2021屆人教a版 平面向量單元測試

平面向量

一、單選題

1.設(shè)向量d=(l,2),b=(m,m+1),a//b,則實數(shù)〃?的值為()

A.1B.-1

C.--D.-3

3

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，因為所以m+1-2/%=0=＞能=1.故選A.

考點：平面向量的平行關(guān)系.

2.向量G、5的夾角為60。，且同=1,網(wǎng)=2,則忸一同等于()

A.1B.0C.73D,2

【答案】D

【解析】

試題分析：由題意得：??=1x2xcos60=1?所以

卜可=,4同2+|同2―4無5=,4+4—4=2，所以選D.

考點：1.平面向量的數(shù)量積；2.向量的模.

3.已知,=(2,4),b=(%,1),當(dāng)d+4與、一)共線時,無值為

11

A.3B.2C.-D.-

32

【答案】D

【解析】

Va+fa=(2+x,5),a-b=(2-X,3),v(a+b)//(a-3),???(2+x)x3=5x(2-

%),x=|)選D.

4.過拋物線的焦點F的直線與拋物線C相交于A，8兩點，其中點A位于第一象限.若

而=5萬，則直線AB的斜率為()

A.—B.±—C.五D.±—

3322

【答案】C

【解析】

【分析】

過A作AM與準(zhǔn)線垂直，垂足為M，過8作3N與準(zhǔn)線垂直，垂足為N,過8作

BEA.AM，垂足為E，設(shè)1刑|=/,則|AE|=5r,所以|AB|=6r,根據(jù)拋物線的定

義求出|AE|和|BE|,在直角三角形AEB中可解得.

【詳解】

如圖：過A作40與準(zhǔn)線垂直，垂足為M，過8作BN與準(zhǔn)線垂直，垂足為N,

過3作5￡_LAM，垂足為E，

因為赤=5方，所以IA/q=5|F8|,

設(shè)|EB|=f,則|AE|=5f,所以|AB|=6/,

根據(jù)拋物線的定義可得IAM|=|AF|=5t,,\BN\=\FB\=t,

所以|AE|=4/,所以|BE|=J⑹了一(4M=2R，

CCl>IZ>-lrf.-Z?IBEI2>/5/V5

所以斜率k=tanNFAE=----=-----=—.

\AE\4r2

故選:C

【點睛】

本題考查了拋物線定義的應(yīng)用，通過作輔助線，轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決是解題關(guān)鍵,

屬于中檔題.

5.若非零向量八萬滿足同=|4，(2&+孫5=0,則1與石的夾角為()

A.30B.60。C.120°D.150

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)向量方與b的夾角為e,根據(jù)題中條件結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律和定義求出

cos。的值，再結(jié)合。的取值范圍可求出角。的值.

【詳解】

設(shè)向量萬與日的夾角為6,=+=+斤=2忖cos6>+|/?|=0,

得cos。=一；,?.?()4180，.?.6=120，因此，￡與5的夾角為120、

故選：C.

【點睛】

本題考查利用平面向量數(shù)量積來計算平面向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6,若向量”(x+1,2)和向量5=(1,-1)平行，則忖+同=()

A.如B.叵C,0D,立

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量平行列方程求出X,進(jìn)而可得Z+B的坐標(biāo)，則|￡+加可得.

【詳解】

由題意得，一(X+D-2x1=0,得x=—3,

即a=(—2,2),故a+B=(-1,1),

????z+昨7(-i)2+i2=0-

故選：C.

【點睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，模的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.

7.已知空間四邊形物的對角線為〃'、切，設(shè)G是切的中點，則4看+3^方+臺3)

等于()

【答案】A

【解析】

AB+^Bl5+BC）=AB+BG=AG，選A.

8.如圖，。是平行四邊形ABC。的兩條對角線的交點，則下列等式正確的是（）

A.DA-DC=ACB.DA+DC=Dd

C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC

【答案】D

【解析】

對于A，Z)A-DC=C4-故A錯誤；對于8,DA+DC^DB^故8錯誤；對于C，

OA-OB+AD^BA+Ab^BD^故。錯誤.

故選D

9.已知4m3),5(2加，〃?+4),C(〃?+l,4),0(1,0)且向量通與向量而垂直，則

〃?的值為()

A.-2B.0C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

將向量入身、而用坐標(biāo)表示出來，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解出加的值.

【詳解】

據(jù)題意有：而=(加，加+1),麗=(-加，-4),因為而J.而，所以

m(-m)+(-4)(/M+1)=0,所以(加+2/=0即加=-2.

【點睛】

向量垂直的坐標(biāo)表示：1=(%,乂)石=。2，%)，若GJ-5，則有玉%2+X％=0?

向量平行的坐標(biāo)表示:a=(xl,yl),b=(x2,y2)>若m〃5,則有％%-々乂=0.

io.已知向量汗=(—1,2),6=(%1)若2與日平行，則之=()

51

A.-5B.-C.7D.——

22

【答案】D

【解析】

分析：直接利用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解即可.

詳解：因為向量@=(一1，2),5=(辦1)且4與5平行，

所以一lx1=22,4=—>故選D.

2

點睛：利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：(1)兩向量

平行，利用司必一%2%=。解答；(2)兩向量垂直，利用毛々+乂%=。解答.

11.已知向量￡,石的夾角為60°,且|￡|=2,/|=1,則忖+2同=()

A.2B.V10C.2A/2D.2也

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量的模長公式和數(shù)量積公式求解即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)已知條件，3+25)2=62+4江石+452=4+4+4=12；

^.\a+2b|=273.

故選D.

【點睛】

本題考查向量的模以及向量數(shù)量積的運算法則，向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是

數(shù)量積的基本公式￡石=|胭cose；二是向量的平方等于向量模的平方7=庫

12.已知A,B為拋物線C:y2=4x上的不同兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若AB^5FB，

則|AB|=()

2525

A.—B.10C.—D.6

24

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)4苞,％),3(々,〉2)，根據(jù)印方=5而，可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合A8兩點

在拋物線上，可求得知天，而[4國=玉+9+2,由此可得結(jié)論.

【詳解】

設(shè)4(花，％),B(x2,y2),則A3=(々一石，％一Y)，

又尸(1,0),，尸6=(%2-1,%)，，*2一%=5工2一5,y2-yt=5y2,

4X

fX|=5-4X2[J2=21

,，1.，由4/2/、，得/="7，內(nèi)=4,

舊=-4%〔(T%)=4(5—49)-4

IA.B|=X]+%+2=.

故選C.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點弦問題.掌握焦點弦長公式是解題基礎(chǔ):

即對拋物線y2=2px（p>0）而言，4（和兇）,8（乙,%），45是拋物線的過焦點的弦，

貝+

二、填空題

13.如圖，在直角梯形ABC。中，4B=3C=2,CD=\,ABHCD,ADVAB.

點P是直角梯形內(nèi)任意一點.若西?麗<0,則點P所在區(qū)域的面積是.

D|\c

【答案】-+—

34

【解析】

試題分析：由已知得AD=^802一（.一0））2=,22—F=6NC84=60°.建

立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),8(2,0),。((),百),C(1,G),設(shè)P(x,y),則

C1

PA=(-x,-y),PB=(2-x,-y)，所以，

Rimnim

PA-PB=(-x,-y)?(2-x,-y)=-2x+x2+y2,從而

-2x+x2+V<0,(x-l)2+/<1,其表示平面區(qū)域的面積為圖中等邊三角形與扇形

面積之和，—x1x—+—xI2xsin600=—+.

23234

考點：1.平面向量的數(shù)量積；2.扇形、三角形的面積；3.解析法.

14.設(shè)向量a=(2,4)與向量》=(x,6)共線，則實數(shù)x=.

【答案】3

【解析】

分析：由向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線，可得2x6-4x=0,解方程可得

x=3.

詳解：因為向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線，

所以2x6-4x=0

解得x=3

點睛：向量的平行運算有兩種方式：

⑴坐標(biāo)運算：已知a=(Xpy),石=(々,，2)，al1b則X%-=。.

⑵兩向量Z/區(qū)，且W則存在一個實數(shù)2，使得￡=肪.

15.若非零向量1石滿足忖+可小叫=2回，則向量/二與1+E的夾角為.

【答案】2

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：如圖所示，設(shè)而=z亞=5,?.?兩個非零向量滿足卜+同巾一可=2同,

則四邊形ABCD是矩形，且

A4?1-rrjr

一=-=cosZBAC,.?.ZR4C=N0AB=—,：./以。=乙.而向量5與2+另的夾

AC236

角即為NQ49,故向量5與3+分的夾角為J

考點：向量的夾角的計算

16.平行四邊形A3CO中，APLBD,垂足為P,AP=2,則APAC.

【答案】8

【解析】

試題分析：如圖，設(shè)對角線AC、30相交于。點，?..四邊形ABC。是平行四邊形,

二AC=2AO=2（AP+PO）,因止匕，

APAC=AP-2AO=2AP\AP+PO）=2AP+2AP-PO,VAP=2,APJ.PO,

2...?

H=4,APPO=0,由此可得AP-AC=8.故答案為：8.

考點：平面向量數(shù)量積的運算.

【方法點晴】本題在平行四邊形中求向量的數(shù)量積，著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、向

量的線性運算性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題.設(shè)對角線AC、

8。相交于。點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與向量加法法則，得到

就'=2而＞=2儲+而），代入而?尼，結(jié)合而即Q?麗=0展開后即

可求得答案.

三、解答題

E=(GCOSX,—￡|,函數(shù)〃尤)=(

17.設(shè)向量加=(sinx,-l),n=

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）當(dāng)xe03時，求函數(shù)“X）的值域.

【答案】⑴kn--,kn+y,ZeZ；⑵[5,3

【解析】

【分析】

⑴利用函數(shù)y=Asin（5+w）的單調(diào)性，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡函數(shù)/（x）,

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得/（x）的增區(qū)間；

（2）利用函數(shù)》=45必（5+3）的值域，求得2x-工的范圍，運用正弦函數(shù)的圖象和

6

性質(zhì)，可得“X）的值域.

【詳解】

解：(1)向量加=(sinx,-l),

—2

函數(shù)/(x)=(m+=m+m-n

=1+sin2x+Gsinxcosx+一

=-(l-cos2x)+—sin2x+-

2、722

sin(2x-?)+2,

ITTTTT

由2kji----<2x-----<——,keZ,

262

JT

解得br--#xk7r+—,keZ,

63

故函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k兀一%左乃+?，%eZ；

⑵當(dāng)V。?時，2暇《4后

即有sin12x——],1

則sin[2%——j+—,3

則“X)的值域為

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查兩角差的正弦公式和正弦函數(shù)的圖象和性

質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

18.已知向量a=(sina,-2),B=(5,cosa),且

(1)求tana的值；

sin(a+乃)cosa+(a+2?)cos(a+?)

(2)求的值.

2sinla+—IcosI6r--1+cos2(乃一a

22

【答案】(1)-；(2)—

【解析】

【分析】

（1）由向量垂直的坐標(biāo)運算可得5sina=2cosa,再求解即可;

（2）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得原式=rma+smaco：a,再構(gòu)造齊次式求解即

2cosasina+cos-a

可.

【詳解】

解：（1）因為aJ_3，所以。3=0，

因為a=（sin2,—2）,b=（5,cosa）,所以H=5sina-2cosa=0，

口r-?一-sina2

即5sina=2cosa,故tana=----=—.

cosa5

34

sin（a+4）cosa+-sin（a+2兀）cos（a+乃）

-si.n~2a+si?nacosa

（2）

2cosasina+cos2*5a

2sin|cos+COS2（乃一a）

-tan2a+tana

2tana+\

42

125+5=2.

2x?+l15

5

【點睛】

本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運算，重點考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及構(gòu)造齊次式求值，屬

中檔題.

19.已知產(chǎn)（1，0）,直線/:x=-l,P為平面上的動點，過點P作/的垂線，垂足為點Q,

且萬而=麗衣.

（1）求動點P的軌跡曲線。的方程;

（2）設(shè)動直線了=居+力與曲線。相切于點M,且與直線x=-l相交于點N，試探

究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個定點E,使得以為直徑的圓恒過此定點5?若存

在，求出定點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】（I）C:/=4x（【I）存在一個定點NCU6符合題意

【解析】

試題分析：解：（1）設(shè)點P（x，y）,則Q（—l，y）,^QPQF=FPFQ,得

(x+l,0)%2,-y)=(x—l,y)%—2,y),化簡得。：產(chǎn)=4*4分

y=kx+m,…、

(2)由〈得/x2+(2Jbn-4)x+m2=0,

y=4%

由A=0，得=從而有,N(—L——+m)，7分

m

則以MN為直徑的圓的方程為(x-m2Xx+T)+(y-2m)iy+--m)=0,

m

整理得，Q—力巾2+犬2_—3同+x2+y2+x-2=ojo分

m

l-x=O,

由，y=0,得x=Ly=0

X2+/+x-2=0,

所以存在一個定點ESS符合題意.14分

考點：直線與拋物線位置關(guān)系

點評：主要是考查了向量的坐標(biāo)關(guān)系，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的運用，屬于中檔

題.

20.在長方形ABC。中，AB=4,AD=2.M,N分別是線段6C,CZ）的中點，P

是長方形ABC。（含邊界）內(nèi)一點.

（1）求sin/MAN的值；

（2）求戶的取值范圍.

【答案】⑴如里（2）[-1,91

34

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,可求得cosNM47V.

結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求得sinNM4N.

（2）設(shè)尸（x,y）,表示出麗，旃,即可根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得麗.訴.根據(jù)P是

長方形ABCO（含邊界）內(nèi)一點，可得x，＞的不等式組，即可利用不等式性質(zhì)求得

戶的取值范圍.

【詳解】

如圖，以點A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

（1）由題意有A（0,0）,M（4,l）,N（2,2）,

AM=(4,1),A7V=(2,2),

10,5734

所以34，

因為卜

所以sinAMAN=5/l-cos2AMAN

(2)設(shè)尸(x,y)

則說=(_2,1),礪=(x_4,y-l),

所以麗?亞=-2x+8+y-l=-2x+y+7,

’04x44,-84—2xW0,

因為《所以《

0<y<2,0<y<2,

所以一8<-2x+y<2,

所以一1K—2x+y+7<9,

即MN-MP的取值范圍是[-1,9].

【點睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，利用數(shù)量積求向量的夾角，同角三角函數(shù)關(guān)系式

的應(yīng)用，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.已知但=1=6,向量近，礪的夾角為90',點C在AB上，且ZAOC=30。.

—?—?—?tn

設(shè)OC=mOA+nOB(m,neR)f求一的值.

…上、31m_

【答案】"?=:，n=—,—=3.

44n

【解析】

試題分析：對向量方進(jìn)行正交分解，結(jié)合直角三角形的幾何性質(zhì)，即可得到答案.

試題解析：

解法一：：向量方，礪的夾角為90°，，|函1=1，

...在直角三角形ABC中，ZB=30

又VZAOC=30c.則AOC4sMCOSASOA,.?.△oc4、ABC。都是直角三

角形，

則AC=OAsin300=-,BC=Oficos30"=73.—=-

222

過C作CE//AO交08于E，

過C作CV//BO交。4于尸，

則5E=8C-cos30°=塑，0e=石—地=走，OE=-OB

4444

1133

AF=ACsin30=—,OF=1——=-,OF^-OA

4444

_________3__.1___

...OC=OE+OF=-OA+-OB

44

m_

——=3

n

解法二提示：在方程反=機麗+〃礪兩邊同乘以向量礪、礪得到兩個關(guān)于相、

1m

32=-=3

〃的方程組，解方程組可得m=~,4-

4九

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：工+匕=1,若圓0:f+V=心（<>°）的

63

一條切線與橢圓C有兩個交點A8,且礪?礪=0.

（1）求圓。的方程;

（2）已知橢圓C的上頂點為M，點N在圓。上，直線MN與橢圓C相交于另一點Q,

且麗=2而，求直線MN的方程.

【答案】（1）x2+y2=2（2）y=^x+V3,y=-—x+V3

【解析】

【分