北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊 1.3線段的垂直平分線線段垂直平分線的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊1.3線段的垂直平分線線段垂直平分線的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間課程基本信息1.課程名稱：北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊1.3線段的垂直平分線

2.教學(xué)年級和班級：八年級（2）班

3.授課時間：2023年5月15日

4.教學(xué)時數(shù)：1課時

本節(jié)課主要教授線段的垂直平分線的概念、性質(zhì)以及綜合應(yīng)用，通過實例講解和練習(xí)，使學(xué)生掌握線段的垂直平分線在實際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的空間想象能力和解決問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過探究線段垂直平分線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

2.通過解決與線段垂直平分線相關(guān)的實際問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問題解決能力。

3.在小組討論中，增強學(xué)生的合作交流意識，提升團(tuán)隊協(xié)作能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識，提高學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。重點難點及解決辦法重點：

1.理解線段垂直平分線的定義和性質(zhì)。

2.掌握線段垂直平分線在幾何證明和解決問題中的應(yīng)用。

難點：

1.線段垂直平分線性質(zhì)的證明過程。

2.綜合運用線段垂直平分線解決復(fù)雜的幾何問題。

解決辦法：

1.通過直觀的圖示和實物模型，幫助學(xué)生形象理解線段垂直平分線的概念。

2.以循序漸進(jìn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜想、驗證，逐步掌握線段垂直平分線的性質(zhì)。

3.對證明過程進(jìn)行詳細(xì)講解，分解步驟，讓學(xué)生逐步理解并能夠獨立完成證明。

4.提供不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生在實際操作中鞏固知識點，尤其是綜合應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解題思路。

5.鼓勵學(xué)生相互討論，通過小組合作學(xué)習(xí)，共同解決難點問題，培養(yǎng)合作精神和批判性思維。教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的方式，講解線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，并通過實例引導(dǎo)學(xué)生參與討論，加深理解。

2.設(shè)計幾何模型制作活動，讓學(xué)生通過動手操作，直觀感受線段垂直平分線的特性。

3.運用多媒體教學(xué)，展示動態(tài)幾何圖形，幫助學(xué)生形象化理解垂直平分線的概念和性質(zhì)。

4.采用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決實際問題的過程中，相互交流思路，共同探討解決方案。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：通過一個簡單的幾何問題導(dǎo)入，如“如何找到線段AB的中點？”讓學(xué)生回顧已知的線段中點概念，然后提出本節(jié)課的主題——線段的垂直平分線，引導(dǎo)學(xué)生思考它與線段中點的關(guān)系。

2.新課講授（15分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）介紹線段垂直平分線的定義，通過實際操作演示，讓學(xué)生直觀感受垂直平分線的特點。

（2）講解線段垂直平分線的性質(zhì)，包括它的唯一性和它上面的點到線段兩端點距離相等的特點。

（3）通過幾個例題，展示線段垂直平分線在幾何證明中的應(yīng)用，如證明兩個角相等或證明兩條線段相等。

3.實踐活動（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）讓學(xué)生在紙上畫出一條線段，并嘗試作出該線段的垂直平分線，觀察并記錄結(jié)果。

（2）給出一個幾何問題，要求學(xué)生運用線段垂直平分線的性質(zhì)來解決問題，如“已知線段AB，求作一個點P，使得PA=PB且∠APB=90°”。

（3）通過幾何軟件，讓學(xué)生觀察當(dāng)線段的一端固定，另一端移動時，垂直平分線的變化情況。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）討論線段垂直平分線在實際生活中的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計、工程測量中的使用。

（2）探討線段垂直平分線性質(zhì)在幾何證明中的重要性，舉例說明如何利用這些性質(zhì)簡化證明過程。

（3）分享在實踐活動中的發(fā)現(xiàn)和疑問，討論如何解決在作圖和證明過程中遇到的問題。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)線段垂直平分線的定義、性質(zhì)及其在幾何證明中的應(yīng)用。通過提問的方式檢查學(xué)生對知識點的掌握情況，并鼓勵學(xué)生在課后繼續(xù)探索相關(guān)的問題。

整個教學(xué)流程設(shè)計旨在讓學(xué)生通過直觀感受、實際操作和合作討論，深入理解和掌握線段垂直平分線的相關(guān)知識點，同時培養(yǎng)他們的空間想象能力、邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）相關(guān)數(shù)學(xué)概念：介紹線段的垂直平分線與線段的中點、角平分線等其他幾何概念的關(guān)系，探討它們在幾何圖形中的應(yīng)用。

（2）歷史背景：介紹線段垂直平分線在古代數(shù)學(xué)中的起源和發(fā)展，以及它在不同文化和時期的重要性。

（3）實際應(yīng)用：探討線段垂直平分線在工程、建筑、物理學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計中的對稱性原則，在物理學(xué)中的力的平衡問題。

（4）數(shù)學(xué)問題庫：收集和整理一系列與線段垂直平分線相關(guān)的數(shù)學(xué)問題和習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和挑戰(zhàn)題，以供學(xué)生練習(xí)和鞏固。

（5）數(shù)學(xué)軟件工具：介紹一些可以幫助學(xué)生更好地理解線段垂直平分線概念的數(shù)學(xué)軟件工具，如幾何畫板、CAD軟件等。

2.拓展建議：

（1）自主學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生在課后通過查閱數(shù)學(xué)書籍、觀看教育視頻等方式，自主學(xué)習(xí)線段垂直平分線的相關(guān)知識，加深理解。

（2）實踐操作：建議學(xué)生在家中嘗試使用尺規(guī)作圖，制作線段垂直平分線的模型，通過實際操作加深對概念的理解。

（3）小組研究：組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，探討線段垂直平分線在解決實際問題中的應(yīng)用，如設(shè)計一個對稱的花園布局，或者分析一座建筑物的對稱結(jié)構(gòu)。

（4）跨學(xué)科學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生將線段垂直平分線的知識應(yīng)用到其他學(xué)科中，如物理學(xué)中的力學(xué)平衡問題，藝術(shù)中的對稱設(shè)計等。

（5）數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，通過解決競賽中的幾何問題，提高自己的數(shù)學(xué)解題能力和邏輯思維能力。板書設(shè)計①線段垂直平分線的定義

-定義：線段垂直平分線是指通過線段中點且垂直于該線段的直線。

-關(guān)鍵詞：線段、中點、垂直、平分線

②線段垂直平分線的性質(zhì)

-性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

-性質(zhì)2：線段的垂直平分線唯一。

-性質(zhì)3：線段垂直平分線上的點與線段所在平面內(nèi)的其他點到線段兩端點的距離之和最小。

③線段垂直平分線的應(yīng)用

-應(yīng)用1：在幾何證明中使用線段垂直平分線的性質(zhì)證明角相等或線段相等。

-應(yīng)用2：解決實際問題時，利用線段垂直平分線找到對稱點或構(gòu)建對稱圖形。

-應(yīng)用3：在工程和建筑設(shè)計中，利用線段垂直平分線保證結(jié)構(gòu)的對稱性和穩(wěn)定性。課后作業(yè)1.作業(yè)題目：

（1）畫出線段AB的垂直平分線，并標(biāo)出線段AB的中點。

（2）證明：如果點P在線段AB的垂直平分線上，那么PA=PB。

（3）已知線段AB=6cm，點P在線段AB的垂直平分線上，且PA=4cm，求BP的長度。

（4）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，求證：AD是∠BAC的平分線。

（5）在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2,3)，點B(-2,1)，求線段AB的垂直平分線的方程。

2.補充說明及答案：

（1）作業(yè)題目要求學(xué)生運用尺規(guī)作圖，鞏固線段垂直平分線的概念。答案：線段AB的垂直平分線通過中點M，且垂直于AB。

（2）作業(yè)題目要求學(xué)生證明線段垂直平分線的性質(zhì)。答案：證明過程如下：

-設(shè)點P在線段AB的垂直平分線上，M為AB的中點。

-連接PM和AM，由于PM垂直于AB，所以∠PMA=90°。

-由于M是AB的中點，所以AM=MB。

-在直角三角形PMA和直角三角形PMB中，PM是公共邊，∠PMA=∠PMB=90°，AM=MB。

-根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，PMA?PMB。

-因此，PA=PB，得證。

（3）作業(yè)題目考察學(xué)生對線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用。答案：由于點P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。已知PA=4cm，因此BP=4cm，所以BP的長度為4cm。

（4）作業(yè)題目要求學(xué)生運用線段垂直平分線的性質(zhì)證明角平分線。答案：證明過程如下：

-由于D是BC的中點，所以BD=DC。

-連接AD，由于AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AD是公共邊，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC。

-根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，ADB?ADC。

-因此，∠BAD=∠CAD，得證AD是∠BAC的平分線。

（5）作業(yè)題目要求學(xué)生在坐標(biāo)系中找到線段AB的垂直平分線的方程。答案：首先找到線段AB的中點M，M的坐標(biāo)為((2+(-2))/2,(3+1)/2)，即M(0,2)。線段AB的斜率為(1-3)/(-2-2)=1/2，垂直平分線的斜率為-2（垂直線斜率的負(fù)倒數(shù)）。因此，垂直平分線的方程為y-2=-2(x-0)，即y=-2x+2。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的定義、性質(zhì)及其在幾何證明中的應(yīng)用。通過實際操作和討論，我們理解了線段垂直平分線的基本概念，包括它是通過線段中點且垂直于線段的直線，以及它上面的點到線段兩端點的距離相等這一重要性質(zhì)。我們還探討了線段垂直平分線在幾何證明中的重要作用，例如證明角相等或線段相等。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)該能夠獨立作出線段的垂直平分線，并能夠運用其性質(zhì)解決實際問題。

當(dāng)堂檢測：

為了檢驗同學(xué)們對本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測，請同學(xué)們獨立完成以下題目：

1.填空題：線段AB的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離______。

2.判斷題：線段的垂直平分線是唯一的。（）

3.解答題：在平面直角坐標(biāo)系中，點A(0,0)，點B(4,0)，求線段AB的垂直平分線的方程。

4.證明題：已知線段AB=6cm，點P在線段AB的垂直平分線上，且PA=5cm，求證：PB=5cm。

5.應(yīng)用題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，求證：AD垂直平分BC。

檢測答案：

1.相等

2.正確

3.線段AB的中點坐標(biāo)為(2,0)，斜率為0，垂直平分線的斜率為無窮大（或垂直線的斜率的負(fù)倒數(shù)），因此方程為x=2。

4.證明過程：由于P在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，PA=PB。已知PA=5cm