三角函數綜合訓練6

試卷第1頁，共SECTIONPAGES1頁三角函數綜合訓練6姓名：___________班級：___________考號：___________題1．（2020·高一課時練習）求下列函數的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值時x的值.(1);

(2);

(3).【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；求含sinx(型)的二次式的最值；【來源】略【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【解析】(1)直接根據的最值求解即可；(2)令，轉化為二次函數的最值求解即可；(3)令，轉化為二次函數的最值求解即可.【詳解】解:(1)函數與同時取得最大值和最小值，所以,當時,取得最大值；當時,取得最小值；(2)令,則,，于是就轉化為求閉區(qū)間上二次函數的最大值和最小值問題了，因為時,,所以,因此，從而,此時,,即,，,此時,；(3)令,則,，因為時,,所以,因此，從而,此時,；,此時,,此時,或.【點睛】本題考查型的一次函數，二次函數的最值問題，換元法的使用是關鍵，是基礎題.題2．（2019·河南鄭州·高三鄭州外國語學校校考階段練習）在極坐標系中，曲線方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸的平面直角坐標系中，曲線（為參數）（1）將化為直角坐標系中普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若極坐標系中上的點對應的極角為，為上的動點，求中點到直線（為參數）距離的最小值.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】由正弦(型)函數的值域(最值)求參數；求點到直線的距離；極坐標與直角坐標的互化；參數方程化為普通方程；【來源】略【答案】（1），.為圓心是，半徑是4的圓；為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是1的橢圓.（2）最小值.【解析】【分析】（1）由，將極坐標方程化為普通方程，利用消參法，消參數可得的普通方程，得解.（2）由點到直線的距離及三角函數的有界性求解即可.【詳解】解：（1）由曲線方程為，則，又，則的普通方程為，由曲線（為參數），由，消參數可得的普通方程為.則為圓心是，半徑是4的圓；為中心是坐標原點，焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是1的橢圓.（2）當時，則，故，曲線的普通方程為直線，則點到直線的距離，從而當時，取得最小值.【點睛】本題考查了曲線參數方程、極坐標方程與普通方程的互化，重點考查了點到直線的距離公式，屬基礎題.題3．（2021下·高一課時練習）已知函數求的最大值及取得最大值時x的值.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；輔助角公式；【來源】略【答案】時，最大值為1【解析】【分析】利用正弦函數的圖像與性質求函數的最大值以及取得最大值時x的值.【詳解】當即時，函數取最大值，且最大值為1.題4．（2018·北京西城·高三統(tǒng)考期末）已知函數．(I)求的最小正周期；(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；求正弦(型)函數的最小正周期；【來源】略【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值為.【解析】【分析】（Ⅰ）利用降冪公式和兩角和的余弦公式把化成，再用輔助角公式把后者化為，從而可求的最小正周期等．（Ⅱ）直接計算出，利用正弦函數的性質得到的最大值．【詳解】（Ⅰ）因為，所以的最小正周期．（Ⅱ）因為，所以．當，即時，取得最大值為．【點睛】本題考查正弦型函數的最小正周期和最大值，前者利用公式計算，后者先求整體的范圍，再利用正弦函數的性質來求，本題屬于基礎題.題5．（2016·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形中，，，，點是的中點，現沿將平面折起，設．（1）當為直角時，求異面直線與所成角的大小；（2）當為多少時，三棱錐的體積為．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】三角函數的化簡求值誘導公式；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）取的中點，連結，，則為，所成的角，由，可得平面，利用勾股定理求出的三邊長，使用余弦定理求出；（2）到平面的距離為，代入棱錐的體積公式求出得出的值．【詳解】解：（1），，，四邊形是矩形，連結交與，則是，的中點，取的中點，連結，，則是的中位線，，．是異面直線，所成的角，，，平面，平面，平面，，．．．．即異面直線與所成的角為．（2）到平面的距離．，．．或．【點睛】本題考查了異面直線所成角的計算，棱錐的體積計算，作出空間角是解題關鍵，也可使用向量法求出，屬于中檔題．題6．（2020·高一課時練習）求下列函數的最小正周期(1);(2).【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求余弦(型)函數的最小正周期；cos2x的降冪公式及應用；【來源】略【答案】(1)2π.(2)π.【解析】【解析】（1）利用降次公式化簡函數解析式，由此求得三角函數的最小正周期.（2）利用降次公式化簡函數解析式，由此求得三角函數的最小正周期.【詳解】(1),∴最小正周期為2π.(2),∴最小正周期為π.【點睛】本小題主要考查三角函數降次公式、三角函數最小正周期，屬于基礎題.題7．（2021·高二課時練習）求下列函數的單調區(qū)間．（1）；（2）．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】利用導數求函數的單調區(qū)間(不含參)；解正弦不等式；解余弦不等式；解不含參數的一元二次不等式；【來源】略【答案】（1）函數的單調遞減區(qū)間為，，單調遞增區(qū)間為；（2）單調遞增區(qū)間為（），單調遞減區(qū)間（）.【解析】【分析】（1）求出，解不等式和即得解；（2），解不等式和即得解.【詳解】（1）由題得函數的定義域為.，令，即，解得；令，即，解得或，故所求函數的單調遞減區(qū)間為，，單調遞增區(qū)間為．（2）由題得函數的定義域為.令，得，即（），令，得，即（），故的單調遞增區(qū)間為（），單調遞減區(qū)間（）．題8．（2020·高一課時練習）用“五點法”畫出函數y＝＋sinx，x∈[0，2π]的簡圖．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】五點法畫正弦函數的圖象；y=Asinx+B的圖象；【來源】略【答案】作圖見解析【解析】【分析】由于正弦函數的周期是，取一個周期內的五個關鍵點，即令，分別將五個點的橫坐標代入中，求出對應的縱坐標的值，列出表格，然后描點連線即可畫出函數簡圖.【詳解】（1）取值列表如下：x0π010－10（2）描點、連線，如圖所示．【點睛】本題考查了用五點法畫三角函數簡圖問題，考查了數學運算能力和畫圖能力，屬于一般題目.題9．（2020上·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知是第四象限角，.（1）若，求的值；（2）令，當時，求函數的值域.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】已知正(余)弦求余(正)弦；三角函數的化簡求值誘導公式；求含sinx(型)函數的值域和最值；輔助角公式；【來源】略【答案】（1）；（2）．【解析】【解析】（1）利用誘導公式、同角三角函數基本關系式即可得出；（2）利用和差公式、三角函數的單調性即可得出．【詳解】解：（1），，，是第四象限角，，；（2），當時，，，函數．【點睛】本題主要考查誘導公式、同角的三角函數關系、三角函數的單調性，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．題10．（2022·高一課時練習）利用函數，與，的圖象，在內求且時的取值范圍．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】正弦函數圖象的應用；余弦函數圖象的應用；【來源】略【答案】【解析】【分析】畫出正弦函數與余弦函數在的圖象，數形結合求出答案.【詳解】在同一坐標系下作出，與，的圖象，如下所示：故且時的取值范圍是.題11．（2020·高一課時練習）求下列函數的周期.（1）；（2）；（3）；（4）.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求正弦(型)函數的最小正周期；【來源】略【答案】（1）

（2）

（3）

（4）【解析】【解析】利用進行求解即可【詳解】（1）,則；（2）,則；（3）,則；（4）,則【點睛】本題考查求正弦型函數的周期,屬于基礎題題12．（2020上·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知函數（1）求函數的單調增區(qū)間和對稱中心坐標；（2）若關于方程在上有兩個不同的解，求實數的取值范圍.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】正弦函數圖象的應用；求正弦(型)函數的對稱軸及對稱中心；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】（1）單調增區(qū)間為，對稱中心坐標為；（2）．【解析】【解析】（1）利用倍角公式、和差公式化簡函數得，由可得其單調區(qū)間，由可得對稱中心坐標；（2）由可得，畫出圖象，根據關于方程在上有兩個不同的解，結合圖象可得實數的取值范圍．【詳解】解：（1）∵，由可得，由得，解得，∴函數的單調增區(qū)間為，對稱中心坐標為；（2）由可得，，畫出函數的圖象，∵，若關于方程在上有兩個不同的解，則，∴，實數的取值范圍是．【點睛】本題主要考查三角函數的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．題13．（2021下·湖南·高三校聯考階段練習）已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）在中，角，，的對邊分別為，，，若，求的取值范圍.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；由圖象確定正(余)弦型函數解析式；余弦定理解三角形；【來源】略【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圖得出最大值和周期，由此求出，代入最高點坐標求出，由此求出解析式（2）由基本不等式求出的取值范圍，從而求出角取值范圍，再結合三角函數性質求解范圍即可.【詳解】（1）由圖知，，∴，.，又，∴，

∴.

（2）∵，當且僅當取“”，∵，∴，∴，∴.【點睛】求三角函數的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令或)，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結合函數的性質解出和，若對的符號或對的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.題14．（2020·高一課時練習）作出函數,的簡圖,并求使成立的x的取值范圍.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】y=Asinx+B的圖象；正弦函數圖象的應用；【來源】略【答案】圖見解析,【解析】【分析】取分別為，求出對應的，然后描點,用平滑的曲線連接即可畫出圖像；令，求出，觀察圖像可得使的x的取值范圍【詳解】解:列表如下:x0001001311描點,并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖).令,即,則.,,或,或.由圖可知,使成立的x的取值范圍是.【點睛】本題考查五點法作圖，以及函數圖像的應用，是基礎題.題15．（2012上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知函數＞0，＞0，＜的圖象與軸的交點為（0，1），它在軸右側的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為和（1）寫出的解析式及的值；（2）若銳角滿足，求的值.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】三角函數的圖象與性質；函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換；【來源】略【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：，得，所以所以，又是最小的正數，；（Ⅱ），【解析】(1)根據最高點及最低點的坐標可求出周期，及A=2，從而求出,然后再根據圖像過(0,1)點結合的取值范圍，可確定的值.解析式確定，再令y=2得到x0的值.(2)再利用公式求出的值，代入可求出的值.（1）由題意可得即，…2分由＜,……………………4分所以又是最小的正數，……………6分（2）………………9分…12分題16．（2019·高一課時練習）求函數的周期、單調區(qū)間及最大值、最小值.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】誘導公式五六；求含sinx(型)函數的值域和最值；求正弦(型)函數的最小正周期；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】最小正周期為，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，；【解析】【分析】利用誘導公式可把函數化簡為，由正弦函數的性質可求給定函數的單調區(qū)間、最值，利用公式可求其周期.【詳解】∵，∴.∴原函數即，這個函數的最小正周期.當時，函數單調遞增，所以函數的單調遞增區(qū)間為.當時，函數單調遞減，所以函數的單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.【點睛】對于函數，我們可利用正弦函數的性質并根據復合函數的討論方法求該函數的單調區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心等．題17．（2019·浙江·高三專題練習）已知函數，求函數的單調遞增區(qū)間.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】輔助角公式；三角恒等變換的實際應用；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】單調遞增區(qū)間為，.【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式可得，由整體代換即可求得結果.【詳解】.所以，解得，.所以函數的單調遞增區(qū)間為，.【點睛】本題考查三角函數的性質，考查三角恒等變換，求單調區(qū)間時，要由的范圍求出x的范圍，屬基礎題.題18．（2020下·浙江杭州·高一?？茧A段練習）已知（1）求的對稱中心（2）求解不等式【題型】解答題【難度】0.94【標簽】解正弦不等式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；【來源】略【答案】（1）（2）【解析】【解析】（1）由二倍角的正弦與余弦公式可得的解析式，再結合三角函數的性質求解即可；（2）由等價于，再求解即可.【詳解】解：（1）由，由，解得：，即的對稱中心為；（2）由，則，即，即，解得，即解不等式的解集為.【點睛】本題考查了三角恒等變換，重點考查了三角函數的性質及解三角不等式，屬基礎題.題19．（2011上·廣東·高二統(tǒng)考期中）已知向量與，其中(Ⅰ)若，求和的值；(Ⅱ)若，求的值域.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；數量積的坐標表示；【來源】略【答案】（1），.（2）．【解析】試題分析：(Ⅰ)由已知條件，得，由此可求得的值，由于為特殊值，從而可求得的值，進而求得和的值（也可利用平方關系求得和的值）；(Ⅱ)首先列出函數的表達式，利用三角函數的平方關系及三角函數輔助角公式，將其化為一個復合角的三角函數式：，最后利用整體思想來求函數的值域．試題解析：(Ⅰ)，，求得.又，，，.(Ⅱ)又，，，，即函數的值域為.考點：1．向量共線的充要條件；2．三角函數求值；3．三角函數的值域．題20．（2012上·廣東廣州·高三階段練習）已知平面直角坐標系中，，，，．（Ⅰ）求的最小正周期和對稱中心；（Ⅱ）求在區(qū)間上的單調遞增區(qū)間．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】三角函數的圖象與性質；【來源】略【答案】（Ⅰ）最小正周期為，對稱中心是；（Ⅱ）的遞增區(qū)間為和．【解析】【分析】(I)先根據向量的坐標的加法運算法則求出向量的坐標，從而求出從而可得其周期為,再利用正弦函數的對稱中心,可求出f(x)的對稱中心.(II)由正弦函數的單調增區(qū)間可知當時單增,解此不等式可求出f(x)的單調增區(qū)間,然后給k賦值，可得f(x)在上的增區(qū)間.【詳解】（Ⅰ）由題設知，，，則故最小正周期為對稱中心橫坐標滿足，即對稱中心是（Ⅱ）當時單增，即又，故的遞增區(qū)間為和題21．（2020·高一課時練習）寫出函數的值域和單調區(qū)間.【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求sinx的函數的單調性；求含sinx(型)函數的值域和最值；【來源】略【答案】值域為,單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.【解析】【解析】由于的單調性與的單調性相反，通過的單調區(qū)間求解即可；另外根據可求值域【詳解】解：因為的單調性與的單調性相反,又的單調遞減區(qū)間為，單調增區(qū)間為,所以的單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；又,所以，故函數的值域為.【點睛】本題考查含的函數的單調性和值域，是基礎題.題22．（2022·高一課時練習）在勻強磁場中，勻速轉動的線圈所產生的電流是時間的正弦函數，關系式為，試求它的初始（）電流、最大電流和最小正周期．【題型】解答題【難度】0.94【標簽】特殊角的三角函數值；求含sinx(型)函數的值域和最值；求正弦(型)函數的最小正周期；【來源】略【答案】初始電流，最大電流，最小正周期【解析】【分析】根據求得初始電流、最大電流、最小正周期.【詳解】當時，，最大電流為，最小正周期.題23．（2011下·浙江舟山·高二階段練習）已知向量（1）當向量與向量共線時，求的值；（2）求函數圖像的一個對稱中心的坐標【題型】解答題【難度】0.94【標簽】求正弦(型)函數的對稱軸及對稱中心；三角恒等變換的化簡問題；由向量共線(平行)求參數；數量積的坐標表示；【來源】略【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共線向量的坐標運算列出關系式,利用同角三角函數間的基本關系即可求出的值;（2）利用平面向量的數量積的坐標運算求出解析式,利用正弦和余弦的二倍角公式化簡，最后利用三角函數的性質求出對稱中心即可.【詳解】（1）∵向量與向量共線,∴,則;（2），令,解得:,則函數圖象的對稱中心的坐標是.題24．（2022下·湖南長沙·高二長郡中學校考階段練習）已知函數.(1)求函數的最小正周期和值域；(2)若，求函數的單調遞增區(qū)間.【題型】解答題【難度】0.85【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；求正弦(型)函數的最小正周期；三角恒等變換的化簡問題；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】(1)最小正周期為，值域為(2)，【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）根據正弦函數的性質計算可得.【詳解】（1）因為，故的最小正周期為，值域為.（2）令，解得.又，則的單調遞增區(qū)間為，.題25．（2022下·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習）已知函數，（其中，）的最小正周期為10．(1)求的值；(2)設，，，求的值．【題型】解答題【難度】0.85【標簽】由余弦(型)函數的周期性求值；用和差角的余弦公式化簡求值；【來源】略【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由求值；（2）由，整理得，結合平方關系及余弦和公式求值即可.【詳解】（1）由得；（2）由整理得，∵，∴，∴.題26．（2021下·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數．（1）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值與最小值，并求取最大值與最小值時的的值．【題型】解答題【難度】0.85【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；三角恒等變換的化簡問題；求sinx型三角函數的單調性；【來源】略【答案】（1）最小正周期是；單調遞增區(qū)間是，；（2）的最大值為1，此時，；的最小值為-2，此時，．【解析】【分析】（1）根據已知條件，結合三角函數的恒等變換，將化簡為，再結合三角函數的周期公式和單調性，即可求解．（2）根據的取值范圍求出的取值范圍，再結合正弦函數的圖像，即可求解．【詳解】解：（1）因為所以．的最小正周期．由正弦函數的性質得，，解得，，的單調遞增區(qū)間是，．（2）若，則，，．即的最大值為1，此時，；的最小值為-2，此時，題27．（2022下·江蘇淮安·高一校聯考期中）已知扇形（如圖所示），圓心角，半徑=4，在弧上取一點P，作扇形的內接矩形，記x，矩形的面積為S.(1)寫出S與x的函數關系式，并化簡；(2)求矩形面積的最大值，并求此時x的取值.【題型】解答題【難度】0.65【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；三角函數在生活中的應用；逆用和差角的正弦公式化簡求值；二倍角的余弦公式；【來源】略【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）在直角三角形中用表示出，從而得出，由矩形面積公式得面積，并利用二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡函數式；（2）利用正弦函數的性質得最大值．【詳解】（1）在直角中，，在直角中，又，所以所以即（2）因為所以所以當，即時，題28．（2020上·遼寧大連·高三遼師大附中?？奸_學考試）已知函數.（1）求函數的單調遞減區(qū)間；（2）設圖象與圖象關于直線對稱，求時，的值域.【題型】解答題【難度】0.65【標簽】求sinx的函數的單調性；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；利用正弦型函數的單調性求函數值或值域；【來源】略【答案】（1）；（2）【解析】【解析】（1）先將函數，轉化為，再令求解.（2）根據圖象與圖象關于直線對稱，則區(qū)間與關于直線對稱，將求時，的值域，轉化為求時，的值域.【詳解】（1）因為，所以，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間是.（2）因為圖象與圖象關于直線對稱，要求時，的值域.只需求時，的值域.所以，所以，所以時，的值域是.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質以及對稱問題，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.題29．（2022下·湖北十堰·高一校聯考階段練習）如圖，在中，內角的對邊分別為，若，(1)求角大??；(2)若，證明：四點共圓；(3)求四邊形面積最大值.【題型】解答題【難度】0.65【標簽】求含sinx(型)函數的值域和最值；正弦定理邊角互化的應用；三角形面積公式及其應用；余弦定理解三角形；【來源】略【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，結合兩角和差的正弦公式化簡可求角大小；(2)利用余弦定理求角，根據對角互補證明四點共圓；(3)由條件結合三角形面積公式求四邊形面積解析式，再由正弦函數性質求其最值.【詳解】（1）因為，所以，即有又，所以，即因為，所以即，由，可得又在中只能都為銳角，所以（2）因為中，,由所以，所以四邊形對角互補，所以四點共圓.（3）由（1）可知三角形為等邊三角形，可設在中，由余弦定理得由于，可得所以因為，所以，當且僅當時等號成立，所以四邊形面積的最大值為.題30．（2020上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）如圖，半徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中，設．（1）將十字形的面積S表示為的函數；（2）求十字形的面積S的最大值．【題型】解答題【難度】0.4【標簽】由正弦(型)函數的值域(最值)求參數；幾何中的三角函數模型；【來源】略【答案】（1）（2）．【解析】【解析】（1）由題意，根據三角函數和圓的半徑表達，，再計算十字形的面積；（2）由（1）中十字形的面積，根據三角恒等變換，化簡函數解析式，即可求解最大值.【詳解】解：（1）由題意，，，因為，所以．所以．即，．（2）由（1）得：所以．答：（1）；（2）．【點睛】本題考查（1）三角函數在幾何圖形中的應用