物質(zhì)世界的對(duì)稱(chēng)性和統(tǒng)一性

物理學(xué)對(duì)物質(zhì)世界的基本認(rèn)識(shí)

人類(lèi)對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)從蒙昧、理性到科學(xué)的漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。宇宙之大，微觀粒子之小。天地萬(wàn)物、自然之復(fù)雜，物質(zhì)世界的奧妙是無(wú)窮的，人類(lèi)對(duì)物質(zhì)世界的探索也是無(wú)窮的。本講座將介紹物理學(xué)對(duì)宇宙世界的基本認(rèn)識(shí)。物質(zhì)世界的對(duì)稱(chēng)性和統(tǒng)一性提綱：物質(zhì)世界的層次、形態(tài)與基本相互作用物理學(xué)與宇宙觀物質(zhì)世界的對(duì)稱(chēng)性與統(tǒng)一性物質(zhì)世界的非線性效應(yīng)物理學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系及物理學(xué)認(rèn)識(shí)的真理性第3講物質(zhì)世界的對(duì)稱(chēng)性和統(tǒng)一性3.1物質(zhì)世界奇妙的對(duì)稱(chēng)性

對(duì)稱(chēng)是人們?cè)谟^察和認(rèn)識(shí)自然的過(guò)程中所建立的一種概念，大自然的對(duì)稱(chēng)表現(xiàn)隨處可見(jiàn)。動(dòng)物和人體體形、植物樹(shù)葉、晶體結(jié)構(gòu)、天上星辰、地上景物、房屋建筑、生活用具等幾何形體花樣大多是空間對(duì)稱(chēng)的。白天黑夜交替、四季變化，不同周期中對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，運(yùn)動(dòng)完全重復(fù)，又體現(xiàn)了另一類(lèi)對(duì)稱(chēng)性—時(shí)間對(duì)稱(chēng)性。

對(duì)稱(chēng)性定義如下：對(duì)某一事物或系統(tǒng)進(jìn)行一次變換（或操作），如果經(jīng)變換（或操作）后，該事物或系統(tǒng)完全復(fù)原，則稱(chēng)該事物或系統(tǒng)對(duì)所經(jīng)歷的變換（或操作）具有對(duì)稱(chēng)性。簡(jiǎn)單地說(shuō)，對(duì)稱(chēng)性就是某種變換下的不變性。

最常見(jiàn)、最基本的是空間對(duì)稱(chēng)性和時(shí)間對(duì)稱(chēng)性以及涉及空間和時(shí)間聯(lián)合變換的時(shí)空對(duì)稱(chēng)性，其特點(diǎn)是比較直觀。另一類(lèi)對(duì)稱(chēng)性是所謂的內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性，它反映內(nèi)在的和諧與協(xié)調(diào)，其特點(diǎn)是比較抽象。

1.時(shí)空對(duì)稱(chēng)性

（1）.空間對(duì)稱(chēng)性

如果對(duì)被觀察對(duì)象的空間位置進(jìn)行某種變換后，看起來(lái)還象沒(méi)有變過(guò)一樣。這種幾何空間配置上的對(duì)稱(chēng)性統(tǒng)稱(chēng)為空間對(duì)稱(chēng)性，包括鏡像或左右對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)和空間平移對(duì)稱(chēng)1）鏡像或左右對(duì)稱(chēng)直觀地看，一個(gè)物體在平面鏡中的像與該物體一模一樣，物體和鏡像的各點(diǎn)關(guān)于鏡平面是對(duì)稱(chēng)的。何其相似！

如圖所示，人的左手的像相當(dāng)于右手，又如動(dòng)物體形、樹(shù)葉、蝴蝶翅膀及花紋等。福建廈門(mén)鼓浪嶼的一幅對(duì)聯(lián)

霧鎖山頭山鎖霧天連水尾水連天清代女詩(shī)人吳絳雪的《四季回文詩(shī).夏》香蓮碧水動(dòng)風(fēng)涼水動(dòng)風(fēng)涼夏日長(zhǎng)長(zhǎng)日夏涼風(fēng)動(dòng)水涼風(fēng)動(dòng)水碧蓮香香蓮碧水動(dòng)風(fēng)涼水動(dòng)風(fēng)涼夏日長(zhǎng)長(zhǎng)日夏涼風(fēng)動(dòng)水涼風(fēng)動(dòng)水碧蓮香鏡面對(duì)稱(chēng)文學(xué)創(chuàng)作中的對(duì)稱(chēng)

數(shù)學(xué)上可以用坐標(biāo)變換來(lái)描述這種對(duì)稱(chēng)性，設(shè)x軸垂直于鏡面，原點(diǎn)在鏡面上，將一半圖形的坐標(biāo)x變成-x，就得到另一半圖形。我們說(shuō)這兩半圖形具有左右對(duì)稱(chēng)性或具有左右變換下的不變性。

左右對(duì)稱(chēng)性也叫空間反射不變性?？臻g反射，即把坐標(biāo)軸的方向反過(guò)來(lái)。這種使空間突然反向的變換是不連續(xù)的，所以是一種分立變換，空間反射變換簡(jiǎn)稱(chēng)P變換。表征空間反射變換性質(zhì)的特征量叫做空間宇稱(chēng)（簡(jiǎn)稱(chēng)宇稱(chēng)），宇稱(chēng)只有正負(fù)而無(wú)大小之分，即只有正宇稱(chēng)或負(fù)宇稱(chēng)。

2)空間平移對(duì)稱(chēng)使一個(gè)形體沿某個(gè)方向發(fā)生平移后和原來(lái)一模一樣，則該形體具有空間平移對(duì)稱(chēng)性例如，無(wú)限長(zhǎng)直線對(duì)沿自身方向任意大小的平移不變，無(wú)限大平面對(duì)沿面內(nèi)的任何大小的平移不變，無(wú)限長(zhǎng)正弦波形沿波傳播方向平移一個(gè)或多個(gè)波長(zhǎng)后波形不變，晶體沿確定的方向平移一個(gè)該方向的原子間距不變。上述例子中，前兩種的空間平移對(duì)稱(chēng)性級(jí)次較高。

從數(shù)學(xué)上講，所謂空間平移對(duì)稱(chēng)就是將描述形體幾何位置的坐標(biāo)系的原點(diǎn)在空間平移一定距離后，形體不變。

3)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)如果將一形體繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與原來(lái)的形體一模一樣，則該形體具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性或軸對(duì)稱(chēng)性。圓柱體繞軸線旋轉(zhuǎn)任意角度和原來(lái)一樣，正方體繞中心軸旋轉(zhuǎn)900、正六邊形繞中心軸線旋轉(zhuǎn)600后圖形不變，圓柱體具有更高級(jí)次的對(duì)稱(chēng)性。

如果一個(gè)形體對(duì)過(guò)某一定點(diǎn)的任意軸線都具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，則稱(chēng)之為具有球?qū)ΨQ(chēng)性，而那個(gè)定點(diǎn)就叫做對(duì)稱(chēng)中心。具有球?qū)ΨQ(chēng)性的形體，從對(duì)稱(chēng)中心出發(fā)，沿各個(gè)方向都沒(méi)有區(qū)別，這叫做各向同性。天壇祈年殿、六角形雪花就是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的例子。

4）空間反演如果將描述形體位置的坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)（x,y,z）變?yōu)?-x,-y,-z)，與原來(lái)形體一模一樣（如圖8-3-3），則該形體具有空間反演對(duì)稱(chēng)性。這相當(dāng)于在鏡像對(duì)稱(chēng)基礎(chǔ)上，繞垂直于鏡面的軸再轉(zhuǎn)1800。

(2).時(shí)間對(duì)稱(chēng)性

對(duì)時(shí)間性質(zhì)進(jìn)行變換所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為時(shí)間對(duì)稱(chēng)性包括時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性和時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。

1）時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性如果對(duì)一個(gè)物體，在時(shí)間上平移某一時(shí)間間隔后，和原來(lái)一模一樣，則該物體具有時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性，所對(duì)應(yīng)的變換是計(jì)時(shí)原點(diǎn)的平移變換。靜止不變的體系對(duì)任意小的時(shí)間間隔，都具有時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性。

周期性變化的體系對(duì)周期的整數(shù)倍的時(shí)間間隔具有時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性，或者說(shuō)具有周期變換下的不變性。在不同周期中的任意相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，它們的狀況完全相同，如物體的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)、日出日落、花開(kāi)花謝、四季變化、潮汐等。

2）時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性所謂時(shí)間反演，就是把時(shí)間t變換為-t的操作，即將時(shí)間進(jìn)行逆轉(zhuǎn)。我們把具有時(shí)間反演不變性的現(xiàn)象叫做具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。

當(dāng)然在現(xiàn)實(shí)生活中，時(shí)間是不會(huì)倒流的，但我們可以設(shè)想把實(shí)際發(fā)生的事件用錄像機(jī)記錄，再倒過(guò)來(lái)放映，便會(huì)看到與正常過(guò)程相反的滑稽場(chǎng)面。

日常生活中大多數(shù)現(xiàn)象并不具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性，例如一個(gè)人從樹(shù)上跳到地面，相反的過(guò)程是從地面倒退著跳回樹(shù)上。桌上的瓷杯掉到地上變成碎片，相反的過(guò)程是碎瓷片會(huì)自動(dòng)拼湊成完整的瓷杯再跳回桌上。

實(shí)際上，也有許多理想體系具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性，其錄像正放、倒放沒(méi)有區(qū)別。例如，被認(rèn)為絕對(duì)靜止的物體、無(wú)阻尼自由振動(dòng)等則如此。自由落體運(yùn)動(dòng)在時(shí)間反演操作下，速度反向，但重力和加速度總是向下的，所以重力和重力加速度具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。

時(shí)間反演變換也是一種分立變換，簡(jiǎn)稱(chēng)T變換。在T變換下，產(chǎn)生一個(gè)粒子變成了消滅一個(gè)粒子。

（3）.時(shí)空對(duì)稱(chēng)性

空間對(duì)稱(chēng)性與時(shí)間對(duì)稱(chēng)性常常是相互交織在一起的。

如伽里略變換和洛倫茲變換，都同時(shí)包含了時(shí)間和空間變換，這些變換被稱(chēng)為時(shí)空聯(lián)合變換。由時(shí)空聯(lián)合變換得出的不變性稱(chēng)為時(shí)空對(duì)稱(chēng)性。

2.內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性在一些變換中，時(shí)間和空間坐標(biāo)并未改變，由這樣的變換所得出的不變性稱(chēng)為內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性。例如，黑白照相底片和印出的照片所顯示的圖像是一樣的，如果對(duì)底片進(jìn)行“黑白互換”變換，底片就成了照片?！昂诎谆Q”是一種變換，但其所體現(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性既不是空間對(duì)稱(chēng)性，也不是時(shí)間對(duì)稱(chēng)性，而屬于一種內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性。

在宏觀物理范圍，內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性常常具有很強(qiáng)的直觀性。在微觀物理范圍，內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性的直觀性減弱，但可以用直觀的經(jīng)驗(yàn)和已知的物理圖像進(jìn)行想象、類(lèi)比和引申。內(nèi)部空間和一些內(nèi)部特征量就是這種類(lèi)比引申的結(jié)果。

微觀粒子的自旋就是一個(gè)內(nèi)部特征量。人們把自旋看作微觀粒子自身固有的角動(dòng)量，并將這種角動(dòng)量想象成是由粒子某種內(nèi)部運(yùn)動(dòng)引起的。但描述這種運(yùn)動(dòng)是在帶有時(shí)間和空間坐標(biāo)的普通空間里進(jìn)行的，這與以后發(fā)現(xiàn)的一些內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性所在的假想空間不一樣。

同位旋對(duì)稱(chēng)性，就是出現(xiàn)在一個(gè)假想的同位旋空間，在這個(gè)空間具有轉(zhuǎn)動(dòng)不變性。

1936年，卡森和康登明確提出同位旋概念。中子和質(zhì)子的自旋、宇稱(chēng)都相同，質(zhì)量相仿，只有電荷的差別。因此，人們?cè)噲D把這兩種粒子看作是同一粒子在某個(gè)內(nèi)部空間中存在的兩種狀態(tài)。這個(gè)內(nèi)部空間就是同位旋空間，核子在該假想空間轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量叫同位旋，質(zhì)子和中子是該空間的一個(gè)二重態(tài)。

在此空間作旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，使核子的兩種狀態(tài)互相變換，但核力不變。核力的轉(zhuǎn)動(dòng)不變性就是核子的同位旋對(duì)稱(chēng)性。核子的兩個(gè)狀態(tài)即質(zhì)子和中子的區(qū)別僅在于它們的同位旋取向不同。

現(xiàn)代物理學(xué)家還預(yù)言了很多反映微觀世界特性的內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性的存在。實(shí)際上各種內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性，都可以概括地稱(chēng)為規(guī)范不變性。

規(guī)范變換有兩類(lèi)：一類(lèi)是變換時(shí)不涉及時(shí)空點(diǎn)，稱(chēng)作整體規(guī)范變換；另一類(lèi)是變換時(shí)依賴(lài)時(shí)空點(diǎn)，稱(chēng)作定域規(guī)范變換。相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性分別為整體規(guī)范對(duì)稱(chēng)性和定域規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。將整體規(guī)范對(duì)稱(chēng)性擴(kuò)充到定域規(guī)范對(duì)稱(chēng)性時(shí)，要引進(jìn)規(guī)范粒子，相應(yīng)的場(chǎng)叫規(guī)范場(chǎng)。人們認(rèn)識(shí)最早的規(guī)范粒子和規(guī)范場(chǎng)是光子和電磁場(chǎng)。人們所認(rèn)識(shí)的規(guī)范對(duì)稱(chēng)性有電荷規(guī)范對(duì)稱(chēng)性、重子規(guī)范對(duì)稱(chēng)性、輕子規(guī)范對(duì)稱(chēng)性、正反粒子共軛對(duì)稱(chēng)性等等。

正反粒子共軛變換是一種分立變換，稱(chēng)為C變換，也叫電荷共軛變換，指的是粒子和反粒子的相互變換。

表征C變換的特征量叫C宇稱(chēng)，與空間反射變換的宇稱(chēng)一樣也只有正負(fù)之分。把C變換、P變換（空間反射）和T變換（時(shí)間反演）三種分立變換聯(lián)合起來(lái)的變換叫CPT變換。CPT不變性是一個(gè)非常普遍而完美的對(duì)稱(chēng)性，它能告訴我們很多有用的東西。

例如，通過(guò)它能導(dǎo)出正反粒子的下述關(guān)系：相同的質(zhì)量、相同的壽命、等值反號(hào)的電荷，等等。人們公認(rèn)，CPT對(duì)稱(chēng)性是自然界一個(gè)十分精確的對(duì)稱(chēng)性。

把內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性和時(shí)空對(duì)稱(chēng)性結(jié)合在一起的廣義對(duì)稱(chēng)性叫做超對(duì)稱(chēng)性，體現(xiàn)這種對(duì)稱(chēng)性的變換稱(chēng)為超規(guī)范變換，相應(yīng)的假想空間叫超空間。

這種對(duì)稱(chēng)性是將費(fèi)米子（自旋為半整數(shù)的粒子）和玻色子（自旋為整數(shù)的粒子）互相變換的對(duì)稱(chēng)性。像質(zhì)子和中子是同位旋空間的二重態(tài)一樣，費(fèi)米子和玻色子則是超空間的一個(gè)超多重態(tài)。

超對(duì)稱(chēng)變換則將超多重態(tài)中的各個(gè)狀態(tài)互換，從而將費(fèi)米子和玻色子互換。將超對(duì)稱(chēng)性用于統(tǒng)一描述強(qiáng)力、弱力和電磁力的理論叫超對(duì)稱(chēng)大統(tǒng)一理論。將超對(duì)稱(chēng)性用于弦理論，就是所謂的超弦理論。在普通的粒子場(chǎng)論中，粒子是當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)來(lái)描述的。而在超弦理論中，認(rèn)為粒子是長(zhǎng)約10-33厘米的弦，弦的一種振動(dòng)方式對(duì)應(yīng)一種粒子。超弦理論有可能解釋包括引力在內(nèi)的所有自然力。

3.2對(duì)稱(chēng)性與守恒定律物理定律的對(duì)稱(chēng)性

人們?cè)谑煜?duì)稱(chēng)性概念以后，則希望搞清對(duì)稱(chēng)性和自然規(guī)律的內(nèi)在關(guān)系。在物理學(xué)中，具有更深刻意義的是物理定律的對(duì)稱(chēng)性。物理定律的對(duì)稱(chēng)性指的是經(jīng)過(guò)一定的對(duì)稱(chēng)變換或操作后，物理定律的形式保持不變（也叫做物理定律的不變性）。人們?cè)趯?duì)物理現(xiàn)象的研究中，逐漸發(fā)現(xiàn)物理學(xué)守恒定律與客觀世界的對(duì)稱(chēng)性有著密切的聯(lián)系。

內(nèi)特爾定理：

對(duì)應(yīng)于每一種對(duì)稱(chēng)性，必然對(duì)應(yīng)存在一條守恒定律；反之，對(duì)于每一個(gè)守恒定律，則有一個(gè)對(duì)稱(chēng)性。實(shí)際上，對(duì)稱(chēng)性和守恒定律是表達(dá)自然界圖景的兩種不同方式，它們共同豐富了人類(lèi)對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)。某一對(duì)稱(chēng)性必然導(dǎo)致系統(tǒng)的某一動(dòng)力學(xué)可觀察量的守恒性，每一個(gè)守恒定律都有一個(gè)在某個(gè)變換下保持不變的物理量即守恒量，找到了這些守恒量，能給人們?cè)谘芯课锢磉^(guò)程時(shí)帶來(lái)方便，使問(wèn)題的處理變得簡(jiǎn)單。

1.宏觀世界的守恒量

在宏觀世界，能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、質(zhì)量、電荷是守恒量，相應(yīng)的有能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律、質(zhì)量守恒定律、電荷守恒定律，下面簡(jiǎn)述它們對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性。（1）空間平移對(duì)稱(chēng)性與動(dòng)量守恒定律設(shè)想我們?cè)诳臻g某處做一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，然后將該套儀器連同影響該實(shí)驗(yàn)的一切外部因素平移到另一處。如果給以同樣的初始條件，實(shí)驗(yàn)將以同樣的方式進(jìn)行。這說(shuō)明物理定律沒(méi)有因平移而發(fā)生變化。這就是物理定律的空間平移對(duì)稱(chēng)性。

（2）時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性與能量守恒定律一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)，只要不改變實(shí)驗(yàn)條件和實(shí)驗(yàn)儀器，無(wú)論是過(guò)去、現(xiàn)在、還是將來(lái)都會(huì)得到相同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。也就是說(shuō)，當(dāng)把研究物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間起點(diǎn)進(jìn)行平移，物理規(guī)律的具體形式不會(huì)改變即物理規(guī)律對(duì)于時(shí)間平移變換具有不變性或?qū)ΨQ(chēng)性，而且由于平移任意的時(shí)間都是一樣的，所以這種對(duì)稱(chēng)性級(jí)次更高?？梢宰C明，時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性將導(dǎo)致能量守恒定律。

由于它表明空間各處對(duì)物理定律是一樣的，所以又叫做空間的均勻性?？梢宰C明空間的均勻性或空間平移對(duì)稱(chēng)性與動(dòng)量守恒定律是對(duì)應(yīng)的。

（3）空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性與角動(dòng)量守恒定律如果在空間某處做實(shí)驗(yàn)后，再把儀器連同影響實(shí)驗(yàn)的一切外部條件轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則在相同的初始條件下，實(shí)驗(yàn)也會(huì)以完全相同的方式進(jìn)行。這說(shuō)明物理定律沒(méi)有因轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生變化。這就是物理定律的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性，由于它表明空間各個(gè)方向?qū)ξ锢矶墒且粯拥?，所以又叫空間的各向同性。可以證明，空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性將導(dǎo)致角動(dòng)量守恒定律。

（4）洛倫茲對(duì)稱(chēng)性與質(zhì)量守恒定律

由相對(duì)論，物理定律對(duì)所有的慣性系是等價(jià)的，即物理定律在洛倫茲變換下形式保持不變。這種不變性叫洛倫茲不變性或?qū)ΨQ(chēng)性。由于這一變換可得到質(zhì)能關(guān)系E=mc2，因此從能量守恒必然得到質(zhì)量守恒，于是洛倫茲對(duì)稱(chēng)性對(duì)應(yīng)于質(zhì)量守恒定律。此外，還存在著一種對(duì)稱(chēng)性叫電磁場(chǎng)（量子化的）規(guī)范對(duì)稱(chēng)性或不變性，它與電荷守恒定律有對(duì)應(yīng)關(guān)系

2.微觀世界的守恒量

能量守恒、動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒定律在微觀世界也普遍適應(yīng)。微觀系統(tǒng)也有空間平移對(duì)稱(chēng)性，從而導(dǎo)致動(dòng)量守恒。例如，一個(gè)粒子發(fā)生衰變或兩個(gè)粒子發(fā)生散射（或碰撞），前后總動(dòng)量不變。微觀粒子的時(shí)間平移對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致能量守恒，即反應(yīng)前后總能量相等，如核反應(yīng)、光電效應(yīng)等。微觀粒子系統(tǒng)的空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒，如K+→

+

0，由于K+角動(dòng)量為0，

+

0系統(tǒng)角動(dòng)量也為0。

在微觀世界，能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、電荷等是經(jīng)典物理中已經(jīng)熟知的守恒量。另外還出現(xiàn)了許多新的守恒量，如同位旋、輕子數(shù)、重子數(shù)、宇稱(chēng)等等，這些都沒(méi)有經(jīng)典對(duì)應(yīng)的守恒量，相應(yīng)的守恒定律對(duì)應(yīng)各種規(guī)范對(duì)稱(chēng)性或內(nèi)部對(duì)稱(chēng)性，這里不作詳細(xì)敘述。值得注意的是，有的守恒定律在對(duì)各種相互作用下都成立，但有的守恒定律對(duì)某些相互作用成立，而對(duì)另一些相互作用則不成立，如同位旋只在強(qiáng)相互作用下守恒；P宇稱(chēng)、C宇稱(chēng)在強(qiáng)相互作用和電磁作用下守恒，但在弱相互作用下可以不守恒。3.3宇稱(chēng)守恒與不守恒問(wèn)題

所謂宇稱(chēng)就是與空間反射或反演操作相對(duì)應(yīng)的守恒量。由于空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性的存在，三個(gè)坐標(biāo)軸同時(shí)反向的空間反演和一個(gè)坐標(biāo)軸反向的空間反射實(shí)際上是等價(jià)的?？梢哉f(shuō)宇稱(chēng)即是鏡像操作性質(zhì)的物理量。

對(duì)于某一狀態(tài)的系統(tǒng)的鏡像和它本身的關(guān)系只可能有兩種情況。一種是它的鏡像和它本身完全一樣，例如一個(gè)正放的圓筒狀杯子和它的鏡像的關(guān)系就是如此（如圖），我們說(shuō)它具有偶宇稱(chēng)或正宇稱(chēng)（實(shí)際上指粒子處于某一狀態(tài)）。

另一種情況是系統(tǒng)和它的鏡像有左右之分，因而不能完全重合，右手的鏡像成為左手就是這種情況。又如一座時(shí)鐘與它的鏡像，雖然形狀完全相同，但指針的走動(dòng)方向正好反過(guò)來(lái)（如圖）。我們說(shuō)這樣的系統(tǒng)具有奇宇稱(chēng)或負(fù)宇稱(chēng)（實(shí)際上也是指粒子處于某一狀態(tài)）。

用符號(hào)P表示鏡像反射操作，由于連續(xù)兩次鏡像反射操作物體不變即P2=1，宇稱(chēng)的數(shù)值只能為+1和-1，偶宇稱(chēng)規(guī)定為+1，奇宇稱(chēng)規(guī)定為-1。宇稱(chēng)具有可乘性而不是可加性。在量子力學(xué)中，如果描述系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)ψ（x）在空間反演下不變即Pψ(x)=ψ(-x)=ψ(x),或Pψ(x)=ψ(x)(如ψ(x)=cosx),則系統(tǒng)處于宇稱(chēng)值為+1的狀態(tài)或偶（正）宇稱(chēng)狀態(tài)。如果ψ（x）在空間反演下變號(hào)即Pψ(x)=ψ(-x)=-ψ(x)或Pψ(x)=-ψ(x)(如ψ（x）=sinx),則系統(tǒng)處于奇（負(fù)）宇稱(chēng)狀態(tài)。

若一個(gè)粒子的軌道宇稱(chēng)和內(nèi)稟宇稱(chēng)都是偶函數(shù)（正宇稱(chēng)）或都是奇函數(shù)（負(fù)宇稱(chēng)），相乘以后的總宇稱(chēng)為正宇稱(chēng)。若一個(gè)為正宇稱(chēng)，而另一個(gè)為負(fù)宇稱(chēng)，則相乘以后的總宇稱(chēng)為負(fù)宇稱(chēng)。

在宏觀范圍內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律雖然有很好的左右對(duì)稱(chēng)性，但這種對(duì)稱(chēng)性并不對(duì)應(yīng)存在守恒定律。

在微觀范圍內(nèi)如果粒子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有左右對(duì)稱(chēng)性，則對(duì)應(yīng)存在P宇稱(chēng)守恒定律，這時(shí)系統(tǒng)的P宇稱(chēng)將在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持為+1或-1。與正反粒子變換（C變換）對(duì)應(yīng)的C宇稱(chēng)也是如此。

在沒(méi)有外來(lái)影響的條件下，不論發(fā)生如何劇烈的變化，粒子系統(tǒng)的總宇稱(chēng)在相互作用過(guò)程中保持不變，這一規(guī)律稱(chēng)為宇稱(chēng)守恒定律。

宇稱(chēng)守恒定律曾經(jīng)被人們認(rèn)為是自然界一條普遍規(guī)律。在量子力學(xué)中能夠形成宇稱(chēng)守恒定律，這是因?yàn)槲锢矶梢恢憋@示出左右之間的完全對(duì)稱(chēng)性。也就是說(shuō)，物理規(guī)律對(duì)于實(shí)物和它的鏡像是一致的，我們無(wú)法用規(guī)律本身來(lái)判斷過(guò)程所進(jìn)行的是物還是像。

1956年前后，粒子物理實(shí)驗(yàn)中遇到了一個(gè)所謂“θ—τ”疑難：實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了兩種質(zhì)量、壽命和電荷都相同的θ粒子和τ粒子，τ衰變成3個(gè)

介子，而θ衰變成2個(gè)

介子，

介子的宇稱(chēng)為-1，這樣τ的總宇稱(chēng)應(yīng)為負(fù)，θ的總宇稱(chēng)應(yīng)為正。

因此，從質(zhì)量、壽命和電荷等性質(zhì)相同來(lái)看，它們應(yīng)該是以?xún)煞N不同方式衰變的同一種粒子，但如果宇稱(chēng)是守恒量，則它們就不可能是同一種粒子。

李政道和楊振寧指出這個(gè)疑難的關(guān)鍵在于認(rèn)為微觀粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中宇稱(chēng)守恒。他們認(rèn)為θ介子和τ介子是同一種粒子而懷疑宇稱(chēng)守恒定律的正確性，指出在強(qiáng)相互作用和電磁相互作用過(guò)程中宇稱(chēng)守恒有實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，而弱相互作用過(guò)程中宇稱(chēng)守恒并無(wú)實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，進(jìn)而得出弱相互作用過(guò)程中宇稱(chēng)可能不守恒的結(jié)論。

他們建議通過(guò)鈷-60的衰變實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。1957年，吳健雄精確地進(jìn)行了這一實(shí)驗(yàn)，以確鑿的證據(jù)證明了李政道和楊振寧所得結(jié)論(弱相互作用過(guò)程中宇稱(chēng)可能不守恒)的正確性。這里的另一個(gè)結(jié)論是θ介子和τ介子被認(rèn)為是同一種粒子,現(xiàn)在通常稱(chēng)為K介子。

弱相互作用宇稱(chēng)不守恒問(wèn)題告訴我們，各種守恒定律的適應(yīng)范圍是不同的，有些守恒定律在任何過(guò)程中都是“絕對(duì)”成立的，如動(dòng)量守恒、角動(dòng)量守恒、能量守恒等；而有些守恒定律則有局限性，只適應(yīng)于某些過(guò)程，如P宇稱(chēng)在強(qiáng)相互作用和電磁相互作用過(guò)程中守恒，但在弱相互作用過(guò)程中不守恒。

理論上還可以證明,如果運(yùn)動(dòng)規(guī)律在空間反射P變換下不變,則在正反粒子C變換下也是不變的,并且在時(shí)間反演T變換下也是不變的.

在李政道和楊振寧發(fā)現(xiàn)弱相互作用中宇稱(chēng)可以不守恒以后,物理學(xué)家很快就確認(rèn)了弱相互作用的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在C變換下不再保持不變（C宇稱(chēng)不守恒）,但在C、P聯(lián)合變換下仍然是不變的（CP宇稱(chēng)在弱相互作用下守恒）。后來(lái)進(jìn)一步研究表明，弱相互作用下CP宇稱(chēng)仍然有約千分之二不守恒，其機(jī)理尚不清楚，一直是物理理論研究的重要課題之一。

弱相互作用下宇稱(chēng)不守恒的性質(zhì)表明，空間左右并不是那么對(duì)稱(chēng)，但這種不對(duì)稱(chēng)并不那樣明顯，只有在微觀領(lǐng)域的弱相互作用過(guò)程中才能被觀察到，而在強(qiáng)相互作用、電磁相互作用、引力相互作用中，我們無(wú)法察覺(jué)到空間左右的不對(duì)稱(chēng)，其宇稱(chēng)是守恒的。

3.4對(duì)稱(chēng)性思想在物理學(xué)發(fā)展中的重要作用

對(duì)稱(chēng)性與物理守恒定律之間的關(guān)系直到20世紀(jì)20年代才被物理學(xué)家逐漸意識(shí)到，這是因?yàn)檫@種關(guān)系在經(jīng)典物理學(xué)中沒(méi)能顯示出其重要性。只是在量子力學(xué)建立以后，這種重要性才表現(xiàn)出來(lái)。物理學(xué)中有許多定律、定理有層次高低之分。如胡克定律、歐姆定律是較低層次規(guī)律，適應(yīng)范圍有限。

更高層次的更基本的規(guī)律是適應(yīng)整個(gè)經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律、適應(yīng)整個(gè)電磁學(xué)的麥克斯韋方程組等，而對(duì)稱(chēng)性則是比這些基本規(guī)律層次更高的法則。尤其是粒子物理學(xué)家則能運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性思想，去尋求未知世界的基本規(guī)律。

對(duì)稱(chēng)性思想曾在物理學(xué)的發(fā)展中起著非常重要的作用。譬如，奧斯特在發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)后，一些物理學(xué)家根據(jù)對(duì)稱(chēng)性立刻意識(shí)到磁也能夠生電(如電磁感應(yīng))。

麥克斯韋發(fā)現(xiàn)變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)，他又基于對(duì)稱(chēng)性思想很快發(fā)現(xiàn)了變化的電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)，完整對(duì)稱(chēng)的電磁理論由此建立。愛(ài)因斯坦基于對(duì)稱(chēng)性思想，建立了光的波粒二像性概念，解釋了光電效應(yīng)。德布羅意根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，提出了實(shí)物粒子波粒二像性假設(shè)，為量子力學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性思想推測(cè)未知的東西是物理學(xué)家探索自然界的一種重要方法。

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，元素周期表不僅能將已知元素安放到適當(dāng)?shù)奈恢?，還能預(yù)言表中空位的未知元素的存在。狄拉克根據(jù)數(shù)學(xué)方程的對(duì)稱(chēng)性預(yù)言了正電子的存在。蓋爾曼和茲韋克利用對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造了夸克模型。

總之，對(duì)稱(chēng)性概念已在現(xiàn)代物理理論中占據(jù)了支配地位，并對(duì)探索未知的物理規(guī)律和現(xiàn)象起著非常重要的作用，對(duì)稱(chēng)性已成為現(xiàn)代物理最重要的指導(dǎo)思想和最基本的工作語(yǔ)言。

3.5自然界的不對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象

弱相互作用下宇稱(chēng)不守恒是物理規(guī)律不對(duì)稱(chēng)的表現(xiàn)。自然界是近乎對(duì)稱(chēng)的，但也存在著許多不對(duì)稱(chēng)的事物和現(xiàn)象。有很多例子可以說(shuō)明這一點(diǎn)?，F(xiàn)代科學(xué)揭示，自然界對(duì)于手性是不對(duì)稱(chēng)的。手性是指分左手和右手的基本特征或左手與右手的差異特征。自然界通常顯示對(duì)其中一種手性的偏愛(ài)。如貝殼一般偏愛(ài)一個(gè)方向的螺旋性。

動(dòng)物和植物的外觀看起來(lái)左右對(duì)稱(chēng)，但構(gòu)成它們的蛋白分子卻只有“左”的一種，蛋白質(zhì)中每種氨基酸都有兩種互為鏡像的異構(gòu)體，人工合成的氨基酸左右型各占一半，但自然界生物體內(nèi)的蛋白質(zhì)幾乎都由左型氨基酸組成，只選擇左右化合物中的一半。

人體體內(nèi)的心臟左側(cè),肝臟右側(cè)。人的右手相對(duì)于左手的優(yōu)勢(shì)是一種普遍現(xiàn)象。

藤本植物的莖是右手性的（纏繞方向），少量是左手性的。

左型谷氨酸納可做味精，但右型對(duì)映體幾乎無(wú)味。生物界的這些不對(duì)稱(chēng)性的存在，至今還是一個(gè)難解的迷。

圓是完美而對(duì)稱(chēng)的。然而天體的運(yùn)行軌道卻是橢圓，其對(duì)稱(chēng)性發(fā)生了偏離。行星的公轉(zhuǎn)方向、行星的自轉(zhuǎn)方向、月球的公轉(zhuǎn)方向都自西向東。

核子之間有著一種核力的對(duì)稱(chēng)性，我們可以交換中子和質(zhì)子，但是在考慮電磁力時(shí)，中子和質(zhì)子就不可以交換了。只是因?yàn)楹肆h(yuǎn)比電磁力強(qiáng)時(shí)，才可以用中子來(lái)代換質(zhì)子，所以核子狀態(tài)也只是一種幾乎對(duì)稱(chēng)的情況。

目前所觀察的實(shí)物世界是由質(zhì)子、中子、電子構(gòu)成的。按照狄拉克理論，每種粒子都應(yīng)存在著自己的反粒子，而且各種反粒子的存在已被實(shí)驗(yàn)證實(shí)，應(yīng)該說(shuō)自然界的粒子數(shù)與反粒子數(shù)一樣多，在宇宙中應(yīng)該存在反物質(zhì)天體。

但到目前為止，還沒(méi)有證實(shí)宇宙有反物質(zhì)天體存在。有人把它歸結(jié)于宇宙大爆炸初期的某種機(jī)遇，但至今沒(méi)有令人完全信服的解釋。我們?nèi)粘Ｋ?jiàn)到的自然過(guò)程都是不可逆的，人不能返老還童，破鏡子不能重圓，也就是說(shuō)自然過(guò)程沒(méi)有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性。

因此，對(duì)稱(chēng)雖然是大自然的一個(gè)基本特征，但并非十全十美的對(duì)稱(chēng)。

3.6對(duì)稱(chēng)性破缺

若系統(tǒng)的某一特征在經(jīng)歷一個(gè)變換下不再保持不變，則稱(chēng)其對(duì)稱(chēng)性遭到破壞即所謂對(duì)稱(chēng)性破缺。一般而言，我們把系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性降低的現(xiàn)象叫做對(duì)稱(chēng)性破缺。例如，設(shè)想一塊質(zhì)地、色澤均勻的白板且足夠大，在視界內(nèi)看不到它的邊緣。這樣，無(wú)論它沿平行于板的任何方向平移或繞垂直于板的軸旋轉(zhuǎn)，我們都無(wú)法察覺(jué)它的運(yùn)動(dòng)，因而具有平移和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性。

但如果在其上某處標(biāo)記一黑點(diǎn)，它的平移就變得可觀察了；若黑點(diǎn)不在旋轉(zhuǎn)軸上，它的旋轉(zhuǎn)也能被觀察到。這就是說(shuō),上述平移和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性出現(xiàn)了破缺。還有:附有標(biāo)記的圓是無(wú)標(biāo)記的圓的對(duì)稱(chēng)性破缺，橢圓是圓的對(duì)稱(chēng)性破缺，固態(tài)是液態(tài)的對(duì)稱(chēng)性破缺，非均勻場(chǎng)是均勻場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性破缺，非平衡態(tài)是平衡態(tài)的對(duì)稱(chēng)性破缺等等。

對(duì)稱(chēng)性破缺的重要特征是出現(xiàn)新的可觀察現(xiàn)象或物理量。也就是說(shuō)，對(duì)稱(chēng)性破缺是系統(tǒng)的特征在某種變換中的不變性遭到破壞。系統(tǒng)的可觀察性越強(qiáng)，其對(duì)稱(chēng)性越低，對(duì)稱(chēng)性破缺程度越大。

對(duì)稱(chēng)性是某種變換的不變性，它植根于一些物理量不可觀測(cè)（或不可區(qū)分）的假設(shè)，某種對(duì)稱(chēng)性或不可觀測(cè)量存在意味著出現(xiàn)某個(gè)守恒定律，守恒定律的失效必定有某種對(duì)稱(chēng)性的破缺。

如弱相互作用下宇稱(chēng)不守恒，意味著此時(shí)空間左右對(duì)稱(chēng)性破缺，原來(lái)在強(qiáng)相互作用和電磁相互作用下的粒子狀態(tài)“左右”不可分辨，而在弱相互作用下的“左右”便可觀測(cè)了。所以，一旦一個(gè)不可觀測(cè)量變成實(shí)際上可觀測(cè)量，就產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)性破缺。

自然界的演化過(guò)程也是對(duì)稱(chēng)性不斷自發(fā)發(fā)生破缺的過(guò)程。在宇宙大爆炸之前，宇宙處于非常高的總對(duì)稱(chēng)性之中，狀態(tài)非常單一，而大爆炸相當(dāng)于一次宇宙相變，使總對(duì)稱(chēng)性發(fā)生破缺。

以后陸續(xù)出現(xiàn)一系列相變或?qū)ΨQ(chēng)性破缺，四種相互作用—引力、強(qiáng)力、電磁力和弱力相繼分化，宇宙由相對(duì)較高的對(duì)稱(chēng)性向相對(duì)較低的對(duì)稱(chēng)性變化。基本粒子可分辨，物質(zhì)從輻射背景中退耦，原子分子的形成，星系和恒星的形成演化，生命的出現(xiàn)與進(jìn)化，以致出現(xiàn)千差萬(wàn)別、豐富多彩的現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界，正是各種對(duì)稱(chēng)性破缺的表現(xiàn)。

在演化的過(guò)程中，看到的是對(duì)稱(chēng)性越來(lái)越低、狀態(tài)越來(lái)越復(fù)雜多樣的世界。總體上看，每個(gè)層次較高的物質(zhì)形態(tài)在對(duì)稱(chēng)性上總是低于其較低物質(zhì)層次的對(duì)稱(chēng)性，如分子的對(duì)稱(chēng)性低于原子的對(duì)稱(chēng)性。盡管如此，各種各樣的對(duì)稱(chēng)性仍然是大千世界的基本圖景。

對(duì)稱(chēng)性破缺在凝聚態(tài)物理學(xué)中占有極為重要的地位，是研究物質(zhì)相變的基礎(chǔ)。

固體和液體是由大量的物質(zhì)分子構(gòu)成的緊密聚集態(tài)即凝聚態(tài)。凝聚態(tài)物理學(xué)就是從微觀角度出發(fā)，研究凝聚態(tài)物質(zhì)的結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)過(guò)程及其與宏觀物理性質(zhì)之間的學(xué)科。高溫下的物質(zhì)系統(tǒng)通常是氣態(tài)。在更高的溫度下，分子將分解，原子將電離，物質(zhì)分布呈現(xiàn)均勻性和各向同性,具有高對(duì)稱(chēng)性。高對(duì)稱(chēng)性中某一因素的突然消失，就對(duì)應(yīng)于一種相變發(fā)生，而導(dǎo)致低對(duì)稱(chēng)性相的出現(xiàn)。對(duì)稱(chēng)性破缺意味著更有序的低溫相的出現(xiàn)。

在凝聚態(tài)物理的研究對(duì)象中的對(duì)稱(chēng)性破缺的事例很多。如空間反演對(duì)稱(chēng)性破缺，導(dǎo)致非極性晶體變成極性晶體（鐵電體、反鐵電體）；時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性破缺，產(chǎn)生磁有序結(jié)構(gòu)（鐵磁體、反鐵磁體）；規(guī)范對(duì)稱(chēng)性破缺，產(chǎn)生超流體、超導(dǎo)體；空間平移對(duì)稱(chēng)性部分破缺導(dǎo)致液體變成更有序的晶體；

物質(zhì)世界為什么會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺？李政道認(rèn)為“失蹤的對(duì)稱(chēng)性之謎暗示一定存在一類(lèi)新型力—對(duì)稱(chēng)破缺力，這種力可能影響所有的相互作用”，有人提出所謂希格斯機(jī)制，進(jìn)而研究對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺問(wèn)題。但目前尚未找到希格斯粒子，對(duì)稱(chēng)性自發(fā)破缺與夸克禁閉一道成了當(dāng)今物理學(xué)面臨的兩大難題。

旋轉(zhuǎn)與平移對(duì)稱(chēng)性破缺導(dǎo)致正常液體變成液晶等?？梢哉f(shuō)，千姿百態(tài)的凝聚態(tài)物質(zhì)世界都是對(duì)稱(chēng)性破缺的產(chǎn)物。

3.7物質(zhì)世界的自相似分形

自然界存在大量用傳統(tǒng)幾何方法無(wú)法準(zhǔn)確描述的復(fù)雜圖形，他們不同于矩形、三角形、直線、圓等規(guī)則幾何圖形，如起伏的山脈、變幻的云朵、彎曲的海岸線、閃電的路徑、枝繁葉茂的大樹(shù)等。從整體上看，它們的幾何圖形看似混亂和不規(guī)則。但從不同尺度上看，卻蘊(yùn)含著豐富有趣的規(guī)則性。這種規(guī)則性的表現(xiàn)是，從整體到局部的各個(gè)層次上具有自相似結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)一個(gè)幾何花樣的內(nèi)部還有更小的同樣的花樣，存在不同尺度的自我復(fù)制。

自相似結(jié)構(gòu)具有標(biāo)度變換不變性或?qū)ΨQ(chēng)性，是空間有規(guī)律的結(jié)構(gòu)的一種（與前述空間對(duì)稱(chēng)性不同），是跨越尺度的對(duì)稱(chēng)性。所謂標(biāo)度變換，就是放大或縮小。如果形體經(jīng)放大和縮小后不發(fā)生改變，就說(shuō)它具有標(biāo)度不變性或?qū)ΨQ(chēng)性。海洋中有一種動(dòng)物叫鸚鵡螺，其美麗的外殼上有一條曲線（極坐標(biāo)方程r=aeθ,叫對(duì)數(shù)螺線），該曲線就具有標(biāo)度不變性（圖）。

整個(gè)圖形放大或縮小時(shí)，只需轉(zhuǎn)過(guò)一定角度就與原圖重合。例如對(duì)數(shù)螺線：位矢與切線間的夾角保持恒定絕緣體電擊穿時(shí)的電子路徑曼德耳布羅特的支氣管樹(shù)模型向日葵花上的對(duì)數(shù)螺線

局部與整體具有某種形式的相似，或者說(shuō)標(biāo)度變換下具有相似性的幾何形體叫做分形（fractal）。分形就意味著自相似。所謂自相似，是指圖形的一部分按一定尺度放大后，又會(huì)得到圖形自身（可能是準(zhǔn)確的，也可能是近似的）。當(dāng)用不同倍數(shù)的相機(jī)拍攝圖形時(shí)，不管放大倍數(shù)如何改變，看到的相片都是相似的（統(tǒng)計(jì)意上），而且從相片上無(wú)法判斷所用相機(jī)的倍數(shù)。

例如，一棵大樹(shù)由主干及一些從主干上分叉長(zhǎng)出的樹(shù)枝組成。再看樹(shù)枝也是由一枝干和從枝干上分叉出來(lái)的更小的枝條組成，其構(gòu)成形式與一棵大樹(shù)完全相似。再觀察細(xì)枝條，又在更小的層次上具有大樹(shù)的構(gòu)成特點(diǎn)。再觀察樹(shù)葉的葉脈，也可發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的自相似結(jié)構(gòu)。當(dāng)然，這只能在一定的尺度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出自相似性，不會(huì)無(wú)限擴(kuò)展下去。

又如，海岸線也具有分形或自相似特征。從飛機(jī)上俯視海岸線，會(huì)發(fā)現(xiàn)它不是光滑的曲線，而是由許多半島和港灣組成。隨著觀察高度的降低（相當(dāng)于放大），可發(fā)現(xiàn)原來(lái)的半島和港灣又是由很多較小的半島和港灣構(gòu)成的。當(dāng)我們沿著海岸線步行時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)數(shù)更小更小的“半島”和“港灣”，海岸線的自相似結(jié)構(gòu)十分典型。

在自然界，自相似對(duì)象隨處可見(jiàn)，蕨類(lèi)植物、云朵形狀、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分布、視網(wǎng)膜血管分布、植物根系、灰塵微粒集團(tuán)、閃電軌跡、布朗運(yùn)動(dòng)軌跡、遺傳基因，晶體生長(zhǎng)形態(tài)、固體團(tuán)簇的生長(zhǎng)、細(xì)菌群落的生長(zhǎng)、星系等等，都具有自相似結(jié)構(gòu)。

分形的幾何特性與規(guī)則圖形的幾何特性有何本質(zhì)差別？分形的標(biāo)度對(duì)稱(chēng)性的不變量是什么？分形維數(shù)就是刻畫(huà)分形特征的量，也是標(biāo)度對(duì)稱(chēng)性的不變量。我們知道，線段是1維的，面是2維的，體是3維的，都是整數(shù)維。線段的長(zhǎng)度是一定的，與用什么尺來(lái)量度無(wú)關(guān)。例如，一米長(zhǎng)的線段用米尺量只有一段即一米，用厘米尺去量度有一百段，也是一米。

然而象海岸線這樣的分形體，用不同的尺去量度，情況卻不同。例如用一公里長(zhǎng)的尺量度中國(guó)的海岸線，有近2萬(wàn)公里，此時(shí)一些小港灣被忽略了；如用米尺去量度，小港灣則不能忽略，甚至一些大的礁石也不能忽略，測(cè)出的海岸線就會(huì)長(zhǎng)一些；若用厘米尺去量，礁石上的凹凸不平也要考慮，測(cè)出的海岸線長(zhǎng)度會(huì)大大增加。所以海岸線的幾何特性將不同于一般的線段。

對(duì)于長(zhǎng)為L(zhǎng)的線段，用長(zhǎng)為a的尺去量，有N尺，N=L/a。對(duì)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，需要用邊長(zhǎng)為a的N個(gè)小正方形去覆蓋，N=(L/a)2。邊長(zhǎng)L的立方體需N個(gè)邊長(zhǎng)為a的N個(gè)小立方體去填滿，N=(L/a)3。對(duì)于D維的幾何體，一般有N=(L/a)D。因此定義維數(shù)：

D=lnN/ln(L/a)D=lnN/ln(L/a)

下面用上式求一種類(lèi)似海岸線的Koch曲線的維數(shù)。先從一單位線段開(kāi)始,截去中間的1/3,代之以?xún)蓚€(gè)1/3