2024屆河南省濮陽(yáng)市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省濮陽(yáng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.2.若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可知，.故選：B.3.在的展開(kāi)式中，第8項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.144 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)有，則.

故選：A.4.已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由可得，故，，即.故選：C.5.在長(zhǎng)方體中，與平面所成的角為與所成的角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得平面，故與平面所成的角為與相等，又平面，故平面，即，又，故與所成的角與與所成角相等，即與相等，又，故.故選：C.6.有以下6個(gè)函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對(duì)立事件分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對(duì)于②為奇函數(shù)；對(duì)于③為奇函數(shù)；對(duì)于④為偶函數(shù)；對(duì)于⑤：定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)；對(duì)于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A、C錯(cuò)誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯(cuò)誤；又，，所以，故D正確.故選：D.7.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，設(shè)直線的斜率分別為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，因?yàn)椋?，則，即，可知直線方程為：，則直線方程為：，令得，，即，，則，由正弦定理得：，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A8.下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，等價(jià)于，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，故A錯(cuò)；對(duì)于B，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，又，故B錯(cuò)；對(duì)于C，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；故，即，故，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，等價(jià)于，等價(jià)于，即，令，則等價(jià)于，即，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，令，則，所以，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，因?yàn)椋?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，所以由上即，即，所以，所以，即，所以，即，故D對(duì).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（）A.一定可以作為一個(gè)基底B.一定有最小值C.一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D.的夾角的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A：若，即，即，此時(shí)不能作基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故有最小值，故B正確；對(duì)C：若，則有即，即，即，解得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的圖象可由的圖象平移得到B.在上單調(diào)遞增C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D.圖象的一條對(duì)稱軸為直線〖答案〗BD〖解析〗，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，A：由以上〖解析〗式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小值，所以圖象的一條對(duì)稱軸為直線，故D正確；故選：BD.11.空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，其中，則下列說(shuō)法正確的有（）A.存在定直線，使得上的點(diǎn)到的距離是定值B.存在定點(diǎn)，使得上的點(diǎn)到的距離為定值C.的長(zhǎng)度是個(gè)定值，且這個(gè)定值小于14D.是上任意兩點(diǎn)，則的距離的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗由題意空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，其中，可知，點(diǎn)的軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋轉(zhuǎn)兩次兩周。對(duì)于A，為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋轉(zhuǎn)兩次兩周，所以存在定直線即為軸，使得上的點(diǎn)到的距離是定值為1，A正確；對(duì)于B，根據(jù)軌跡可得不存在定點(diǎn)，使得上的點(diǎn)到的距離為定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，軌跡的長(zhǎng)度是，C正確；對(duì)于D,是上任意兩點(diǎn)，則的距離的最大值為4,D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗對(duì)于拋物線，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線是由向上平移一個(gè)單位形成的，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.13.如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，的平分線交邊于點(diǎn)邊上的高為邊上的高為，，則__________；__________.〖答案〗〖解析〗在中，可知，因?yàn)椋覟榈钠椒志€，可知，則，在中，可得，在中，可得，所以；因?yàn)椋?，中，由正弦定理可得，則，解得，由正弦定理可得，且為的平分線，則，可得，在中，由正弦定理可得，在中，可知，則，在中，可知，在中，可知，所以.故〖答案〗為：；.14.已知，且，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗1〖解析〗，注意到，如圖：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，分別為上的點(diǎn)，設(shè)，且，故,即，故，即，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明如果甲?乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為，乙每局比賽獲勝的概率為.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最先獲得三局勝利者獲得冠軍）.（1）現(xiàn)在比賽正在進(jìn)行，而且乙暫時(shí)以領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；（2）若本次決賽最終甲以的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號(hào)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）由于乙以1：0領(lǐng)先，那么甲在接下來(lái)的比賽中，第局連勝3局獲得冠軍，或第局比賽中丟失1局，直到第5局獲勝而獲得冠軍，所以甲獲得冠軍的概率；（2）甲以的大比分獲得冠軍，表明第五局一定是甲獲勝，前四局中甲?乙比賽結(jié)果為平，即前四局比賽中，甲丟失了2局，分別是第1，2局；或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局，所以的取值為，34567.16.已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.（1）證明：是等差數(shù)列，并求；（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)椋?，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）解：由（1）知，，，則，，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，，，，為正三角形.（1）證明：在平面上的射影為的外心（外接圓的圓心）；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖所示，因?yàn)樵谔菪沃?，，又三角形為正三角形，所?在平面上的射影為，即平面，連接，由，為公共邊，有，所以，即為的外心.（2）解：等腰梯形中，取中點(diǎn)，連接，由，，則四邊形為平行四邊形，有，又，則是邊長(zhǎng)為2的正三角形，取中點(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在正中，，由二面角的平面角的定義可知為二面角的平面角，則.，，，則有，在正中，，由，有，則，則.設(shè)平面的法向量為，有令，得，則.又，所以.18.已知函數(shù).（1）如果，求曲線在處的切線方程；（2）如果對(duì)于任意的都有且，求實(shí)數(shù)滿足的條件.解：（1）當(dāng)時(shí)，，記，則，所以切線方程為，即；（2），且，，所以有，，，令，，，如果在上單調(diào)遞減，即有在上單調(diào)遞減，此時(shí)與矛盾，故，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，，而，故由零點(diǎn)存在定理，可知存在，使得，也就是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)一步分析可知存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使得恒成立，必有，，，因?yàn)?，所以由，如果，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，滿足題意，如果在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恒成立，必有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，綜上有.19.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，上?下頂點(diǎn)分別為，記四邊形的內(nèi)切圓為，過(guò)上一點(diǎn)引圓的兩條切線（切線斜率均存在且不為0），分別交于點(diǎn)（異于）.（1）求直線與的斜率之積的值；（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷三點(diǎn)是否共線，并說(shuō)明理由.解：（1）由題意得，故直線的方程為，即.由對(duì)稱性可知圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以圓的半徑為，所以圓，設(shè)，則，由題可設(shè)圓的切線方程為，則圓心到切線的距離為，整理得，設(shè)過(guò)點(diǎn)所引的圓的兩條切線的斜率分別為，則，由，得，代入式中，可得，故直線與的斜率之積為；（2）不妨設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為，解得，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得，設(shè)，則，將代入，可得，由（1）可設(shè)直線的方程為，設(shè)，同理可得，因此，設(shè)直線，則，解得，將直線與橢圓聯(lián)立，則，設(shè)，則，將代入，得，設(shè)直線，同理可得，故，所以P，O，Q三點(diǎn)共線．河南省濮陽(yáng)市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.2.若，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可知，.故選：B.3.在的展開(kāi)式中，第8項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.144 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)有，則.

故選：A.4.已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由可得，故，，即.故選：C.5.在長(zhǎng)方體中，與平面所成的角為與所成的角為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得平面，故與平面所成的角為與相等，又平面，故平面，即，又，故與所成的角與與所成角相等，即與相等，又，故.故選：C.6.有以下6個(gè)函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥.記事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；事件：從中任取1個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)，事件的對(duì)立事件分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于①：，則，解得，所以，故為偶函數(shù)且為奇函數(shù)；對(duì)于②為奇函數(shù)；對(duì)于③為奇函數(shù)；對(duì)于④為偶函數(shù)；對(duì)于⑤：定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)；對(duì)于⑥為非奇非偶函數(shù)；則事件為：①，②，③；事件為：④，⑤，⑥；事件為：①，④；事件為：②，③，⑤，⑥；事件為：①，②，③，④；為：⑤，⑥；所以，，，，，，所以，，故A、C錯(cuò)誤；又為：①；所以為：②，③，④，⑤，⑥，所以，則，故B錯(cuò)誤；又，，所以，故D正確.故選：D.7.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)分別為，記的外接圓半徑分別為，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，設(shè)直線的斜率分別為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，因?yàn)椋?，則，即，可知直線方程為：，則直線方程為：，令得，，即，，則，由正弦定理得：，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A8.下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，等價(jià)于，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)；對(duì)于B，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，又，故B錯(cuò)；對(duì)于C，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增；故，即，故，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，等價(jià)于，等價(jià)于，即，令，則等價(jià)于，即，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所以，令，則，所以，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，所以兩邊取?duì)數(shù)得，所以由上即，即，所以，所以，即，所以，即，故D對(duì).故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的有（）A.一定可以作為一個(gè)基底B.一定有最小值C.一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得D.的夾角的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對(duì)A：若，即，即，此時(shí)不能作基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故有最小值，故B正確；對(duì)C：若，則有即，即，即，解得，即當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，故的夾角不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的圖象可由的圖象平移得到B.在上單調(diào)遞增C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D.圖象的一條對(duì)稱軸為直線〖答案〗BD〖解析〗，因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，所以，A：由以上〖解析〗式可得的圖象不可由的圖象平移得到，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小值，所以圖象的一條對(duì)稱軸為直線，故D正確；故選：BD.11.空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，其中，則下列說(shuō)法正確的有（）A.存在定直線，使得上的點(diǎn)到的距離是定值B.存在定點(diǎn)，使得上的點(diǎn)到的距離為定值C.的長(zhǎng)度是個(gè)定值，且這個(gè)定值小于14D.是上任意兩點(diǎn)，則的距離的最大值為4〖答案〗ACD〖解析〗由題意空間直角坐標(biāo)系中的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，其中，可知，點(diǎn)的軌跡為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋轉(zhuǎn)兩次兩周。對(duì)于A，為以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，高為4的圓柱上螺旋上升，共計(jì)旋轉(zhuǎn)兩次兩周，所以存在定直線即為軸，使得上的點(diǎn)到的距離是定值為1，A正確；對(duì)于B，根據(jù)軌跡可得不存在定點(diǎn)，使得上的點(diǎn)到的距離為定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，軌跡的長(zhǎng)度是，C正確；對(duì)于D,是上任意兩點(diǎn)，則的距離的最大值為4,D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗對(duì)于拋物線，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線是由向上平移一個(gè)單位形成的，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.13.如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，的平分線交邊于點(diǎn)邊上的高為邊上的高為，，則__________；__________.〖答案〗〖解析〗在中，可知，因?yàn)?，且為的平分線，可知，則，在中，可得，在中，可得，所以；因?yàn)?，，中，由正弦定理可得，則，解得，由正弦定理可得，且為的平分線，則，可得，在中，由正弦定理可得，在中，可知，則，在中，可知，在中，可知，所以.故〖答案〗為：；.14.已知，且，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗1〖解析〗，注意到，如圖：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，分別為上的點(diǎn)，設(shè)，且，故,即，故，即，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明如果甲?乙兩位選手在決賽中相遇，甲每局比賽獲勝的概率為，乙每局比賽獲勝的概率為.本次世界大賽，這兩位選手又在決賽中相遇.賽制為五局三勝制（最先獲得三局勝利者獲得冠軍）.（1）現(xiàn)在比賽正在進(jìn)行，而且乙暫時(shí)以領(lǐng)先，求甲最終獲得冠軍的概率；（2）若本次決賽最終甲以的大比分獲得冠軍，求甲失分局序號(hào)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）由于乙以1：0領(lǐng)先，那么甲在接下來(lái)的比賽中，第局連勝3局獲得冠軍，或第局比賽中丟失1局，直到第5局獲勝而獲得冠軍，所以甲獲得冠軍的概率；（2）甲以的大比分獲得冠軍，表明第五局一定是甲獲勝，前四局中甲?乙比賽結(jié)果為平，即前四局比賽中，甲丟失了2局，分別是第1，2局；或第1，3局；或第1，4局；或第2，3局或第2，4局或第3，4局，所以的取值為，34567.16.已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.（1）證明：是等差數(shù)列，并求；（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，所以，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，故是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，；（2）解：由（1）知，，，則，，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，，，，為正三角形.（1）證明：在平面上的射影為的外心（外接圓的圓心）；（2）當(dāng)二面角為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖所示，因?yàn)樵谔菪沃校?，又三角形為正三角形，所?在平面上的射影為，即平面，連接，由，為公共邊，有，所以，即為的外心.（2）解：等腰梯形中，取中點(diǎn)，