專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題（原卷版）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項(xiàng)突破

專題01利用三角形全等和相似的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題在幾何壓軸題中，全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)一般作為工具性質(zhì)進(jìn)行使用，用以幫助解決角度的相等問題或者線段的數(shù)量關(guān)系。（1）在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個(gè)角相等，再結(jié)合所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到我們想要的角度關(guān)系。（2）壓軸題中關(guān)于證明線段相等關(guān)系或者和差關(guān)系的證明時(shí)，一般通過三角形全等的性質(zhì)，找出中間線段與所求線段的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)行等量代換或者轉(zhuǎn)化。（3）壓軸題中關(guān)于證明或探究線段之間的積關(guān)系或者比值關(guān)系時(shí)，一般利用三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有時(shí)也會(huì)用到三角形全等的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 （2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)＝＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫出△MND的面積．（1）證明△BAE≌△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）證明BAE∽△DAG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根據(jù)（2）可得DG＝6，從而得出三角形BEG的面積，可證得△MND≌△MNG，△MNG與△BEG的面積比等于1：4，進(jìn)而求得結(jié)果．【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG(2)BE＝，BE⊥DG，理由見解析(3)S△MNG＝【詳解】（1）解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如圖，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴設(shè)AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠ABE＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，點(diǎn)M是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CE的中點(diǎn)，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵M(jìn)N是△BEG的中位線，∴MNBE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MNG＝S△MNG＝S△BEG＝．本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是類比的方法．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）時(shí)，求的值；(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的值．（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）證明△ABD∽△CBE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進(jìn)而求得AN，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結(jié)果．【答案】(1)證明見解析；(2)(3)或【詳解】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AB，∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝×120°＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝AB，∴BC＝2BH＝AB；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，，∴∠ABC?∠DBC＝∠DBE?∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設(shè)AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°?∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a?sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD＋AF＝，，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴，∴，∵ANDE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴，∴，如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長線上時(shí)，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝，作BR⊥CA，交CA的延長線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的值為或．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類和較強(qiáng)的計(jì)算能力．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接，．，．①求證：；②若，求的長；(2)如圖2，連接，．若，，求的長．（1）①根據(jù)可證得：，即可得出結(jié)論；②連接，可證得是等邊三角形，即可求出；（2）延長交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)可證得，可得出，，，則，即可證得，即可得出的長．【答案】(1)①見解析；②(2)【詳解】（1）①∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴.②如圖，連接.∵是邊的中點(diǎn)，，∴，又由菱形，得，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴.（2）如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，由菱形，得，，∴，，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，，∵，，∴，，，∴，∴，∴，，∴，而為公共角.∴，∴，又∵，∴.本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)求線段長度，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.1．（2022·吉林長春·校聯(lián)考模擬）【教材呈現(xiàn)】在華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第111頁學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：菱形的對(duì)角線互相垂直．【結(jié)論運(yùn)用】(1)如圖①，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，則菱形的面積是；(2)如圖②，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在上，四邊形是菱形，連接、、，求證：；(3)如圖③，四邊形是菱形，點(diǎn)在上，四邊形是菱形，連接，若，則度．2．（2022·四川德陽·模擬）已知：四邊形是正方形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．(1)如圖，與有怎樣的關(guān)系．寫出你的結(jié)果，并加以證明；(2)如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)．，分別與，交于點(diǎn)，點(diǎn)．①求證：；②連接，若，，求的長．3．（2022·山東日照·校考二模）在中，，，點(diǎn)為線段延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．(3)當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到的距離為4．（2022·山東濟(jì)南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)校考模擬）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)若．①如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長；②如圖3，當(dāng)時(shí)，直接寫出的長是______．5．（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，，，平分交線段于點(diǎn)，在□的外部作，使，，連接，，線段與交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，①請(qǐng)寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)是