時，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.9、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、B、D選項錯誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩，C選項正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因為當(dāng)時，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.11、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．12、C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)均為正數(shù)，等價于恒成立，令，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用基本不等式求解最值.【詳解】由題均為正數(shù)，不等式恒成立，等價于恒成立，令則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于合理進(jìn)行等價變形，此題可以構(gòu)造二次函數(shù)求解，也可利用基本不等式求解.14、【解析】

依題意得,再求點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查椎體的體積公式,考查運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解：，，，因為為的中點(diǎn)，所以為的外心，因為，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時有4個不相等的實(shí)根，再將這四個根的平方和表示出來，利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【詳解】由題意，當(dāng)時，，此時，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，方程最多2個不相等的實(shí)根，舍；當(dāng)時，函數(shù)圖象如下所示：從左到右方程，有4個不相等的實(shí)根，依次為，，，，即，由圖可知，故，且，，從而，令，顯然，，要使該式在時有最小值，則對稱軸，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)和方程的知識，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，極小值為；（2）.【解析】

（1）求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）依題，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值；當(dāng)時，令，得，令，得所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時函數(shù)有極小值，且極小值為.綜上：當(dāng)時，函數(shù)無極值；當(dāng)時，函數(shù)有極小值，極小值為.（2）令易得且，令所以，因為，，從而，所以，在上單調(diào)遞增.又若，則所以在上單調(diào)遞增，從而，所以時滿足題意.若，所以，，在中，令，由（1）的單調(diào)性可知，有最小值，從而.所以所以，由零點(diǎn)存在性定理：，使且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，.故當(dāng)，不成立.綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的極值，涉及由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題，屬壓軸題.18、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線的方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時，驗證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設(shè)，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為設(shè)，由可得：由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時，，此時，且符合當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線方程為由題可得，時，，經(jīng)檢驗，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）對范圍分類整理得：，分類解不等式即可．（2）利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時，”恒成立，利用絕對值不等式的性質(zhì)可得：，問題得解．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，由得，解得；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，由得，解得，所以的解集為（2）的解集包含等價于在上恒成立，當(dāng)時，等價于恒成立，而，∴，故滿足條件的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法，還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對值不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f(x)的一個極值點(diǎn)，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因為，則，因為是的一個極值點(diǎn)，所以，即，所以，因為，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因為，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在是增函數(shù)，因為時，，，，所以當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時，方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時，方程有1個實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題，屬于難題.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得證；（2）首先推導(dǎo)出，再利用，展開即可得證.【詳解】證明：（1），，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.（2），，，，，，，