專題28.4銳角三角函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)能力強(qiáng)化卷）學(xué)生版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊章節(jié)知識(shí)講練專題28.4銳角三角函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)+能力強(qiáng)化卷）知識(shí)點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

細(xì)節(jié)剖析：(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是，它只是一個(gè)，其大小只與有關(guān)，而與所在無關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)，

但不能寫成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

細(xì)節(jié)剖析：1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=；cosA=

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

細(xì)節(jié)剖析：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角()．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

知識(shí)點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

2.常見應(yīng)用問題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

細(xì)節(jié)剖析：1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的基本方法是：

把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?南湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)．支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時(shí)，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測得AB＝1.6m，則OC的長為（）m．A．0.8cos20° B．0.8sin20° C． D．2．（2分）（2023?岱岳區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則sinA：sinB等于（）A．1：2 B．1： C．1：3 D．2：3．（2分）（2023?岳麓區(qū)一模）某書店拿取高處書籍的登高梯如圖位置擺放，登高梯AC的頂端A恰好放在書架的第七層的頂端．已知登高梯的長度AC為3米，登高梯與地面的夾角∠ACB為72°，則書架第七層頂端離地面的高度AB為（）A．3sin72°米 B．米 C．3cos72°米 D．米4．（2分）（2022秋?岱岳區(qū)校級(jí)期末）如圖，小明為了測量門口一棵大樹的高度，他自制一個(gè)Rt△DEF紙板測量大樹AB的高度，已知tan∠EDF＝0.5，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝13m，則樹AB的高度是（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m5．（2分）（2023?海港區(qū)一模）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是（）A． B． C．2 D．6．（2分）（2023?吉林模擬）如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊，OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)，已知AB＝2，AD＝8，∠BCO＝x，則點(diǎn)A到OC的距離等于（）A．2sinx+8sinx B．2cosx+8cosx C．2sinx+8cosx D．2cosx+8sinx7．（2分）（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)O反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為α，反射角為β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點(diǎn)C，BD⊥CD于點(diǎn)D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，則sinα的值為（）A． B． C． D．8．（2分）（2023春?寧陽縣期末）現(xiàn)在導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西45°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，嘉琪發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么B，C兩地的距離為（）A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米9．（2分）（2023春?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，某雕塑MN位于河段OA上．游客P在步道上由點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向行走；已知∠AOB＝30°，OM＝20m，MN＝40m．當(dāng)觀景視角∠MPN最大時(shí)，游客P行走的距離OP是（）A．30m B．m C．20m D．60m10．（2分）（2023?泰山區(qū)校級(jí)三模）某通信公司準(zhǔn)備逐步在歌樂山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45°，在D處測得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米，則通訊塔AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?惠州二模）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinB＝．12．（2分）（2023?豐順縣一模）如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為30°的斜坡，從A滑行至B，已知AB＝100m，則這名滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了米．13．（2分）（2023秋?二道區(qū)校級(jí)月考）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠ABC的值為．14．（2分）（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．15．（2分）（2023?大連模擬）如圖，已知∠ABC＝90°，∠C＝30°，∠EAB＝150°，DC＝AE．若AB＝1，DB＝3，則DE的長為．16．（2分）（2022秋?海港區(qū)校級(jí)期末）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為i＝1：3，且O，A，B在同一條直線上，則此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度為米．17．（2分）（2023?黃石）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°，飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）18．（2分）（2023?黃石）“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對(duì)的弧長約為km（結(jié)果保留π）．19．（2分）（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為cm．20．（2分）（2023?平頂山模擬）如圖，湖的旁邊有一建筑物AD，某數(shù)學(xué)興趣小組決定測量它的高度．他們首先在點(diǎn)B處測得建筑物最高點(diǎn)A的仰角為30°，然后沿BD方向前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測得點(diǎn)A的仰角為45°．請(qǐng)你幫助該小組同學(xué)，計(jì)算建筑物AD的高度約為米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)）三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?通河縣期末）如圖，一艘輪船以每小時(shí)35海里的速度向東航行，在A處觀測到在它的東北方向（北偏東45°）點(diǎn)C處有一艘捕漁船，2小時(shí)后輪船到達(dá)點(diǎn)B處，突然收到漁船的求救信號(hào)，此時(shí)觀測到漁船C位于點(diǎn)B的北偏東15°方向上．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）輪船收到求救信號(hào)后，立即沿BC以每小時(shí)海里的速度趕往C處救援，那么輪船需多少小時(shí)趕到C處？22．（6分）（2023秋?二道區(qū)校級(jí)月考）長泰大橋是長春市最高的雙塔斜拉式高架橋，大橋?qū)儆陔p塔雙索面混凝土特大斜拉橋橋型，圖①是大橋的實(shí)物圖，圖②是大橋的示意圖．假設(shè)你站在橋上點(diǎn)A處測得拉索AB與水平橋面的夾角是39°，點(diǎn)A處距離大橋立柱CD底端D的距離AD為96米，已知大橋立柱上B點(diǎn)距立柱頂端C點(diǎn)的距離BC為5米，求大橋立柱CD的高．（結(jié)果精確到1米）[參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°～0.78，tan39°≈0.81]23．（8分）（2023?大慶三模）如圖1是一種平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，放置在托板上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖．量得托板長AB＝130mm，支撐板長CD＝80mm，底座長DE＝90mm．托板AB固定在支撐板頂端點(diǎn)C處，且CB＝40mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求點(diǎn)A到直線DE的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，，結(jié)果保留一位小數(shù)）．24．（8分）（2023?咸豐縣一模）如圖1是咸豐縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)區(qū)劃圖其中一部分，唐崖鎮(zhèn)到朝陽鎮(zhèn)的“唐朝旅游公路”今年順利通車了，車程由過去的1個(gè)多小時(shí)縮短至15分鐘左右，直線距離AB為19km．測得曲江鎮(zhèn)位于朝陽寺鎮(zhèn)正東方向，唐崖鎮(zhèn)位于朝陽寺鎮(zhèn)北偏東40.5°方向，唐崖鎮(zhèn)位于曲江鎮(zhèn)北偏西21°方向．求唐崖鎮(zhèn)到曲江鎮(zhèn)的直線距離AC．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin49.5°≈0.76，cos49.5°≈0.65，tan49.5°≈1.17，sin69°≈0.9）25．（8分）（2023?唐河縣模擬）如圖，在鄭州世紀(jì)歡樂園，有一座直徑120米的摩天輪“倫敦之眼”，旋轉(zhuǎn)1周用時(shí)30min．小明從摩天輪的底部（與地面相距0.5m）出發(fā)開始觀光．（1）10min后小明離地面多高？（2）摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周，小明在（1）中所求的高度以上，會(huì)持續(xù)多長時(shí)間？26．（8分）（2023?濱?？h模擬）如圖（1）是一種簡易臺(tái)燈，在其結(jié)構(gòu)圖（2）中燈座為△ABC（BC伸出部分不計(jì)），A、C、D在同一直線上．量得∠A