2024屆湖南省衡陽(yáng)市祁東縣高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽(yáng)市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒(méi)剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因?yàn)?，所以，，則，所以，又因?yàn)?，所以，解?故選：C.5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然與均關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得與有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡(jiǎn)得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒(méi)），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長(zhǎng)為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長(zhǎng)10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長(zhǎng)為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)滿足，且，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，令，a，，則，因?yàn)?，且，所以，則，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則由，得，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，令，，此時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的〖解析〗式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，所?故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為_(kāi)_______．〖答案〗1〖解析〗若過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡(jiǎn)得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開(kāi)排，則有種；所以一共有種.14.在長(zhǎng)方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得．（2）因?yàn)椋裕?，故?6.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內(nèi)一點(diǎn)，作OE垂直AB，交AB于點(diǎn)E，作OF垂直BC，交BC于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，因?yàn)?，且平面，所以平面．?）解：因?yàn)锽C，BA，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？解：（1）設(shè)小張回答A類題正確的概率為，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為，小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為，由題意可得，所以，所以小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率為0.6.（2）由（1）可得，設(shè)，即，所以，即，解得，又，所以時(shí)，最大.18.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最大值為6.（1）求拋物線的方程.（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線與軸分別相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.解：（1）點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即，得,故拋物線方程為.（2）設(shè)，則方程為，方程為,聯(lián)立與拋物線的方程可得，即,因此點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,同理可得點(diǎn)坐標(biāo)為,因此直線的斜率為,代入點(diǎn)坐標(biāo)可以得到方程為,整理可以得到,因此經(jīng)過(guò)定點(diǎn).19.已知函數(shù)．（1）是否存在實(shí)數(shù)，使得和在上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）已知是的零點(diǎn)，是的零點(diǎn)．①證明：，②證明：．（1）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，所以和在上都單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，若和在上的單調(diào)區(qū)間相同，則和有相同的極值點(diǎn)，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以無(wú)解，綜上，當(dāng)時(shí)，和在上的單調(diào)區(qū)間相同；（2）證明：①由題意，有兩個(gè)零點(diǎn)，，若，則，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，得證；②令，得，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，故，且有，由，得，即，又，所以，由，得，即，又，所以，由，得，即，故.湖南省衡陽(yáng)市祁東縣2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題得，則．故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可知雙曲線的漸近線方程為，即．故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，故，．故選：A.4.在研究變量與之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)利用此樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和誤差較大，剔除這兩對(duì)數(shù)據(jù)后，求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且則（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗設(shè)沒(méi)剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前的平均數(shù)分別為，，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后的平均數(shù)分別為，，因?yàn)椋?，，則，所以，又因?yàn)?，所以，解?故選：C.5.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，顯然與均關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象，可得與有5個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，故C正確.故選：C.6.如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由給定定義得，對(duì)左右兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡(jiǎn)得方程為，故B正確.故選：B.7.如圖，正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，容器中水的高度為6cm．現(xiàn)將57個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小鐵球放入容器中（57個(gè)小鐵球均被淹沒(méi)），水位上升了3cm，若忽略該容器壁的厚度，則小鐵球的半徑為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱臺(tái)容器的高為12cm，，，正四棱臺(tái)容器內(nèi)水的高度為6cm，由梯形中位線的性質(zhì)可知水面正方形的邊長(zhǎng)為，其體積為；放入鐵球后，水位高為9cm，沿作個(gè)縱截面，從分別向底面引垂線，如圖，其中是底面邊長(zhǎng)10cm，是容器的高為12cm，是水的高為9cm，由截面圖中比例線段的性質(zhì)，可得,此時(shí)水面邊長(zhǎng)為4cm，此時(shí)水的體積為，放入的57個(gè)球的體積為，設(shè)小鐵球的半徑為，則，解得.故選：A.8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)滿足，且，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)，滿足，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，令，a，，則，因?yàn)?，且，所以，則，故，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則由，得，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，令，，此時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD.10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心，，則（）A. B.C.的面積的最大值為 D.的最小值為〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，，A錯(cuò)；由得，所以，又，即所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，C正確；由得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.若在區(qū)間上的〖解析〗式為，則在區(qū)間上的〖解析〗式為D.〖答案〗AD〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,可知即所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故A正確.由可得又,所以可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，則故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗约丛趨^(qū)間上的〖解析〗式為故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，所以，所以，所?故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．12.已知，過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則________，該直線的方程為_(kāi)_______．〖答案〗1〖解析〗若過(guò)點(diǎn)恰好只有一條直線與圓E：相切，則一定在圓上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圓心為，半徑為，又直線斜率為，設(shè)該直線的斜率為，顯然兩直線必定垂直，故得，則直線方程為，化簡(jiǎn)得直線方程為.13.4名男生和2名女生隨機(jī)站成一排，每名男生至少與另一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗4名男生先排，共有種，2名女生再排，共有種，再將2名女生插空到男生中，若兩名女生一起，可排最左邊，中間，最右邊，共有3種；若兩名女生分開(kāi)排，則有種；所以一共有種.14.在長(zhǎng)方體中，，平面平面，則截四面體所得截面面積的最大值為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗平面截四面體的截面如圖所示，設(shè)，則，所以四邊形為平行四邊形，且，在矩形中，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且也是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的公差；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則．因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以為常數(shù)．，所以，解得．（2）因?yàn)?，所以．，故?6.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．（1）證明：平面ABC．（2）若，，求直線BC與平面所成角的正弦值．（1）證明：取O內(nèi)一點(diǎn)，作OE垂直AB，交AB于點(diǎn)E，作OF垂直BC，交BC于點(diǎn)F，因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，因?yàn)?，且平面，所以平面．?）解：因?yàn)锽C，BA，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，令，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.小張參加某知識(shí)競(jìng)賽，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張回答A類題正確的概率為0.9，小張回答B(yǎng)類題正確的概率為0.45．已知題庫(kù)中B類題的數(shù)量是A類題的兩倍．（1）求小張?jiān)陬}庫(kù)中任選一題，回答正確的概率；（2）已知題庫(kù)中的題目數(shù)量足夠多，該知識(shí)競(jìng)賽需要小張從題庫(kù)中連續(xù)回答10個(gè)題目，若小張?jiān)谶@10個(gè)題目中恰好回答正確k個(gè)（，1，2，，10）的概率為，則當(dāng)k為何值時(shí)，最大？解：（1）設(shè)小張回答