北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 1.3線段的垂直平分線線段垂直平分線的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1.3線段的垂直平分線線段垂直平分線的綜合應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1.3線段的垂直平分線

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：八年級(jí)（2）班

3.授課時(shí)間：2023年5月15日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

本節(jié)課主要教授線段的垂直平分線的概念、性質(zhì)以及綜合應(yīng)用，通過(guò)實(shí)例講解和練習(xí)，使學(xué)生掌握線段的垂直平分線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的空間想象能力和解決問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.通過(guò)探究線段垂直平分線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。

2.通過(guò)解決與線段垂直平分線相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決能力。

3.在小組討論中，增強(qiáng)學(xué)生的合作交流意識(shí)，提升團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.理解線段垂直平分線的定義和性質(zhì)。

2.掌握線段垂直平分線在幾何證明和解決問(wèn)題中的應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.線段垂直平分線性質(zhì)的證明過(guò)程。

2.綜合運(yùn)用線段垂直平分線解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題。

解決辦法：

1.通過(guò)直觀的圖示和實(shí)物模型，幫助學(xué)生形象理解線段垂直平分線的概念。

2.以循序漸進(jìn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證，逐步掌握線段垂直平分線的性質(zhì)。

3.對(duì)證明過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)講解，分解步驟，讓學(xué)生逐步理解并能夠獨(dú)立完成證明。

4.提供不同難度的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)際操作中鞏固知識(shí)點(diǎn)，尤其是綜合應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)解題思路。

5.鼓勵(lì)學(xué)生相互討論，通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，共同解決難點(diǎn)問(wèn)題，培養(yǎng)合作精神和批判性思維。教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的方式，講解線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生參與討論，加深理解。

2.設(shè)計(jì)幾何模型制作活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，直觀感受線段垂直平分線的特性。

3.運(yùn)用多媒體教學(xué)，展示動(dòng)態(tài)幾何圖形，幫助學(xué)生形象化理解垂直平分線的概念和性質(zhì)。

4.采用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，相互交流思路，共同探討解決方案。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題導(dǎo)入，如“如何找到線段AB的中點(diǎn)？”讓學(xué)生回顧已知的線段中點(diǎn)概念，然后提出本節(jié)課的主題——線段的垂直平分線，引導(dǎo)學(xué)生思考它與線段中點(diǎn)的關(guān)系。

2.新課講授（15分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）介紹線段垂直平分線的定義，通過(guò)實(shí)際操作演示，讓學(xué)生直觀感受垂直平分線的特點(diǎn)。

（2）講解線段垂直平分線的性質(zhì)，包括它的唯一性和它上面的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等的特點(diǎn)。

（3）通過(guò)幾個(gè)例題，展示線段垂直平分線在幾何證明中的應(yīng)用，如證明兩個(gè)角相等或證明兩條線段相等。

3.實(shí)踐活動(dòng)（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）讓學(xué)生在紙上畫出一條線段，并嘗試作出該線段的垂直平分線，觀察并記錄結(jié)果。

（2）給出一個(gè)幾何問(wèn)題，要求學(xué)生運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，如“已知線段AB，求作一個(gè)點(diǎn)P，使得PA=PB且∠APB=90°”。

（3）通過(guò)幾何軟件，讓學(xué)生觀察當(dāng)線段的一端固定，另一端移動(dòng)時(shí)，垂直平分線的變化情況。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）討論線段垂直平分線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量中的使用。

（2）探討線段垂直平分線性質(zhì)在幾何證明中的重要性，舉例說(shuō)明如何利用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化證明過(guò)程。

（3）分享在實(shí)踐活動(dòng)中的發(fā)現(xiàn)和疑問(wèn)，討論如何解決在作圖和證明過(guò)程中遇到的問(wèn)題。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)線段垂直平分線的定義、性質(zhì)及其在幾何證明中的應(yīng)用。通過(guò)提問(wèn)的方式檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，并鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探索相關(guān)的問(wèn)題。

整個(gè)教學(xué)流程設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過(guò)直觀感受、實(shí)際操作和合作討論，深入理解和掌握線段垂直平分線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)他們的空間想象能力、邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）相關(guān)數(shù)學(xué)概念：介紹線段的垂直平分線與線段的中點(diǎn)、角平分線等其他幾何概念的關(guān)系，探討它們?cè)趲缀螆D形中的應(yīng)用。

（2）歷史背景：介紹線段垂直平分線在古代數(shù)學(xué)中的起源和發(fā)展，以及它在不同文化和時(shí)期的重要性。

（3）實(shí)際應(yīng)用：探討線段垂直平分線在工程、建筑、物理學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)中的對(duì)稱性原則，在物理學(xué)中的力的平衡問(wèn)題。

（4）數(shù)學(xué)問(wèn)題庫(kù)：收集和整理一系列與線段垂直平分線相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題和習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和挑戰(zhàn)題，以供學(xué)生練習(xí)和鞏固。

（5）數(shù)學(xué)軟件工具：介紹一些可以幫助學(xué)生更好地理解線段垂直平分線概念的數(shù)學(xué)軟件工具，如幾何畫板、CAD軟件等。

2.拓展建議：

（1）自主學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生在課后通過(guò)查閱數(shù)學(xué)書籍、觀看教育視頻等方式，自主學(xué)習(xí)線段垂直平分線的相關(guān)知識(shí)，加深理解。

（2）實(shí)踐操作：建議學(xué)生在家中嘗試使用尺規(guī)作圖，制作線段垂直平分線的模型，通過(guò)實(shí)際操作加深對(duì)概念的理解。

（3）小組研究：組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，探討線段垂直平分線在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，如設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)稱的花園布局，或者分析一座建筑物的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

（4）跨學(xué)科學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生將線段垂直平分線的知識(shí)應(yīng)用到其他學(xué)科中，如物理學(xué)中的力學(xué)平衡問(wèn)題，藝術(shù)中的對(duì)稱設(shè)計(jì)等。

（5）數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，通過(guò)解決競(jìng)賽中的幾何問(wèn)題，提高自己的數(shù)學(xué)解題能力和邏輯思維能力。板書設(shè)計(jì)①線段垂直平分線的定義

-定義：線段垂直平分線是指通過(guò)線段中點(diǎn)且垂直于該線段的直線。

-關(guān)鍵詞：線段、中點(diǎn)、垂直、平分線

②線段垂直平分線的性質(zhì)

-性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。

-性質(zhì)2：線段的垂直平分線唯一。

-性質(zhì)3：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段所在平面內(nèi)的其他點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離之和最小。

③線段垂直平分線的應(yīng)用

-應(yīng)用1：在幾何證明中使用線段垂直平分線的性質(zhì)證明角相等或線段相等。

-應(yīng)用2：解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，利用線段垂直平分線找到對(duì)稱點(diǎn)或構(gòu)建對(duì)稱圖形。

-應(yīng)用3：在工程和建筑設(shè)計(jì)中，利用線段垂直平分線保證結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和穩(wěn)定性。課后作業(yè)1.作業(yè)題目：

（1）畫出線段AB的垂直平分線，并標(biāo)出線段AB的中點(diǎn)。

（2）證明：如果點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，那么PA=PB。

（3）已知線段AB=6cm，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，且PA=4cm，求BP的長(zhǎng)度。

（4）在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：AD是∠BAC的平分線。

（5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(-2,1)，求線段AB的垂直平分線的方程。

2.補(bǔ)充說(shuō)明及答案：

（1）作業(yè)題目要求學(xué)生運(yùn)用尺規(guī)作圖，鞏固線段垂直平分線的概念。答案：線段AB的垂直平分線通過(guò)中點(diǎn)M，且垂直于AB。

（2）作業(yè)題目要求學(xué)生證明線段垂直平分線的性質(zhì)。答案：證明過(guò)程如下：

-設(shè)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，M為AB的中點(diǎn)。

-連接PM和AM，由于PM垂直于AB，所以∠PMA=90°。

-由于M是AB的中點(diǎn)，所以AM=MB。

-在直角三角形PMA和直角三角形PMB中，PM是公共邊，∠PMA=∠PMB=90°，AM=MB。

-根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，PMA?PMB。

-因此，PA=PB，得證。

（3）作業(yè)題目考察學(xué)生對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用。答案：由于點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。已知PA=4cm，因此BP=4cm，所以BP的長(zhǎng)度為4cm。

（4）作業(yè)題目要求學(xué)生運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)證明角平分線。答案：證明過(guò)程如下：

-由于D是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC。

-連接AD，由于AD垂直于BC，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AD是公共邊，∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC。

-根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，ADB?ADC。

-因此，∠BAD=∠CAD，得證AD是∠BAC的平分線。

（5）作業(yè)題目要求學(xué)生在坐標(biāo)系中找到線段AB的垂直平分線的方程。答案：首先找到線段AB的中點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為((2+(-2))/2,(3+1)/2)，即M(0,2)。線段AB的斜率為(1-3)/(-2-2)=1/2，垂直平分線的斜率為-2（垂直線斜率的負(fù)倒數(shù)）。因此，垂直平分線的方程為y-2=-2(x-0)，即y=-2x+2。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的定義、性質(zhì)及其在幾何證明中的應(yīng)用。通過(guò)實(shí)際操作和討論，我們理解了線段垂直平分線的基本概念，包括它是通過(guò)線段中點(diǎn)且垂直于線段的直線，以及它上面的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等這一重要性質(zhì)。我們還探討了線段垂直平分線在幾何證明中的重要作用，例如證明角相等或線段相等。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)該能夠獨(dú)立作出線段的垂直平分線，并能夠運(yùn)用其性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。

當(dāng)堂檢測(cè)：

為了檢驗(yàn)同學(xué)們對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成以下題目：

1.填空題：線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離______。

2.判斷題：線段的垂直平分線是唯一的。（）

3.解答題：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(4,0)，求線段AB的垂直平分線的方程。

4.證明題：已知線段AB=6cm，點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，且PA=5cm，求證：PB=5cm。

5.應(yīng)用題：在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，求證：AD垂直平分BC。

檢測(cè)答案：

1.相等

2.正確

3.線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，斜率為0，垂直平分線的斜率為無(wú)窮大（或垂直線的斜率的負(fù)倒數(shù)），因此方程為x=2。

4.證明過(guò)程：由于P在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，PA=PB。已知PA=5cm