2025屆山東省菏澤市菏澤第一中學數(shù)學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆山東省菏澤市菏澤第一中學數(shù)學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.2．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.3．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為（）A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.024．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.5．命題；命題．則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真6．如圖給出的是一道典型的數(shù)學無字證明問題：各矩形塊中填寫的數(shù)字構成一個無窮數(shù)列，所有數(shù)字之和等于1.按照圖示規(guī)律，有同學提出了以下結論，其中正確的是（）A.由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數(shù)字為B.前七個矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于C.矩形塊中所填數(shù)字構成的是以1為首項，為公比的等比數(shù)列D.按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第n-1個矩形塊中所填數(shù)字是7．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或48．已知隨機變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.769．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.10．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.11．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.12．數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點的坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線過點，且原點到直線l的距離為，則直線方程是______14．點到直線的距離為_______.15．已知拋物線的焦點坐標為，則該拋物線上一點到焦點的距離的取值范圍是___________.16．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱上的點(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.18．（12分）某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了1000件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質量指數(shù)進行檢測，根據(jù)檢測結果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認定產(chǎn)品的質量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級產(chǎn)品，產(chǎn)品的質量指數(shù)在內時為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計有關知識判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.19．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大??；（3）設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在，請具體構造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.20．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點，點P在橢圓C上，軸，點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點，若點，，試探究點M，，N是否一定共線？說明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中，，為的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的左焦點為，點到短袖的一個端點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點，若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】構造函數(shù)，求導判斷其單調性即可【詳解】令，，令得，，當時，，單調遞增，，，，，，，故選：A2、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.3、C【解析】根據(jù)全概率公式即可求出【詳解】隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為0.0248故選：C4、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D5、D【解析】命題：可能為0，不為0，假命題，命題：，為真命題，所以“或”為真命題，“且”為假命題．選D.6、B【解析】根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設每個矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列，則可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，，所以由大到小的第八個矩形塊中應填寫的數(shù)字為，故A錯誤；前七個矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于，故B正確；矩形塊中所填數(shù)字構成的是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故C錯誤；按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第個矩形塊中所填數(shù)字是，故D錯誤.故選：B.7、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.8、A【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因隨機變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A9、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A10、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式得到，進而得到，利用裂項相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D11、B【解析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B12、A【解析】設，計算出重心坐標后代入歐拉方程，再求出外心坐標，根據(jù)外心的性質列出關于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設，由重心坐標公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當，時，重合，舍去頂點的坐標是故選：A【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質列方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線斜率不存在不滿足題意，即設直線的點斜式方程，再利用點到直線的距離公式，求出的值，即可求出直線方程.【詳解】①當直線斜率不存在時，顯然不滿足題意.②當直線斜率存在時，設直線為.原點到直線l的距離為，即直線方程為.故答案為：.14、【解析】應用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設，點到距離為.故答案為：15、【解析】根據(jù)題意，求得，得到焦點坐標，結合拋物線的定義，得到，根據(jù)，求得，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點坐標為，可得，解得，設拋物線上的任意一點為，焦點為，由拋物線的定義可得，因為，所以，所以拋物線上一點到焦點的距離的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出結果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設，表示點Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，所以，，，因為，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設平面的法向量因為，.所以，即，不妨設，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設，即，，所以，即，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，即，解得，即.【點睛】本題考查利用空間向量求線面垂直、線面角、二面角的求法，向量法求二面角的步驟：建、設、求、算、取：1、建：建立空間直角坐標系，以三條互相垂直的垂線的交點為原點；2、設：設所需點的坐標，并得出所需向量的坐標；3、求：求出兩個面的法向量；4、算：運用向量的數(shù)量積運算，求兩個法向量的夾角的余弦值；5、?。焊鶕?jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角，再取值.18、（1）甲更好，詳細見解析（2）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根據(jù)古典概型計算即可.【小問1詳解】解：甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因為，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質量的平均水平高于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質量的平均水平，故甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量更好.【小問2詳解】由題意可知，甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F(xiàn)），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F(xiàn)），（c，d），（c，E），（c，F(xiàn)），（d，E），（d，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種；其中符合條件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種.故抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率為：19、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結合正四面體的結構特征即可證結論.（2）取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進而求其大小.（3）設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺的棱長和為定值6，體積為V.設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.因為正四面體的體積是，所以，，從而，故構造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.20、（1）（2）不一定共線，理由見解析【解析】（1）由橢圓定義可得a，利用∽△BOA可解；（2）考察軸時的情況，分析可知M，，N不一定共線.【小問1詳解】由題意得，，設，，代入橢圓C的方程得，，可得.可得.由，，所以∽△BOA，所以，即，可得.又，，得.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當軸時，，設，，則由已知條件和方程，可得，整理得，，解得或.由于，所以當時，點M，，N共線；所以當時，點M，，N不共線.所以點M，，N不一定共線.21、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質，結合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為為的中點，所以，而，所以四邊形是平行四邊形，因此，因為，，為的中點，所以，，而，因為，所以，而平面，所以平面；【小問2詳解】根據(jù)（1），建立如圖所示的空間直角坐標系，，于是有：，則平面