流體力學(xué)-3-1-3-2擴(kuò)散方程及其基本解

第二部分水流運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律第三部分流體中物質(zhì)輸運(yùn)的基本理論及解析解分子擴(kuò)散第五部分射流、羽流及浮射流第六部分水質(zhì)模擬第七部分?jǐn)?shù)值模擬方法基礎(chǔ)第一部分緒論紊動(dòng)擴(kuò)散剪切流離散第四部分污染物在河流中的擴(kuò)散與混合移流擴(kuò)散前面所討論的基本方程（連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、能量方程）反映了質(zhì)量、動(dòng)量、能量在流體中的“輸運(yùn)”過程。實(shí)際上就是在流體運(yùn)動(dòng)過程中，流體挾帶其自身所具有的質(zhì)量、動(dòng)量和能量，由一處輸運(yùn)到另一處。這是一種完全由宏觀流動(dòng)所決定的隨流輸運(yùn)。質(zhì)量、動(dòng)量、能量的隨流輸運(yùn)分別和質(zhì)量守恒定律、牛頓第二定律和熱力學(xué)第一定律（能量守恒定律）相聯(lián)系。質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)還可以通過不同的物理機(jī)制，即通過分子運(yùn)動(dòng)和分子相互作用而輸運(yùn)的機(jī)制。這些輸運(yùn)有一個(gè)顯著的共同點(diǎn)，就是在宏觀上表現(xiàn)為：存在著濃度、溫度或動(dòng)量梯度，從而產(chǎn)生某種“驅(qū)動(dòng)力”，使質(zhì)量、熱量、動(dòng)量朝著濃度、溫度、動(dòng)量減小的方向輸運(yùn)。流體中質(zhì)量的分子輸運(yùn)現(xiàn)象又稱為質(zhì)量擴(kuò)散，以下討論的分子擴(kuò)散方程描述的是污染物在水中的分子輸運(yùn)現(xiàn)象。同時(shí)考慮污染物的分子輸運(yùn)和隨流輸運(yùn)，即可得到移流擴(kuò)散方程。流體中含有的污染物是示蹤質(zhì)，在擴(kuò)散和輸移過程中不發(fā)生化學(xué)或生化反應(yīng)，且其存在不改變流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)特性，即不影響流動(dòng)。整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，流體質(zhì)點(diǎn)帶有的示蹤質(zhì)在數(shù)量上是保持不變的，流體質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間不發(fā)生示蹤質(zhì)的轉(zhuǎn)移，示蹤質(zhì)的擴(kuò)散完全是由于帶有示蹤質(zhì)的流體發(fā)生摻混的結(jié)果。環(huán)境流體力學(xué)的遷移擴(kuò)散理論中有以下假定：因此對(duì)于不可壓縮流體，帶示蹤質(zhì)的流體質(zhì)點(diǎn)的總體積在擴(kuò)散過程中保持不變，其占據(jù)的空間范圍即其輪廓的形態(tài)則是隨時(shí)間變化的。注：由于擴(kuò)散質(zhì)的存在而對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生影響的情況在實(shí)際中是存在的，如熱污染的散布、海水和淡水的摻混等問題需要考慮流體密度變化的影響，更復(fù)雜的還牽涉到生化作用所產(chǎn)生物質(zhì)的發(fā)生與衰減。

第三部分(1)擴(kuò)散理論§2

分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，分子擴(kuò)散方程§3

移流擴(kuò)散方程§4

紊動(dòng)擴(kuò)散§1

幾個(gè)基本概念單位體積流體中含有物的質(zhì)量濃度工程中常用的濃度表示方法1千克水中含有1毫克含有物時(shí)，濃度為1ppm1千克水中含有1微克含有物時(shí)，濃度為1ppb常用單位：mg/L或g/L一般而言，水體中含有物的濃度是時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)§1.1濃度與稀釋度平均濃度時(shí)間平均濃度空間平均濃度流量平均濃度樣品組合平均濃度相對(duì)濃度P與稀釋度S若S=1，P=1，表明污水未得到任何稀釋若

，P=0，表明樣品中不含污水，為純凈水體把受納水體中原本已含有的某種物質(zhì)的濃度稱為背景濃度用Cs表示背景濃度，Cd表示排入污水中含有物的質(zhì)量濃度，則該物質(zhì)最終在受納水體中存在的實(shí)際濃度（質(zhì)量濃度）C:背景濃度

第三部分(1)擴(kuò)散理論§2

分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，分子擴(kuò)散方程§3

移流擴(kuò)散方程§4

紊動(dòng)擴(kuò)散§1

幾個(gè)基本概念§2分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，分子擴(kuò)散方程兩種不同物質(zhì)通過它們的分子運(yùn)動(dòng)而互相滲透的現(xiàn)象稱為分子擴(kuò)散。物質(zhì)的分子擴(kuò)散可以借助四種推動(dòng)力發(fā)生：濃度梯度、溫度梯度、壓力梯度或其他作用力梯度。由這些不同原因而引起的擴(kuò)散分別稱為：濃度擴(kuò)散、溫度擴(kuò)散、壓力擴(kuò)散和強(qiáng)制擴(kuò)散。實(shí)際問題中，污染物擴(kuò)散過程中分子擴(kuò)散所占的比重通常很小，就分子擴(kuò)散本身而言，除了微觀的化學(xué)與生物反應(yīng)外，在環(huán)境問題中并沒有直接的重要意義。但是在許多情況下，環(huán)境中的污染物擴(kuò)散與分子擴(kuò)散有類似之處，其研究可借用分子擴(kuò)散的基本思想。一、費(fèi)克（Fick)第一定律單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的溶質(zhì)量與溶質(zhì)濃度在該面法線方向上的梯度成正比，即式中：F—溶質(zhì)在

n

方向的單位擴(kuò)散量，kg/m2s；

D—溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)，隨溶質(zhì)與溶液種類和溫度、壓力而變化，單位為m2/s；

C—溶質(zhì)的濃度，kg/m3

；費(fèi)克第一定律該公式是一個(gè)梯度型的經(jīng)驗(yàn)公式，公式中負(fù)號(hào)表明溶質(zhì)擴(kuò)散的方向與濃度梯度的方向相反，即從濃度高處向濃度低處擴(kuò)散。

為建立污染物濃度隨時(shí)間和空間的關(guān)系式，在靜止流體中

設(shè)微元六面體邊長分別為dx，dy，dz，中心點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z）,單位擴(kuò)散量F在三個(gè)坐標(biāo)上的分量分別為Fx

，F(xiàn)y，F(xiàn)zx取微元六面體，分析污染物擴(kuò)散量的變化規(guī)律。yzoxyzdxdydz二、分子擴(kuò)散方程——費(fèi)克第二定律流出六面體污染物的擴(kuò)散量為

x方向流入與流出六面體污染物擴(kuò)散量的差值則為

首先分析dt

時(shí)間內(nèi)

x方向上污染物的擴(kuò)散量變化。

按泰勒級(jí)數(shù)展開得流入六面體污染物的擴(kuò)散量為同理

y方向流入與流出六面體污染物擴(kuò)散量的差值為

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，dt

時(shí)間內(nèi)進(jìn)出微元六面體污染物擴(kuò)散量之差的總和應(yīng)等于該時(shí)段內(nèi)六面體內(nèi)因濃度變化引起

的污染物的增量，即

z方向流入與流出六面體污染物擴(kuò)散量的差值為或者

上式可改寫為

由費(fèi)克第一定律若污染物擴(kuò)散為各向同性，即Dx=Dy=Dz=D，上式可改寫為或者

若擴(kuò)散發(fā)生在二維空間，擴(kuò)散方程可簡(jiǎn)化為或?qū)σ痪S擴(kuò)散，則有分子擴(kuò)散方程（費(fèi)克第二定律）或

第三部分(1)擴(kuò)散理論§2

分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，分子擴(kuò)散方程§3

移流擴(kuò)散方程§4

紊動(dòng)擴(kuò)散§1

幾個(gè)基本概念§3移流擴(kuò)散方程如果環(huán)境流體是流動(dòng)的，示蹤質(zhì)除因分子擴(kuò)散而發(fā)生遷移外，還會(huì)隨流體質(zhì)點(diǎn)一起流動(dòng)而產(chǎn)生遷移，這種隨流遷移現(xiàn)象稱為移流輸送（或隨流傳輸）。因此在流動(dòng)的流體中，示蹤質(zhì)濃度的變化要把分子擴(kuò)散和隨流傳輸兩部分都考慮在內(nèi)。假定分子擴(kuò)散傳輸和移流傳輸可以分別計(jì)算然后迭加：

上式中的第一項(xiàng)為移流輸送引起的污染物通量，第二項(xiàng)為分子擴(kuò)散引起的通量。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，從微元六面體流入流出的污染物質(zhì)量差應(yīng)等于相同時(shí)段內(nèi)六面體中污染物質(zhì)量的增量，參照分子擴(kuò)散的分析，得三維移流擴(kuò)散方程為

同理二維移流擴(kuò)散方程為

一維移流擴(kuò)散方程為

移流擴(kuò)散方程移流擴(kuò)散方程表達(dá)了在層流情況有分子擴(kuò)散作用下示蹤質(zhì)的濃度時(shí)空變化規(guī)律。

第三部分(1)擴(kuò)散理論§2

分子擴(kuò)散的費(fèi)克定律，分子擴(kuò)散方程§3

移流擴(kuò)散方程§4

紊動(dòng)擴(kuò)散§1

幾個(gè)基本概念在紊動(dòng)擴(kuò)散研究中，有拉格朗日法和歐拉法之分。實(shí)驗(yàn)證明，拉格朗日法擴(kuò)散方程形同分子擴(kuò)散，只需將分子擴(kuò)散系數(shù)D

換成紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)

E

即可。§4紊動(dòng)擴(kuò)散——紊流擴(kuò)散方程紊動(dòng)擴(kuò)散指紊流脈動(dòng)引起的物質(zhì)傳遞。實(shí)踐證明，紊動(dòng)引起的物質(zhì)擴(kuò)散遠(yuǎn)大于分子擴(kuò)散，因此在紊流條件下通常忽略分子擴(kuò)散的作用。本節(jié)僅討論歐拉法。分子擴(kuò)散方程表達(dá)的是靜止流體中示蹤質(zhì)的遷移規(guī)律；移流擴(kuò)散方程表達(dá)的是層流情況下示蹤質(zhì)的遷移規(guī)律（含分子擴(kuò)散）；而實(shí)際問題中的流動(dòng)通常是紊流，需要研究紊動(dòng)擴(kuò)散。一、概述未考慮流場(chǎng)和濃度場(chǎng)的脈動(dòng)，流動(dòng)僅限層流，前面討論過的移流擴(kuò)散方程在該層流移流擴(kuò)散方程的基礎(chǔ)上，考慮流場(chǎng)和速度場(chǎng)的脈動(dòng)，將方程轉(zhuǎn)化為適合紊流情況的移流擴(kuò)散方程——紊流擴(kuò)散方程。二、紊流擴(kuò)散方程推導(dǎo)根據(jù)紊流時(shí)均化理論：瞬時(shí)值等于時(shí)均值與脈動(dòng)值之和代入移流擴(kuò)散方程，并對(duì)方程取時(shí)均，可得紊流擴(kuò)散方程式中為時(shí)均運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的移流擴(kuò)散項(xiàng)，等項(xiàng)則為脈動(dòng)引起的的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)。雷諾時(shí)均法：紊流=時(shí)均流動(dòng)+脈動(dòng)附：雷諾時(shí)均法則運(yùn)算法則：設(shè)f，g為二隨機(jī)變量的瞬時(shí)值，為它們的時(shí)均值，為脈動(dòng)值，根據(jù)雷諾時(shí)均的定義可以得到以下時(shí)均法則：根據(jù)紊流時(shí)均化理論：瞬時(shí)值等于時(shí)均值與脈動(dòng)值之和代入移流擴(kuò)散方程，并對(duì)方程取時(shí)均，可得紊流擴(kuò)散方程式中為時(shí)均運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的移流擴(kuò)散項(xiàng)，等項(xiàng)則為脈動(dòng)引起的的紊動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)。對(duì)紊動(dòng)相關(guān)項(xiàng)需要進(jìn)行?；?，參照流體力學(xué)紊流理論

（Boussinesq假設(shè)），找出脈動(dòng)項(xiàng)與時(shí)均特性的聯(lián)系。式中Ex，Ey，Ez

為三個(gè)坐標(biāo)方向的紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)，通常為各采用比擬分子擴(kuò)散費(fèi)克定律的方法，即向異性，并且可能是空間坐標(biāo)的函數(shù)。將上述式代入紊流擴(kuò)散方程并略去分子擴(kuò)散項(xiàng)，得若只考慮一個(gè)方向的流動(dòng)，即ux=u，uy=uz=0，上式可為假定紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)均為常數(shù)，則有紊流擴(kuò)散方程紊流的移流擴(kuò)散方程與層流的移流擴(kuò)散方程相比，增加了由于脈動(dòng)而引起的擴(kuò)散項(xiàng)，其擴(kuò)散通量和紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)E密切相關(guān)。三、對(duì)紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)的幾點(diǎn)說明分子擴(kuò)散系數(shù)D是由物質(zhì)特性決定的一個(gè)系數(shù)，而紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)E和流場(chǎng)特性密切相關(guān)，主要取決于大尺度的渦旋運(yùn)動(dòng)。對(duì)于不同的擴(kuò)散質(zhì)，如動(dòng)量、能量、熱量和各種含有物質(zhì)，其擴(kuò)散系數(shù)是否相同？因?yàn)榧俣ㄔ跀U(kuò)散過程中，示蹤質(zhì)在質(zhì)點(diǎn)之間沒有任何轉(zhuǎn)移和交換，在此假設(shè)下，不論哪種示蹤質(zhì)，擴(kuò)散系數(shù)應(yīng)該是相等的。這種假說成為雷諾比擬。實(shí)際上，不同示蹤質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)是有一定差異的，與各種擴(kuò)散質(zhì)的特性有關(guān)。按已有研究，認(rèn)為熱量和含有物濃度的擴(kuò)散，其紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)是一樣的。分子擴(kuò)散方程（費(fèi)克第二定律）總結(jié)：描述污染物（示蹤質(zhì)）遷移規(guī)律的基本方程組1.污染物在靜止流體中發(fā)生分子擴(kuò)散層流移流擴(kuò)散方程2.污染物在層流中發(fā)生分子擴(kuò)散和隨流傳輸運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：總結(jié)：描述污染物（示蹤質(zhì)）遷移規(guī)律的基本方程組3.污染物在紊流中發(fā)生分子擴(kuò)散、隨流傳輸和紊動(dòng)擴(kuò)散連續(xù)方程：雷諾方程：紊流擴(kuò)散方程總結(jié)：描述污染物（示蹤質(zhì)）遷移規(guī)律的基本方程組嚴(yán)格來說，物質(zhì)擴(kuò)散方程應(yīng)和流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組（連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程）耦合求解包含濃度的所有基本量。在示蹤質(zhì)假定下，因?yàn)槭聚欃|(zhì)的存在不影響流場(chǎng)特性，因此可以將流場(chǎng)和濃度場(chǎng)分開求解，先由流動(dòng)基本方程組（連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程）求出流場(chǎng)，然后在已知流速分布的條件下求解擴(kuò)散方程?；痉匠探M由物質(zhì)擴(kuò)散方程和流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組（連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程）組成?；痉匠探M的求解方法概述本暫不討論流動(dòng)基本方程組（連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程）的求解問題，僅討論在已知流速分布的條件下擴(kuò)散方程的求解。對(duì)于靜止或均勻流動(dòng)中的擴(kuò)散問題，在一些簡(jiǎn)單情況下，可以求得解析解。①在靜止和均勻流動(dòng)中的擴(kuò)散擴(kuò)散方程的求解途徑②剪切流中的一維縱向離散將三維的擴(kuò)散方程通過積分簡(jiǎn)化成一維，采用過流斷面上的平均流速和平均濃度來計(jì)算，求得的解是斷面平均濃度沿縱向的分布，這方面工作已有較多研究成果，是目前解決實(shí)際問題的重要途徑。③剪切流中的二維離散將三維的擴(kuò)散方程通過積分簡(jiǎn)化成二維，采用垂線上的平均流速和平均濃度來計(jì)算，求得的解釋垂線平均濃度在平面上的分布。對(duì)于河流、湖泊、水庫中的污染物擴(kuò)散，由于受岸邊建筑物和地形的影響，一維簡(jiǎn)化不能滿足計(jì)算要求，需按二維離散分析。二維以上的計(jì)算通常都采用數(shù)值解法，針對(duì)通用微分方程編制計(jì)算程序進(jìn)行求解，常用有限差分法和有限元法。④數(shù)值解法擴(kuò)散方程的求解途徑⑤物理模型復(fù)雜邊界條件下的擴(kuò)散問題常采用縮尺物理模型進(jìn)行研究，通過實(shí)驗(yàn)量測(cè)流速和污染物濃度分布情況。⑥現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)在天然流場(chǎng)中進(jìn)行污染物濃度觀測(cè)，得到的資料最真實(shí)可靠。但是受條件限制，一般難以獲得全面系統(tǒng)的資料。比較常用的方法是利用現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)得到的資料來確定擴(kuò)散方程中的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，然后利用數(shù)學(xué)方法對(duì)擴(kuò)散方程進(jìn)行求解。

第三部分（2）擴(kuò)散方程的基本解§1

靜止流體中瞬時(shí)源和連續(xù)源的擴(kuò)散§2

移流擴(kuò)散方程的求解§3

均勻紊流中的擴(kuò)散§1靜止流體中瞬時(shí)源和連續(xù)源的擴(kuò)散分子擴(kuò)散方程（費(fèi)克第二定律）描述靜止流體中污染物擴(kuò)散的基本方程本節(jié)的主要任務(wù)就是討論不同具體情況下該方程的解析解，分別針對(duì)以下情況加以討論：靜止流體中的擴(kuò)散只有分子擴(kuò)散。點(diǎn)源擴(kuò)散（一維、二維、三維)分布源擴(kuò)散（一維、二維、三維）瞬時(shí)源連續(xù)源（一維、二維、三維）固體邊界的反射大氣中擴(kuò)散的逆溫層反射一側(cè)有邊界的情況兩側(cè)有邊界的情況有邊界反射情況的擴(kuò)散無限空間中的擴(kuò)散靜止流體中的擴(kuò)散問題一、瞬時(shí)源的擴(kuò)散1.點(diǎn)源（集中投入的情況）①瞬時(shí)點(diǎn)源一維擴(kuò)散取一水平放置的無限長水管，管徑較小，管中充滿水。在管中間斷面瞬時(shí)投放顏色水。假定顏色水在投放斷面上濃度均勻，密度與水相同。

取坐標(biāo)如圖，原點(diǎn)與投放斷面重合。

由于管壁的限制，顏色水沿管軸向兩端做一維擴(kuò)散。ox

采用量綱分析法探討濃度分布的組成。根據(jù)分析，任意根據(jù)量綱分析法，可得濃度與其相關(guān)量的函數(shù)關(guān)系為時(shí)刻在x

方向某一點(diǎn)濃度C與污染物投放質(zhì)量M、擴(kuò)散系數(shù)D、坐標(biāo)

x與時(shí)間

t

有關(guān)。在一維問題中，C

的量綱是[M/L]，該量等于由M、D、t

組合而成的量綱

對(duì)一維擴(kuò)散有令將上式分別對(duì)時(shí)間t和坐標(biāo)x

求導(dǎo)，即于是代入一維擴(kuò)散方程，得即

特解為此式的通解為解此常微分方程，得于是式中A

為積分常數(shù)。

將前式代入并積分

假定擴(kuò)散物質(zhì)質(zhì)量守恒，即任何時(shí)刻分布在擴(kuò)散空間內(nèi)可以證明兩邊比較得常數(shù)A=1。污染物總量保持不變，那么，于是上式可為

最終得瞬時(shí)點(diǎn)源一維擴(kuò)散方程的基本解為：利用此式可求出任何時(shí)刻沿

x

方向污染物的濃度。

顯然，此式為高斯分布的表達(dá)式。

若以時(shí)間t

為參量，則可畫出濃度C

沿x

軸的分布。

由圖中可見，隨著時(shí)間的增長，擴(kuò)散范圍變寬而峰值濃度變低。在t接近零時(shí)，峰值濃度最大。Coxt1t2t3t1＜t2＜t3為濃度分布函數(shù)的p

階濃度矩。如：

濃度分布特性

濃度分布曲線的許多特性常借助于濃度矩來說明。

定義

零階濃度矩

一階濃度矩

二階濃度矩

三階濃度矩

令濃度分布曲線的重心與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離為μ，由濃

顯然，零階濃度矩代表濃度分布曲線與x軸所圍面積，即全部擴(kuò)散物質(zhì)的質(zhì)量，因此任何時(shí)刻零階矩M0

均為常數(shù)。度矩的定義可知或

若將x

軸坐標(biāo)原點(diǎn)取在源平面處，質(zhì)量中心坐標(biāo)μ=0，此時(shí)一階濃度矩為零。濃度分布曲線為軸對(duì)稱。

令σ2為濃度分布的方差，則有

將上式展開并將濃度矩表達(dá)式代入，得顯然，方差隨時(shí)間

t

的增

方差σ2是衡量濃度分布曲線擴(kuò)展寬度的一種尺度，σ2越小，表示曲線越是集中在均值附近。

將前面解得的濃度分布函數(shù)代入前式，得方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為和加而增大，時(shí)間越久，擴(kuò)

散寬度越大。

o

x

-x

C

σ=0.5

σ=1.0

σ=2.0

將方差對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

假定在較小的時(shí)間段內(nèi)，以差分式代替微分式

已知不同時(shí)刻的濃度分布，根據(jù)上式可計(jì)算出分子擴(kuò)散系數(shù)D

的值。

從理論上講，濃度分布曲線向x

軸兩端無限延伸。但可以證明，在以對(duì)稱軸為中心的分布寬度為4σ的范圍內(nèi)，濃度分布曲線與x

軸所圍面積可達(dá)總面積的95%，因此從實(shí)用的觀點(diǎn)考慮，可認(rèn)為其分布寬度為4σ。若坐標(biāo)原點(diǎn)與源平面重合，分布區(qū)間為[-2σ,2σ]，若相距μ，則為[μ-2σ,μ+2σ]。

將方差表達(dá)式代入濃度分布公式，得oxC-3σ-2σ-σ3σ2σσ0.10.34σ

[例1]有一長直矩形斷面明渠，寬100m，水深5m，水流近似為均勻流，斷面平均流速為0.3m/s。為求橫向擴(kuò)散系數(shù)，在渠道某斷面（x=0）水面中心以瞬時(shí)點(diǎn)源方式投放示蹤劑。下表為下游x=450m處水面的橫向濃度分布，其中y=0為水面中心點(diǎn)。首先根據(jù)一階濃度矩和零階濃度矩求實(shí)測(cè)濃度分布的形心：y(m)272421181512963C1716223142558086860-3-6-9-12-15-18-21-24878774666052453022解：瞬時(shí)點(diǎn)源沿河寬作分子擴(kuò)散，濃度沿河寬方向呈正態(tài)分布其中零階矩濃度M0與一階矩濃度M1采用數(shù)值法（差分）算得再求濃度分布的方差：μ=-0.13m

。計(jì)算，即二階矩濃度為：方差為：最后求橫向擴(kuò)散系數(shù)：因此，當(dāng)t1=0時(shí)，σ1=0，故而設(shè)有一質(zhì)量為M

的瞬時(shí)點(diǎn)源投放于一無限寬平面上。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在源上。污染物在通過原點(diǎn)的二維空間（xoy平面）擴(kuò)散，其濃度在xoy

平面上的分布符合二維擴(kuò)散方程：

假設(shè)在xoy

平面上任一點(diǎn)的濃度C(x,y,t)由兩部分濃度C1(x,t)和C2(y,t)的乘積構(gòu)成，即

代入二維擴(kuò)散方程得②瞬時(shí)點(diǎn)源二維擴(kuò)散或者顯然，上式成立的條件是各括號(hào)內(nèi)的量分別為零，即解則應(yīng)為C1

和C2

各自滿足瞬時(shí)點(diǎn)源一維擴(kuò)散方程的解，故二維擴(kuò)散的式中為瞬時(shí)投放質(zhì)量。同理可求得瞬時(shí)點(diǎn)源在三維無限空間擴(kuò)散的濃度函數(shù)式中為瞬時(shí)投放質(zhì)量。③瞬時(shí)點(diǎn)源三維擴(kuò)散①一維起始無限分布源的擴(kuò)散

設(shè)一無限長管道，左半部充滿各點(diǎn)初始濃度均相同的污染物液體，右半部為清水。2.分布源（空間上分布投入的情況）這種型式的污染源稱為一維其實(shí)無限分布源。

取x

軸與管軸一致，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在分界面。原點(diǎn)左側(cè)的污距離為ξ，根據(jù)瞬時(shí)平面源一維擴(kuò)散解，任意微元面源擴(kuò)散至分布源擴(kuò)散區(qū)x-xo染物連續(xù)體可看作由無數(shù)個(gè)微元面源組成，每個(gè)面源的厚度為無窮小dξ，每個(gè)微元面源的質(zhì)量為dM=C0dξ，C0為起始濃度。設(shè)o

點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)p，p到

o

點(diǎn)的距離為x，到某微元面源的p點(diǎn)的濃度dC

為pxξdξ在指定時(shí)刻，p

點(diǎn)的污染濃度應(yīng)等于各微元面源擴(kuò)散至該點(diǎn)濃度的疊加，即

在數(shù)學(xué)上，稱為誤差函數(shù)。

誤差函數(shù)具有如下性質(zhì)：

此外，余誤差函數(shù)可表示為誤差函數(shù)與余誤差函數(shù)間存在下列關(guān)系:引入誤差函數(shù)后，p

點(diǎn)污染物濃度可表示為或者利用上式，可畫出某一指定時(shí)刻相對(duì)濃度C/C0沿x

軸的分布。0

可以看出，雖然分布源在左半部為無限長，但實(shí)際上起作反，當(dāng)0.20.40.60.81.0-2-1012用的只是其中一部分。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，C/C0

近乎等于1.0，即當(dāng)?shù)哪遣糠值臐舛葞缀鯖]有降低。相的那部分的濃度幾乎沒有增加。設(shè)沿x

軸有一起始濃度均勻、分布寬度為2a

的有限分布源，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在有限分布源中心

一維有限分布源與前面o

dξ

2a

Cξx討論的一維無限分布源僅僅是積分區(qū)間不同，因此其沿x

方向擴(kuò)散區(qū)內(nèi)任意點(diǎn)濃度為②一維起始有限分布源的擴(kuò)散或者

二維起始有限分布源也就是瞬時(shí)有限面源。分布濃度為②二維起始有限分布源的擴(kuò)散③三維起始有限分布源的擴(kuò)散

三維起始有限分布源也就是瞬時(shí)有限體積源。分布濃度

誤差函數(shù)值可通過已知圖表查得。點(diǎn)源擴(kuò)散（一維、二維、三維)分布源擴(kuò)散（一維、二維、三維）瞬時(shí)源連續(xù)源（一維、二維、三維）固體邊界的反射大氣中擴(kuò)散的逆溫層反射一側(cè)有邊界的情況兩側(cè)有邊界的情況有邊界反射情況的擴(kuò)散無限空間中的擴(kuò)散靜止流體中的擴(kuò)散問題

設(shè)

x

軸坐標(biāo)原點(diǎn)有一濃度為C0

的點(diǎn)源，應(yīng)用一維擴(kuò)散方程：

初始條件：

當(dāng)t=0時(shí)，對(duì)各處，C=0；邊界條件：

在x=0處，對(duì)t＞0個(gè)時(shí)刻，C=C0。二、時(shí)間連續(xù)源的擴(kuò)散本節(jié)只討論恒定狀態(tài)下，即單位時(shí)間污染物投放量不變的情況。①時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源的一維擴(kuò)散

采用量綱分析法，組成如下形式：令于是式中于是而因?yàn)樗缘脭U(kuò)散方程

或者采用拉普拉斯變換求解上述方程，得濃度函數(shù)的解為利用上式，可畫出以

t

為參數(shù)的相對(duì)濃度C/C0沿x

軸的分布。1.0t=t1

t=t2

t=t3

t1＜t2＜t3xr2=x2+y2+z2。對(duì)于時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源的三維擴(kuò)散有式中m

為單位時(shí)間投放的污染物質(zhì)量；②時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源的三維擴(kuò)散點(diǎn)源擴(kuò)散（一維、二維、三維)分布源擴(kuò)散（一維、二維、三維）瞬時(shí)源連續(xù)源（一維、二維、三維）固體邊界的反射一側(cè)有邊界的情況兩側(cè)有邊界的情況有邊界反射情況的擴(kuò)散無限空間中的擴(kuò)散靜止流體中的擴(kuò)散問題

實(shí)際工程中，由于存在水體岸邊，污染物擴(kuò)散至岸邊時(shí)，有兩種極端可能，一種是污染物被岸邊完全吸收，另一種則是被岸邊完全反射。本節(jié)僅討論后者。三、有邊界反射情況下的擴(kuò)散有一瞬時(shí)平面源沿

x方向一維擴(kuò)散，且在距其L

處存在一完全反射的固體邊界?，F(xiàn)引入鏡象原理。設(shè)現(xiàn)有的瞬時(shí)平面源為真源，設(shè)想在固體壁面即反射面另一側(cè)L

處也存在一強(qiáng)度相等的瞬時(shí)平面源，稱之為虛擬源。真源虛擬源邊界xCLL①一側(cè)有邊界反射1.固體邊界的反射

由于真源與虛擬源擴(kuò)散量相同，擴(kuò)散方向相反，因此在壁面當(dāng)x=L

時(shí)（在固體壁面上），上形成了擴(kuò)散物質(zhì)凈通量為零，與真實(shí)情況相同。

在x軸上，任意點(diǎn)的污染物濃度應(yīng)為真源與虛擬源所產(chǎn)生的濃度之和，即

[例]在室內(nèi)水槽進(jìn)行擴(kuò)散試驗(yàn)，設(shè)水槽右端為封閉，左端很長。在水槽距右端10m的斷面A-A以平面源方式瞬時(shí)投放示蹤劑。試計(jì)算投放后10分鐘，在距右端5m的B-B斷面及A-A斷面左方10m的C-C斷面上的示蹤劑濃度。投放量M=1kg/m2,已知擴(kuò)散系數(shù)為200cm2/s。計(jì)算中要考慮右邊界反射。若不計(jì)邊界反射，B-B斷面及C-C斷面的濃度又是多少？（1）考慮右端邊界的反射作用，應(yīng)在右端邊界的右側(cè)10m處再設(shè)一虛擬像源解：瞬時(shí)平面源一維分子擴(kuò)散，一側(cè)（右側(cè)）有邊界，令水槽長度方向?yàn)閤方向，原點(diǎn)位于投放源點(diǎn)（斷面A-A）位置，水槽右端邊界距投放源L=10m。

B-B斷面，x=5m，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：

C-C斷面，x=-10m，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：則x軸上任一點(diǎn)的濃度應(yīng)該為真源和像源所產(chǎn)生的濃度之和：

（2）若不考慮右端邊界的反射作用，則為簡(jiǎn)單的瞬時(shí)平面源一維分子擴(kuò)散，濃度計(jì)算式為：

B-B斷面，x=5m，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：

C-C斷面，x=-10m，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：

由計(jì)算結(jié)果可見，邊界反射對(duì)距邊界較近的B-B斷面有一定影響，對(duì)距邊界較遠(yuǎn)的C-C邊界影響很小。如果實(shí)際源在兩個(gè)平行邊界中間，一個(gè)邊界在x=-L處，另一個(gè)邊界在x=+L處。求解時(shí)要疊加兩個(gè)虛擬源，其位置分別為x2=-2L和x2=+2L以滿足邊界條件；在x2=-2L處的源所產(chǎn)生的濃度場(chǎng)擴(kuò)散至x2=+L的邊界時(shí)仍會(huì)有一個(gè)濃度梯度，而需要在x2=+4L處的映像虛擬源來抵消這個(gè)濃度，依此類推，需要設(shè)置一系列的映像虛擬源才能完全代替邊界反射作用。真源虛擬源邊界xCLL②兩側(cè)有邊界反射L邊界L虛擬源疊加后的濃度分布可由下式表示：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，求有限項(xiàng)，如，已可得到較好的近似解。

[例3]一廢棄的采石場(chǎng)集水后形成底面積為200×200m、水深為50m的立方體水池。附近工廠將含有4000kg有害物質(zhì)的廢水用水泵送入池底。設(shè)有害物質(zhì)在池底均勻分布，且池底與池壁對(duì)該物質(zhì)完全不吸收。若該物質(zhì)在水體中的擴(kuò)散系數(shù)為1.0cm2/s，試估算一年后水池水面有害物的濃度。

水面：x=50m；t=365d；D=1.0cm2/s=8.64m2/d；解：有害物質(zhì)在池底均勻分布，可按瞬時(shí)平面源一維分子擴(kuò)散考慮。因底部完全不吸收，即底部邊界發(fā)生完全反射，按鏡像法計(jì)算，相當(dāng)于源點(diǎn)的有害物質(zhì)投放質(zhì)量為2M根據(jù)瞬時(shí)平面源一維分子擴(kuò)散的基本解：若不考慮水面的反射作用，則底部一年后底部污染物質(zhì)擴(kuò)散至水面的濃度為：=0.82×10-3kg/m3到達(dá)水面后不再繼續(xù)擴(kuò)散，因此需計(jì)及水面的反射作用。在距水面以上50m處設(shè)一虛擬像源，其濃度與池底濃度相等。若只計(jì)因此一年后水面污染物的真實(shí)濃度應(yīng)為:通常情況下擴(kuò)散到水面的污染物不向空氣中揮發(fā)，即污染物一次反射，一年后此虛擬源擴(kuò)散至水面的濃度亦為0.82×10-3kg/m3，C=2×0.82×10-3=1.64×10-3kg/m3移流擴(kuò)散方程污染物在層流中發(fā)生分子擴(kuò)散和隨流傳輸描述層流中污染物遷移規(guī)律的基本方程組§2移流擴(kuò)散方程的求解本節(jié)的主要任務(wù)是討論不同具體情況下移流擴(kuò)散方程的解析解，仍針對(duì)瞬時(shí)源和連續(xù)源分別進(jìn)行討論。通常情況下，水流均具有明確的主流方向，流速在其他兩方向的分量，如uy

與uz

可忽略不計(jì)，并設(shè)主流方向的流速ux為平均流速u

。

采用動(dòng)坐標(biāo)系法求解移流擴(kuò)散方程。設(shè)坐標(biāo)系隨移流按主

就可直接使用分子擴(kuò)散情況瞬時(shí)點(diǎn)源的解，即

流平均流速隨主流一同運(yùn)動(dòng)，于是在坐標(biāo)系上只有分子擴(kuò)散，

沒有移流問題。這樣只要對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的坐標(biāo)進(jìn)行變換，即

一、瞬時(shí)點(diǎn)源的移流擴(kuò)散對(duì)于二維問題對(duì)于一維問題

時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源可看作是無窮多個(gè)瞬時(shí)點(diǎn)源mdτ的疊加，其中

m為單位時(shí)間污染物的投放強(qiáng)度，

dτ為微元時(shí)間段。

同樣采取動(dòng)坐標(biāo)系，引用分子擴(kuò)散的結(jié)果，得濃度分布函數(shù)關(guān)系為

二、時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源的移流擴(kuò)散令

則且當(dāng)

令τ=0時(shí)，

τ=t

時(shí)，

代入前面的濃度分布函數(shù)關(guān)系中，得假設(shè)時(shí)間足夠，即

t→∞，則那么可以證明，當(dāng)β1＞0時(shí)，于是可得

由于移流作用，沿流動(dòng)方向等濃度線將形成狹長的橢圓狀，因此在源下游較遠(yuǎn)處區(qū)域，r

值可由下列近似關(guān)系表示或

以及

從而可得時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源三維移流擴(kuò)散濃度分布的簡(jiǎn)化式

二維分布則為

[例2]有一長直矩形斷面明渠，寬100m，水深5m，水流近似為均勻流，斷面平均流速為0.3m/s。若在

y=0斷面中心以強(qiáng)度不變的恒定時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源投放示蹤劑，試問在下游什么位置水面上可出現(xiàn)岸邊濃度為中心濃度的40%？令y=0得明渠中心線上濃度分布為

計(jì)算岸邊濃度時(shí)應(yīng)考慮邊界反射的影響。鑒于對(duì)岸的反射的影響較之同一岸發(fā)射影響小得多，因而可以略去，故只考慮同岸的一次反射，而不計(jì)及對(duì)岸的影響。

解：時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源二維移流擴(kuò)散問題，水流沿主流方向（x方向）流速為u，其他方向流速為0，此情況下時(shí)間連續(xù)點(diǎn)源二維移流擴(kuò)散的基本解為：

在同岸后方距岸為W/2處設(shè)一虛擬像源，任一點(diǎn)的濃度應(yīng)該為真源和像源所產(chǎn)生的濃度之和：yCW/2W/2真源像源河岸真源產(chǎn)生濃度（將y=W/2代入基本解)：像源產(chǎn)生濃度（將y=W/2代入基本解)：岸邊濃度等于兩者之和：故投放點(diǎn)下游2428m處岸邊濃度為中心濃度的40%。則§3均勻紊流中的擴(kuò)散紊流中的污染物遷移規(guī)律應(yīng)該按紊流擴(kuò)散方程分析。紊流擴(kuò)散方程在復(fù)雜的流動(dòng)情況下求解是非常困難的，但在單向均勻流動(dòng)中，即假設(shè)各處流速均為的情況，能求出解析解。紊流擴(kuò)散方程取動(dòng)坐標(biāo)系，動(dòng)坐標(biāo)系以速度u移動(dòng)，則：代入紊流擴(kuò)散方程可得：坐標(biāo)變換后的方程形式和靜止流體中的分子擴(kuò)散方程相同，可參照靜止流體中分子擴(kuò)散方程的求解方法。差別在于：坐標(biāo)變?yōu)?，分子擴(kuò)散系數(shù)D變?yōu)槲蓜?dòng)擴(kuò)散系數(shù)E。一、均勻紊流中瞬時(shí)源擴(kuò)散①瞬時(shí)（面）源的一維擴(kuò)散這種情況只需將靜止流體中瞬時(shí)源的擴(kuò)散的解按上述原則改寫即得。濃度解為：（為書寫方便，略去時(shí)均符號(hào)，以下同）②瞬時(shí)（線）源的二維擴(kuò)散濃度解為：③瞬時(shí)點(diǎn)源的三維擴(kuò)散濃度解為：均勻紊流中分布源和連續(xù)源的擴(kuò)散也可參照同樣的方法分析。

[例4]在長20m，寬1m，水深5m的封閉矩形水槽中進(jìn)行紊動(dòng)擴(kuò)散試驗(yàn)，紊動(dòng)是借助一個(gè)垂直平面系統(tǒng)的振動(dòng)來發(fā)生。在t=0時(shí)刻，將0.4kg/m的示蹤物質(zhì)以瞬時(shí)平面源的形式釋放于槽中，釋放位置距水槽左端2.5m。若紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)E=0.01m2/s，試計(jì)算在源平面與左端面之間的中間斷面A-A上出現(xiàn)最大濃度的時(shí)間及最大濃度值。源AA2.520解：瞬時(shí)平面源在靜止水體中作一維紊動(dòng)擴(kuò)散，其基本解可參照瞬時(shí)平面源的一維分子擴(kuò)散方程基本解，將分子擴(kuò)散系數(shù)D換成紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)為E即可計(jì)水槽長度方向?yàn)閤方向，坐標(biāo)原點(diǎn)位于投放源的位置，則瞬時(shí)平面源一維紊動(dòng)擴(kuò)散的基本解為：xO源A-A斷面，x=1.25m，代入基本解AA2.520t為未知量，令dC/dt=0得出現(xiàn)最大濃度的時(shí)間和最大濃度為若不考慮邊界的反射作用，則直接按基本解可求得A-A斷面的濃度xO源AA2.520xO2.5若考慮左側(cè)端部的反射，僅計(jì)一次反射，則應(yīng)在水槽左側(cè)邊界以左2.5m處設(shè)一虛擬像源，真源和像源相距2L=5m.則任一點(diǎn)濃度為真源與像源濃度之和：式中，x=1.25m，L=2.5m，t為未知量，為簡(jiǎn)化分析，令令

dC/dt=0得反射后出現(xiàn)最大濃度的時(shí)間和最大濃度為試算得

[例5]設(shè)一煙囪所排廢氣的有效點(diǎn)源距地面高度為50m，氣流速度與x

同方向，u=5