2025屆江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖中學高二上數學期末質量檢測模擬試題含解析

2025屆江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖中學高二上數學期末質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=12．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.4．已知函數，則等于（）A.0 B.2C. D.5．在正項等比數列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.326．設斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（）A. B.C. D.7．設變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.48．設函數的圖象在點處的切線為，則與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.9．已知等差數列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.10．已知數列是等比數列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3611．設，則“”是“直線與直線”平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件12．據記載，歐拉公式是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，該公式被譽為“數學中的天橋”特別是當時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數學中五個重要的數（自然對數的底，圓周率，虛數單位，自然數的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數學家評價它是“最完美的數學公式”.根據歐拉公式，復數的虛部（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個無蓋的正方體盒子展開圖，A，B，C，D是展開圖上的四點，BD則在正方體盒子中，AD與平面ABC所成角的正弦值為___________.14．直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________15．圍棋是一種策略性兩人棋類游戲．已知某圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率為，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，則2粒恰好都是白子的概率是______16．若a，b，c都為正數，，且，，成等比數列，則的最大值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點在拋物線（）上，過點A且斜率為1直線與拋物線的另一個交點為B（1）求p的值和拋物線的焦點坐標；（2）求弦長18．（12分）請你設計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個點重合于圖中的點，正好形成一個長方體形狀的包裝盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設（1）求包裝盒的容積關于的函數表達式，并求出函數的定義域；（2）當為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？19．（12分）等比數列中，，（1）求的通項公式；（2）記為的前n項和．若，求m的值20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且經過點和.（1）求圓的標準方程；（2）若過點且斜率存在的直線與圓交于，兩點，且，求直線的方程.21．（12分）已知橢圓過點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓相交于A、B兩點，求.22．（10分）已知函數（Ⅰ）若的圖象在點處的切線與軸負半軸有公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，求的最值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點：雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質2、A【解析】由切線的性質，可得，，再結合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A3、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A4、D【解析】先通過誘導公式將函數化簡，進而求出導函數，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.5、C【解析】根據和為方程兩根，得到，然后再利用等比數列的性質求解.【詳解】因為和為方程的兩根，所以，又因為數列是等比數列，所以，故選：C6、B【解析】根據拋物線的方程寫出焦點坐標，求出直線的方程、點的坐標，最后根據三角形面積公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.7、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據目標函數的幾何意義，即可求出目標函數的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因為目標函數，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當直線經過時截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.8、C【解析】利用導數的幾何意義求得切線為，求x、y軸上截距，進而可得與坐標軸圍成的三角形面積，利用導數研究在上的最值即可得結果.【詳解】由題設，，則，又，所以切線為，當時，當時，又，所以與坐標軸圍成的三角形面積為，則，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C9、C【解析】首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.10、C【解析】應用等比中項的性質有，結合已知求值即可.【詳解】由等比數列的性質知：，，，所以，又，所以.故選：C11、D【解析】由兩直線平行確定參數值，根據充分必要條件的定義判斷【詳解】時，兩直線方程分別為，，它們重合，不平行，因此不是充分條件；反之，兩直線平行時，，解得或，由上知時，兩直線不平行，時，兩直線方程分別為，，平行，因此，本題中也不是必要條件故選：D12、D【解析】由歐拉公式的定義和復數的概念進行求解.【詳解】由題意，得，則復數的虛部為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】先復原正方體，再構造線面角后可求正弦值.【詳解】復原后的正方體如圖所示，設所在面的正方形的余下的一個頂點為，連接，則平面，故為AD與平面ABC所成角，而，故為AD與平面ABC所成角的正弦值為.故答案為：.14、或.【解析】根據曲線方程得曲線的軌跡是個半圓，數形結合分析得兩種情況：（1）直線與半圓相切有一個交點；（2）直線與半圓相交于一個點，綜合兩種情況可得答案.【詳解】由曲線，可得，表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據，所以，結合圖像可得；（2）直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知.故答案為：或.【點睛】方法點睛：處理直線與圓位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法；如果或有限制，需要數形結合進行分析.15、【解析】根據互斥事件與對立事件概率公式求解即可【詳解】設“2粒都是黑子”為事件，“2粒都是白子”為事件，“2粒恰好是同一色”為事件，“2粒不同色”為事件，則事件與事件是對立事件，所以因為2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，所以，所以，又，且事件與互斥，所以，所以故答案為：16、【解析】由等比數列性質知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，，成等比數列，得，即又，則，所以，即，即所以，當且僅當時，等號成立，故的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），焦點坐標（2）【解析】（1）將點的坐標代入拋物線的方程，可求得的值，進而可得拋物線的焦點坐標；（2）寫出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程求得交點坐標，利用兩點之間的距離公式即可求解.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即所以拋物線的方程為，焦點坐標為；【小問2詳解】由已知得直線方程為，即由得，解得或所以，則18、（1），定義域為；（2）當時，包裝盒的容積最大是.【解析】（1）設出包裝盒的高和底面邊長，利用長方體的表面積得到等量關系，再利用長方體的體積公式求出表達式，再利用實際意義得到函數的定義域；（2）求導，利用導函數的符號變化得到函數的極值，即最值.小問1詳解】解：設包裝盒的高為，底面邊長為，則，，所以=其定義域為；【小問2詳解】解：由（1）得：，，因為，所以當時，；當時，；所以當時，取得極大值，即當時，包裝盒的容積最大是19、（1）或；（2）5.【解析】（1）設的公比為q，解方程即得解；（2）分兩種情況解方程即得解.【小問1詳解】解：設的公比為q，由題設得由已知得，解得（舍去），或故或【小問2詳解】解：若，則由，得，解得若，則由，得，因為，所以此方程沒有正整數解綜上，20、（1）（2）【解析】（1）設圓心，由題意得，，結合兩點間的距離公式求解的值，則圓心與半徑可求，圓的方程可求；（2）若直線的斜率不存在，設直線的方程為，符合題意，若直線的斜率存在，設直線方程為，即，由圓心到直線的距離與半徑關系求得，則直線方程可求【小問1詳解】解：（1）設圓心，由題意得，，，解得.圓心坐標為，半徑.則圓的方程為；【小問2詳解】解：（2）直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，，圓心到直線的距離，即，解得，得直線的方程為.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意得，，再結合即可求得答案.（2）設，，直接聯(lián)立方程得，再結合韋達定理，利用弦長公式和點到線的距離公式得，點M到直線的距離，進而可得.【詳解】解：（1）由題意得，，結合，解得所以橢圓的方程為：.（2）由得即，經驗證.設，.所以，，故因為點M到直線的距離，所以.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，橢圓的方程，弦長公式等，考查運算能力，是基礎題.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【解析】（Ⅰ）求導數．求得切線方