測(cè)量誤差基本知識(shí)課件

測(cè)量誤差基本知識(shí)§3.1觀測(cè)誤差的分類(lèi)

什么是誤差誤差（Error)Δ（真誤差）：觀測(cè)值L與真值X的差值。

Δ=L–X真值X：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。人----觀測(cè)者感覺(jué)器官的鑒別力的局限儀器----測(cè)量?jī)x器與測(cè)量方法給觀測(cè)結(jié)果帶來(lái)誤差客觀環(huán)境----客觀環(huán)境給觀測(cè)結(jié)果帶來(lái)的影響觀測(cè)條件：人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測(cè)條件，它們是引起觀測(cè)誤差的主要因素。多余觀測(cè)：觀測(cè)的個(gè)數(shù)多于未知量的個(gè)數(shù)

一、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因：1、粗差：由測(cè)量人員粗心大意或儀器故障所造成的差錯(cuò)，稱為粗差。2、系統(tǒng)誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行多次的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。3、偶然誤差：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行多次的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”。4、誤差處理原則：粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測(cè)，制定限差二、測(cè)量誤差的分類(lèi)與處理原則三、偶然誤差的特性

在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測(cè)值為L(zhǎng)i，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡(jiǎn)稱誤差）為Δi=Li-X（i一1，2，…n）

對(duì)于每個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，Δi是每個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差，Li是每個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)均觀測(cè)值之和，X為180°?，F(xiàn)將358個(gè)真誤差按每3″為一區(qū)間，以誤差值的大小及其正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)出在各誤差區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)v，及相對(duì)個(gè)數(shù)v／358。誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

Δi=Li-X(i=1,2,…,n)有界性：聚中性：對(duì)稱性：抵償性：偶然誤差的特性：*

k/d

實(shí)踐表明，對(duì)于在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的一組觀測(cè)來(lái)說(shuō)，不論其觀測(cè)條件如何，也不論是對(duì)一個(gè)量還是對(duì)多個(gè)量進(jìn)行觀測(cè)，這組觀測(cè)誤差必然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)n愈大時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。偶然誤差的這種特性，又稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

偶然誤差分布曲線σ2:方差σ:標(biāo)準(zhǔn)差

σ對(duì)偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683

σ愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)愈來(lái)愈多，誤差出現(xiàn)在各個(gè)區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)的變動(dòng)幅度就愈來(lái)愈小。當(dāng)n具有足夠大時(shí)，誤差在各個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)就趨于穩(wěn)定。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)足夠多時(shí)，如果把誤差的區(qū)間間隔無(wú)限縮小，則圖中各長(zhǎng)方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線，稱為誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為式中參數(shù)δ是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差）

§3.2衡量精度的指標(biāo)在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，它對(duì)應(yīng)著一定的誤差分布。如果該組誤差值總的說(shuō)來(lái)偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量好些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σ的值也較??；反之，如果該組誤差值偏大，即誤差分布比較分散，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量差些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的值也就較大。因此，一組觀測(cè)誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測(cè)結(jié)果的精度。所以在評(píng)定觀測(cè)精度時(shí)，可用該組誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差σ的值。一、中誤差求σ值要求觀測(cè)個(gè)數(shù)n→∞，但這實(shí)際是不可能的。在測(cè)量工作中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，一般采用下述公式：m稱為中誤差。這里的方括號(hào)表示總和，Δi（i=l，2…n）為一組同精度觀測(cè)誤差。標(biāo)準(zhǔn)差σ跟中誤差m的不同，在于觀測(cè)個(gè)數(shù)n上；標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測(cè)在n→∞時(shí)誤差分布的擴(kuò)散特性，即理論上的觀測(cè)精度指標(biāo)，而中誤差則是一組同精度觀測(cè)在n為有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的觀測(cè)精度指標(biāo)。所以中誤差實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值（估值）；隨著n的增大，m將趨近于σ。在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)，得出的每一個(gè)觀測(cè)值都稱為同精度觀測(cè)值。由于它們對(duì)應(yīng)著一個(gè)誤差分布，即對(duì)應(yīng)著一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估值即為中誤差。因此，同精度觀測(cè)值具有相同的中誤差。但是，同精度觀測(cè)值的真誤差卻彼此并不相等，有的差別還比較大，這是由于真誤差具有偶然誤差性質(zhì)的緣故。求一組同精度觀測(cè)值的中誤差m時(shí)，式中真誤差Δ可以是同一個(gè)量的同精度觀測(cè)值的真誤差，也可以是不同量的同精度觀測(cè)值的真誤差。在計(jì)算m值時(shí)注意取2－3位有效數(shù)字，并在數(shù)值前冠以“士”號(hào)，數(shù)值后寫(xiě)上“單位”。例設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了10次觀測(cè)，試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。σ對(duì)偶然誤差分布曲線形狀的影響f(Δ)ΔO0.6830.683

σ愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。有時(shí)，求得真誤差和容許誤差后，也用相對(duì)誤差來(lái)表示。例如，在本書(shū)以后要介紹的導(dǎo)線測(cè)量中，假設(shè)起算數(shù)據(jù)沒(méi)有誤差時(shí)，求出的全長(zhǎng)相對(duì)閉合差也就是相對(duì)真誤差；而規(guī)范中規(guī)定全長(zhǎng)相對(duì)閉合差不能超過(guò)1／2000或1／15000，它就是相對(duì)容許誤差。與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對(duì)誤差。對(duì)于評(píng)定精度來(lái)說(shuō)，有時(shí)利用中誤差還不能反映測(cè)量的精度。例如丈量?jī)蓷l直線，一條長(zhǎng)100m，另一條長(zhǎng)20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說(shuō)兩者測(cè)量精度相同呢？不能！而是前者優(yōu)于后者。為此，利用中誤差與觀測(cè)值的比值，即mi／Li來(lái)評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。相對(duì)中誤差都要求寫(xiě)成分子為1的分式，即1／N。上例為即前者的精度比后者高。二、相對(duì)誤差根據(jù)理論知道，大于中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6％，大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3‰左右。因此測(cè)量中常取兩倍中誤差作為誤差的限值，也就是在測(cè)量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。即Δ容=2m在有的測(cè)量規(guī)范中也有取三倍中誤差作為容許誤差的。三、極限誤差§3.3算術(shù)平均值及其中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L2……Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為X，寫(xiě)出觀測(cè)值的真誤差公式為?i=Li-X(i=1,2…n)將上式相加得或故設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即以?X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，?X趨近于零，即也就是說(shuō)，n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值?，F(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。因?yàn)槭街校?／n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為同精度觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式為而二、按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差以上利用觀