二次根式01講核心

考點1二次根式二次根式的概念：一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，如都是二次根式．考點2二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號語言文字語言一個非負數(shù)的算數(shù)平方根是非負數(shù)提示有最小值，為02.根的方的性質(zhì)符號語言____（）應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：若a≥0，則，如提示逆用可以再實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.方的根（）的性質(zhì)符號語言文字語言任意一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：考點3最簡二次根式1.最簡二次根式的概念（1）被開方數(shù)不含______（2）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的______2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數(shù)中能開得盡得因數(shù)或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數(shù)中含有帶分數(shù)，先將被開方數(shù)化成假分數(shù)若被開方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)若被開方數(shù)時分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數(shù)時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3分母有理化（1）分母有理化：當分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號．考點4二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：______（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）．2.二次根式的乘法法則逆用：積的算術(shù)平方根：_____．3.二次根式的乘法法則的推廣（1（2），即當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)．考點5二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則____（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2二次根式的除法法則逆用：商的算術(shù)平方根：______3.二次根式的除法法則的推廣考點6同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)______的二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）_____，根指數(shù)和被開方數(shù)______，合并的依據(jù)式乘法分配律，如考點7二次根式的加減1.二次根式加減法則：先將二次根式化成______，再將被開方數(shù)______的二次根式進行合并．2.二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將“系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．考點8二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．二次根式的雙重非負性：（1）時，二次根式有意義，時，二次根式無意義；（2）“0”+“0”型：三類非負數(shù)：，，；【例題】1.要使式子有意義，則x的取值范圍是_______；【答案】且【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0；分母中有字母，分母不為0．【詳解】解：若代數(shù)式有意義，則，解得：且．故答案為：且．【點睛】本題主要考查了二次根式的概念：式子叫二次根式，是一個非負數(shù)．注意：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義；當二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數(shù)大于0．2.若，則的算術(shù)平方根是_________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，先求出x，進而可求出y，即可得解．【詳解】∵，，∴，∴，∴，∴，∴9的算術(shù)平方根為3，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及求解算術(shù)平方根的知識，二次根式有意義的條件就是被開方數(shù)非負，掌握此知識是解答本題的關(guān)鍵．3.若實數(shù)m、n滿足，求的平方根．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，然后求出的值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，的平方根為，即的平方根是．【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負性和絕對值的非負性，求代數(shù)式的值，求平方根，解題的關(guān)鍵是根據(jù)算術(shù)平方根的非負性和絕對值的非負性求出m、n的值．【練經(jīng)典】4.若無意義，則x的取值范圍是（）A.x＞0 B.x≤3 C.x＞3 D.x≥3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù),可得出關(guān)于x的一元一次不等式,解出即可得出答案.【詳解】解：∵無意義,∴3x＜0,解得:x＞3．

故選C．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件,解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義則被開方數(shù)為非負數(shù)．5.要使式子有意義，則x的取值范圍為________．【答案】x≥﹣3且x≠1且x≠2【解析】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，零指數(shù)冪的底數(shù)不等于0列式計算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意，得．解得：x≥﹣3且x≠1且x≠2．故答案是：x≥﹣3且x≠1且x≠2．【點睛】本題考查的是代數(shù)式有意義的條件，掌握二次根式與分式，零次冪有意義的條件是解題的關(guān)鍵．6.若，則_________．【答案】3【解析】【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可求得，，再把，代入，即可求得其值．【詳解】解：，解得，，，，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值問題，求得x、y的值是解決本題的關(guān)鍵．7.已知，則當______時，的最大值=________．【答案】①.②.【解析】【分析】首先根據(jù)，當時，取最大值，進而求出結(jié)果．【詳解】當時，即：，時，取最大值，當時，．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式大于或等于0是解本題的關(guān)鍵．8.若，則________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)二次根式和絕對值的非負性，兩個非負數(shù)相加等于0，則它們分別為0可得解得即可求得的值.【詳解】由題意得解得∴故答案為：12【點睛】本題主要考查二次根式和絕對值得非負性，兩個非負數(shù)相加等于0，則它們分別為0，初中階段常用三個非負式，二次根式、絕對值和偶次冪.【練易錯】易錯點：判斷二次根式有意義考慮不全造成答案不完整9.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A.且 B. C.且 D.【答案】A【解析】【分析】分式有意義，分母不等于零；二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．【詳解】依題意，得x1≥0且x2≠0，解得x≥1且x≠2．故選A．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．10.若有意義，則的取值范圍是_________．【答案】x>2##2＜x【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)和分式有意義的條件：分母不為0即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得x2>0，解得：x>2，故答案為：x>2．【點睛】本題考查的是分式及二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分式分母不為0解題的關(guān)鍵．根的方與方的根（1）根的方：，被開方數(shù)a必須是非負數(shù)；（2）方的根：，結(jié)果必須是非負數(shù)．【例題】11.計算：．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)零指數(shù)冪運算法則、乘方運算、二次根式的性質(zhì)，進行運算，再進行有理數(shù)的加減運算，即可求得其值．【詳解】解：【點睛】本題考查了零指數(shù)冪運算法則、乘方運算、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．12.已知a、b、c是三角形的三邊，化簡：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定出每個括號內(nèi)的正負，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)去根號即可．【詳解】解：∵a，b，c為三角形三邊，∴，，，，∴．【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，整式加減運算，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，掌握三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】13.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算式平方根的定義和二次根式的性質(zhì)逐一化簡即可得解．【詳解】解：A、，此選項錯誤；

B、，此選項正確；

C、，此選項錯誤；

D、，此選項錯誤；

故選：B．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．14.對于實數(shù)a，如果，那么下列結(jié)論正確的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分和兩種情況討論：當時，符合題意；當時，若，則x<0，得，求該不等式即可．【詳解】當時，，符合題意；當時，根據(jù)題意有：∵又∵和互為相反數(shù)∴∴綜上所述，故選D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，若，則x≤0，若，則，熟記此性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．15.已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡的結(jié)果為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)軸判斷和與0的關(guān)系，再根據(jù)化簡式子，最后化簡代數(shù)式即可得出答案.【詳解】根據(jù)數(shù)軸可得：，∴故選：B.【點睛】本題考查的是代數(shù)式的化簡，化簡時注意.【練易錯】易錯點：運用時，忽略a≥016.已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上a點的位置，判斷出（a?1）和（a?2）的符號，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行化簡．【詳解】解：由圖知：1＜a＜2，∴a?1＞0，a?2＜0，原式＝a?1＝a?1＋（a?2）＝2a?3．故選D．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出a?1＞0，a?2＜0是解題關(guān)鍵．17.若，，且，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，且，得出，，代入求值即可．【詳解】解：∵，，且，∴，，∴．故答案：．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是求出，．二次根式的化簡（1）利用“根的方”和“方的根”把二次根式化為整式；（2）利用積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根把二次根式中開得盡方的因式開出來；（3）利用分母有理化把二次根式中分母的根號化去．【例題】18.化簡_____．（其中<0，＞0）【答案】【解析】【分析】運用二次根式的性質(zhì)，化簡即可．【詳解】解：∵，∴，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.已經(jīng)，化簡：．【答案】【解析】【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)，去絕對值符號，再進行整式的加減運算，即可求解．【詳解】解：，，，原式【點睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，去絕對值符號法則，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．20.計算：．【答案】【解析】【分析】首先把每個式子分母有理化，化成根式的和、差形式即可化簡求解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正確對二次根式進行分母有理化是解題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】21.化簡：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式乘法、商的算術(shù)平方根等概念分別判斷．【詳解】∵被開方數(shù)大于或等于0，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡、利用了二次根式的乘除法、二次根式的性質(zhì)，注意a是負數(shù)是解題關(guān)鍵．22.把中根號前的（m－1）移到根號內(nèi)得（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷出m1的符號，然后解答即可．【詳解】∵被開方數(shù)，分母.∴，∴.∴原式．故選D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：|a|．也考查了二次根式的成立的條件以及二次根式的乘法．23.化簡：__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，判斷出的符號，然后再將二次根式進行化簡．【詳解】解：由題意，知：；，；又，故．【點睛】主要考查了二次根式的意義及二次根式的化簡．24.化簡：【答案】2【解析】【分析】先逐一對每項分母有理化，并找出規(guī)律，最后合并同類二次根式即可得解；【詳解】原式====2【點睛】本題考查了分母有理化和二次根式的加減，注意分母有理化常常是乘以二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．二次根式的混合運算（1）通常先將二次根式化簡；（2）對于二次根式的乘法運算，可以參照整式的乘法進行運算；（3）對于二次根式的除法運算，通常先將其寫成分式的形式，再通過分母有理化進行運算；（4）二次根式的加減法與整式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并被開方數(shù)相同的二次根式；（5）運算結(jié)果一般要化成整式或最簡二次根式；【例題】25.計算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）首先對原式化簡，然后利用二次根數(shù)乘法法則計算，再合并同類二次根式即可求解；（2）應(yīng)用平方差公式對原式化簡，然后利用乘法法則計算即可．【詳解】（1）原式=====（2）原式===【點睛】本題考查平方差公式和二次根式的乘法運算，熟練掌握乘法法則和平方差公式是解題的關(guān)鍵．26（1）計算：．（2）化簡：．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把二次根式化為最簡二次根式后，根據(jù)二次根式的乘、除法法則運算；（2）把二次根式化為最簡二次根式后，根據(jù)二次根式的乘、除法法則運算，要注意分式形式的二次根式化簡．【詳解】（1）解：原式＝＝＝．（2）解：原式＝＝＝．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【練經(jīng)典】27.下列運算正確的是（）A.＝ B.5＝5C.×＝ D.＝3【答案】C【解析】【分析】按照二次根式的加減法、二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，故選項錯誤，不符合題意；B．，故選項錯誤，不符合題意；C．，故選項正確，符合題意；D．，故選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次根式的加減法、二次根式的乘法、二次根式的性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．28.計算：=______________【答案】2【解析】【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式=．故答案為2．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并是關(guān)鍵．29.（1）計算：（2）計算：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先將二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法法則運算，然后化簡合并即可；【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除法運算，在合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．30.計算：【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式混合運算法則進行計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確進行計算．二次根式的大小比較（1）利用平方法比較兩個二次根式的大小（2）利用作差法比較兩個二次根式的大?。?）利用作商法比較兩個二次根式的大?。?）利用倒數(shù)法比較兩個二次根式的大小【例題】31.比較和的大?。ㄆ椒椒ǎ敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷闷椒椒?，即可比較出大?。驹斀狻拷猓海?，，，又，，．【點睛】本題考查了無理數(shù)大小的比較方法，積的乘方運算，利用二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握和運用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．32.比較和大?。ㄗ鞑罘ǎ敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坷米鞑罘盁o理數(shù)的估算，即可比較出大小．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查了無理數(shù)大小的比較方法作差法，無理數(shù)的估算，熟練掌握和運用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．33.比較與的大?。ㄗ魃谭ǎ敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，又∵，，∴．【點睛】本題主要考查實數(shù)大小比較，二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則，準確進行計算．34.比較與的大小（倒數(shù)法）【答案】【解析】【分析】利用倒數(shù)法，即可比較出大小．【詳解】解：，，，，．【點睛】本題考查了無理數(shù)大小的比較，熟練掌握和運用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．【練經(jīng)典】35.計算4＋×的結(jié)果估計在（）A.10與11之間 B.9與10之間 C.8與9之間 D.7與8之間【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次根式的乘法計算得到原式，進而估算即可．【詳解】解：，，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是將原式進行計算，得出．36.比較大?。?______4（填“＞”或“=”或“＜”）【答案】＞【解析】【分析】先把2化為的形式,再根據(jù)負數(shù)大小的比較法則，比較出與的大小即可.【詳解】解:2=,4=,12<16,＞,，2＞4故答案為:＞.【點睛】本題考查的是實數(shù)的大小比較,先根據(jù)題意把2化為的形式是解答此題的關(guān)鍵.37.比較和的大??；【答案】【解析】【分析】用作差法比較和的大小即可．【詳解】解：∵，∵，，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了實數(shù)大小的比較，解題的關(guān)鍵是求出，得出．38.比較與的大小．【答案】【解析】【分析】利用倒數(shù)法，即可比較出大小．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查了無理數(shù)大小的比較，熟練掌握和運用無理數(shù)大小的比較方法是解決本題的關(guān)鍵．二次根式的化簡求值（1）已知字母的值化簡求值（2）已知條件式化簡求值【例題】39.已知，求代數(shù)式．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出，然后把，代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，把，代入得：．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確進行計算．40.已知且，請化簡并求值：【答案】【解析】【分析】解方程得出，再分母有理化，化簡得出原式=，最后代入x求值即可.【詳解】解：∵∴∴【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.【練經(jīng)典】41.若實數(shù)，滿足，則的值是______________．【答案】3【解析】【分析】求出()()=3，再分解因式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，求出即可求解．【詳解】解：∵實數(shù)a，b滿足()()=3，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)和解一元二次方程等知識點，能求出是解此題的關(guān)鍵．42.已知，且x為奇數(shù)，求（1+x）?的值．【答案】2【解析】【分析】由二次根式的非負性可確定x的取值范圍，再根據(jù)x為奇數(shù)可確定x的值，然后對原式先化簡再代入求值.【詳解】解：∵，∴解得，6≤x＜9，∵x為奇數(shù)，∴x=7，∴（1+x）?=（1+x）?=（1+x）?====2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的非負性及二次根式的化簡求值.43.先化簡，再求值：已知a＝，求的值．【答案】，3【解析】【分析】先化簡得，再將代入即可得．【詳解】解：原式===當代入得：．【點睛】本題考查了整式化簡求值，二次根式的混合運算，正確計算是解題的關(guān)鍵．44.已知，，求式子的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，將化簡為，然后代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，把，代入得：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確進行計算．【新定義小練】45.對于任意的正數(shù)m，n定義運算為：，計算的結(jié)果為______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運算，再進行二次根式的運算即可．【詳解】解：∵3＞2,8＜12，∴．故答案為：或【點睛】本題考查了二次根式的計算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計算，并正確進行二次根式計算是解題關(guān)鍵．46.我們規(guī)定運算符號“△”的意義是：當a＞b時，a△b＝a＋b；當a≤b時，a△b＝a－b，其它運算符號的意義不變，計算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根據(jù)題意，先比較出＞，2＜3，再代入相應(yīng)的運算法則進行計算，再根據(jù)二次根式的混合運算進行化簡.【詳解】∵當a＞b時，a△b＝a＋b；當a≤b時，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4.【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意進行運算化簡，再利用二次根式的運算法則進行計算.47.若a+b=2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）3與是關(guān)于1的平衡數(shù)，5﹣與是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判斷m+與5﹣是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由．【答案】（1）﹣1，﹣3+；（2）不是，理由見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案．（2）根據(jù)所給的等式，解出m的值，進而再代入判斷即可．試題解析：（1）由題意得，3+（﹣1）=2，5﹣+（﹣3+）=2，∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5﹣與﹣3+是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）不是．∵（m+）×（1﹣）=m﹣m+﹣3，又∵（m+）×（1﹣）=﹣5+3，∴m﹣m+﹣3=﹣5+3，∴m﹣m=﹣2+2．即m（1﹣）=﹣2（1﹣）．∴m=﹣2．∴（m+）+（5﹣）=（﹣2+）+（5﹣）=3，∴（﹣2+）與（5﹣）不是關(guān)于1的平衡數(shù)．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．【閱讀材料類小練】48.閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么這個三角形的面積S＝．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問題：如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．【答案】（1）△ABC的面積為；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給公式可進行求解；（2）由（1）及利用等積法可進行求解．【詳解】解：（1）∵a＝9，b＝7，c＝8，∴，∴；（2）由（1）及題意得：，∴．【點睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．49.在數(shù)學(xué)課上，老師說統(tǒng)計學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對于兩個數(shù)a，b，稱為a，b這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個數(shù)的幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：（1）若a=1，b=2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當a，b兩數(shù)異號時，在實數(shù)范圍內(nèi)N沒有意義，所以決定只研究當a，b都是正數(shù)時這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問題：如圖，畫出邊長為a+b的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請分別在圖2，圖3中用陰影標出一個面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當a，b都是正數(shù)時，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號連接）．【答案】（1），，；（2）①見解析；②．【解析】【分析】（1）將分別代入求值即可得；（2）①分別求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形和直角三角形的面積公式即可得；②根據(jù)（2）①中的所畫的圖形可得，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當時，，，，故答案為：，，；（2）①，則用陰影標出一個面積為的圖形如下所示：，則用陰影標出一個面積為的圖形如下所示：②由（2）①可知，，當且僅當，即時，等號成立，都是正數(shù)，都是正數(shù)，，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用、完全平方公式、正方形的性質(zhì)等知識點，較難的是題（2）①，正確利用完全平方公式進行變形運算是解題關(guān)鍵．50.【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中，，，均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小明就找到了一種把的式子化為平方式的方法．【解決問題】（1）當，，，均為正整數(shù)時，若，用含，的式子分別表示，，得：______，______；（2）利用（1）的結(jié)論，找一組正整數(shù)，使得成立，且的值最小．請直接寫出，，，的值；（3）若，且，，均為正整數(shù)，求的值．【答案】（1），（2）（3）14或46【解析】【分析】（1）利用完全平方公式計算，由此即可得；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)都是正整數(shù)，且可得當時，的值最小，即的值最小，然后代入求出的值即可；（3）先利用完全平方公式可得，，再根據(jù)均為正整數(shù)可得，或，，然后代入求出的值即可．【小問1詳解】解：，，，∴，．【小問2詳解】解：由（1）可知，，，，都是正整數(shù)，且，當時，的值最小，即的值最小，則，，綜上，．【