2020-2021學年寧夏銀川市興慶區(qū)長慶某中學高二（下）期末數學試卷（理科）（附答案詳解）

2020-2021學年寧夏銀〃|市興慶區(qū)長慶高級中學高二（下）

期末數學試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.用輾轉相除法求得168與486的最大公約數（）

A.3B.4C.6D.16

2.不等式|%+2|45的解集是（）

A.{x\x<1或%>2)B.{%|-7<%<3}

C.{x|-3<x<7}D.{x|-5<%<9}

3.將曲線y=sin2x按照伸縮變換二后得到的曲線方程為（）

1.c

A.y=3sinxB.y=3sin2xC.y=3sin|xD.y=-sin2x

73

4.觀察如圖所示的等高條形圖，其中最有把握認為兩個分類變量”,y之間有關系的

是（）

[Z□曲

匚“

A.B.

B

0為先

x=i--

5.曲線的參數方程是；，2您是參數，tK0），它的普通方程是（）

-y1一一

A.(x-l)2(y—1)=1

1

-1D.yf+1

C.y=(15

6.下列四個命題：①在回歸模型中，預報變量y的值不能由解釋變量元唯一確定；②

若變量X,y滿足關系y=-0.1x+1,且變量y與Z正相關，則x與z也正相關；③

在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；⑷以

模型y=cekx去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設2="曠，將其變換后得到

線性方程z=0.3%+4,貝ijc=e4>k=0.3.

其中真命題的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.通過隨機詢問110名不同的我校學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：經計

算K2的觀測值k。7.8.參照附表，得到的正確結論是（）

附表

男女總計

愛好402060

不愛好203050

總計6050110

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

8.程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著仇章算術少中的“更相減損術”，執(zhí)

行該程序框圖，若輸入的小6分別為91,39,則輸出的a=（）

A.11B.12C.13D.14

9.以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標

系中取相同的長度單位.己知直線/的參數方程是為參數），圓C的極

坐標方程是p=4cos。，則直線/被圓C截得的弦長為（）

A.V14B.2V14C.V2D.2夜

10.對于實數x,y,若-W2,S2,則—2y+1］的最大值為（）

第2頁，共15頁

A.2B.4C.5D.6

11.中國最早的天文學和數學著作《周髀算經》里提

到了七衡，即七個等距的同心圓.七衡的直徑和周長

都是等差數列，最里面的一圓叫內一衡，外面的圓

依次叫次二衡，次三衡，…設內一衡直徑的,衡間

距為g則次二衡直徑為次三衡直徑

為由+2d,…，執(zhí)行如圖程序框圖，則輸出的7:中

最大的一個數為()

A.A

B.T2

C.T3

D.T4

12.函數/(x)的定義域為A,若存在非零實數f,使得對于任意％GC(C￡4)有％+tEA,

且f(x+t)W/(x),則稱/"(x)為C上的，度低調函數.已知定義域為[0,+8)的函數

/(x)=~\mx-3|>且/(x)為[0,+8)上的6度低調函數，那么實數機的取值范圍

是()

A.[0,1]B.口+8)

C.(-oo,0]D.(-oo.O]U[l,+oo)

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.把二進制數110011⑵化為十進制數是：.

14.下面程序的運行結果是.Ii=l

S=。

WHILEi<4

S=S*i+l

i=i+l

WEND

PRINTS

END

15.若直線y=x+b與曲線1Z繪，(。為參數，且一”"方有兩個不同的交點，則

(y-SLTlu//

實數匕的取值范圍是

16.中國古代十進制的算籌計數法，在世界數學史上是一個偉大的創(chuàng)造.算籌實際上是

一根根同樣長短的小木棍，用算籌表示數的方法如圖：例如：163可表示為

“一J.三”，27可表示為“=.現有6根算籌，用來表示不能被10整除的兩

位數，算籌必須用完，則這樣的兩位數的個數為.

123456789

-===11111

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在極坐標系中，已知圓C的圓心坐標為C(25)，半徑R=而，求圓C的極坐標方

程.

18.求不等式2<|2x+3|S4的解集.

19.在印度“新冠疫情”的傳播速度很快，這已經成為全球性的威脅，為了考察某種新

冠疫情疫苗的效果，現隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下列聯(lián)表：

感染未感染合計

服用104050

未服用203050

合計3070100

第4頁，共15頁

附.K2=__N(AD-BC)2__

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.1000.0500.0250.010

k。2.7063.8415.0246.635

根據上表，有多大的把握認為“小動物是否感染與服用疫苗有關”.

20.已知函數f（x）=|x-2|—|x+3|.

（1）求不等式/（x）<3的解集；

（2）若不等式f（x）<a2-6a解集非空，求實數〃的取值范圍.

21.2013年，首都北京經歷了59年來霧霾天氣最多的一個月.經氣象局統(tǒng)計，北京市

從1月1日至1月30日這30天里有26天出現霧霾天氣.陰境空氣質量指數（4Q/）

技術規(guī)定（試行）》將空氣質量指數分為六級：其中，中度污染（四級），指數為151-

200；重度污染（五級），指數為201-300；嚴重污染（六級），指數大于300.下面表

1是該觀測點記錄的4天里,AQ/指數M與當天的空氣水平可見度y（千米）的情況，

表2是某氣象觀測點記錄的北京1月1日到1月30日A。/指數頻數統(tǒng)計結果，

表1：AQ/指數例與當天的空氣水平可見度y（千米河青況

A。/指數900700300100

空氣可見度（千米）0.53.56.59.5

表2：北京1月1日至lj1月30日4。/指數頻數統(tǒng)計

AQ/指數[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]

頻數361263

(1)設變量乂=擊，根據表1的數據，求出y關于x的線性回歸方程；

(口)根據表2估計這30天4。/指數的平均值.

(用最小二乘法求線性回歸方程系數公式b=誓號智,a=y-bx)

22.在極坐標系中，點M坐標是(3,5曲線C的方程為p=2&sin(0+》以極點為

坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率是-1的直線/經過點M.

(1)寫出直線/的參數方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)求證直線/和曲線C相交于兩點A、B,并求的值.

第6頁，共15頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：486=168x2+150,

168=150x1+18,

150=18x8+6,

18=6X3,

故168與486的最大公約數為6,

故選：C.

本題考查的知識點是輾轉相除法，根據輾轉相除法的步驟，將168與486代入易得到答

案.

對任意整數a,b,b>0,存在唯一的整數q,r,使。=匕勺+「，其中0Wr<b,這個

事實稱為帶余除法定理，若c|a,c\b,則稱c是小b的公因數.若"是小〃的公因數，

且“可被“，6的任意公因數整除則稱d是a,b的最大公因數.當d20時，d是a,b

公因數中最大者.若“，匕的最大公因數等于1,則稱。，人互素.累次利用帶余除法可

以求出m6的最大公因數，這種方法常稱為輾轉相除法.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查不等式的解法，考查計算能力以及轉化思想的應用.

利用絕對值表達式的解法求解即可.

【解答】

解：不等式|x+2|W5,等價于—5WX+2W5,可得：—7WxW3.

不等式+2|<5的解集是：口|一7SxS3).

故選：B.

3.【答案】A

【解析】解：???伸縮變換

1/1,

:?X=/，y=-y,

代入曲線y=sin2x可得y'=3sinx',即y=3sinx.

故選A.

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程.

本題考查代入法求曲線方程，考查學生的計算能力，比較基礎.

4.【答案】D

【解析】解：根據題意，在等高的條形圖中，當與，&所占比例相差越大時，越有把握

認為兩個分類變量x,y之間有關系，

分析選項可得：。選項中，%2所占比例相差最大，

故選：D.

根據題意，由等高條形圖的意義分析可得答案.

本題考查等高條形圖的應用，涉及分類變量關系強弱的判斷，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：?.?曲線的參數方程是[?是參數，t^o),

(y=1一尸

ly=1—t2,

???[FT)\"將兩個方程相乘可得，

(1-y=t2

(x-1)2(1-y)=1,

.v_MV)

,,y(l-x)Z，

故選B.

由題意知％=1-3可得X—1=-3將方程兩邊平方，然后與、一1=一嚴，相乘消

去，即可求解.

此題考查參數方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉化，根據實際情況選擇不

同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題.

6.【答案】C

第8頁，共15頁

【解析】解：下列四個命題：①在回歸模型中，預報變量y的值不能由解釋變量x唯一

確定；根據回歸模型中的變量關系，正確.

②若變量x,y滿足關系y=-O.lx+1,且變量y與z正相關，則x與z也正相關；應

該是負相關.故錯誤.

③在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；即越

接近于回歸直線的距離越小，故正確.

④以模型丁=。6-去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z="y,將其變換后得

到線性方程z=0.3%+4,貝l]c=k=0.3.故正確.

故選：C.

直接利用回歸直線的方程的應用，相關的變量關系的應用，殘差圖的應用求出結果.

本題考查的知識要點：回歸直線的方程的應用，相關的變量關系的應用，殘差圖的應用，

主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

7.【答案】A

【解析】解：產=】】°xy°x2°)z。78>6635,

60X50X60X50

即有99%以上的把握認為“愛好體育運動與性別有關”.

故選:A.

根據參考公式計算K2的觀測值，并與附表中的數據對比，即可作出判斷.

本題考查獨立性檢驗，考查對數據的分析與處理能力，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：模擬程序的運行，可得

a=91,b=39

滿足aHb,滿足a>b,可得：a=91-39=52,

滿足a￥b,滿足a>b,可得：a=52-39=13,

滿足a不匕，且不滿足a>b,可得：b=39-13=26,

滿足且不滿足a>b,可得：b=26-13=13,

此時，不滿足aRb,退出循環(huán)，輸出的〃值為13,

故選：C.

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量。的值，模擬

程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方

法解答，屬于基礎題.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,

考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.

先求出直線和圓的直角坐標方程，求出半徑和弦心距，再求弦長.

【解答】

解：直線/的參數方程是二:[；(t為參數)，化為普通方程為x-y-4=0；

圓C的極坐標方程是p=4cos。，即p2=4pcos。,化為直角坐標方程為/+y2=4%,

即Q—2)2+y2=4,表示以(2,0)為圓心、半徑〃等于2的圓.

弦心距d=|2~^41=V2<r,

V2

二弦長為24八—"=2<4—2=

故選D

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查絕對值三角不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力.

通過|x-2y+l|=|x-l-2(y-1)|利用絕對值三角不等式求解最值即可.

【解答】

解:因為|x-2y+1|=|x-1-2(y-1)|<|x-1|+2|y-1|<2+2x2=6.

當且僅當|x-l|=2,|y—l|=2且(x_l)(y_l)<0,即]或二時，取等

號.

故選：D.

第10頁，共15頁

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的

結論，是基礎題.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量式的值，模擬

程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】

解：模擬程序的運行，可得

i=l時，7\=a^a7=+6d)=al+6da1,

2

i=2時，T2=a2a6=(a1+d)(ax+5d)=底+6dar+5d,

2

i=3時，T3=a3as=(ax+2d'){a1+4d)=a：+6dax+8d,

22

i=4時，T4=a4a4=(%+3d)=研+6dar+9d,

可得：T4>T3>T2>Tt.

故選：D.

12.【答案】D

【解析】

【分析】

根據低調函數定義，函數/'(>)=—-且f(x)為［0,+8)上的6度低調函數可轉化

為一|m(x+6)-3|<-\mx-3|在［0,+8)上恒成立，從而可得結論.

本題考查對題中新定義的正確理解，考查不等式恒成立問題，正確轉化是關鍵.

【解答】

解：根據題意，-|m(x+6)-3|S-3|在［0,+8)上恒成立

m(x+6)-3>-mx+3或，m(x+6)-3<mx-3在［0,+0o)上恒成立

m>1或m<0

故選O.

13.【答案】51

【解析】解：1??110011(2)=1X2°+1X2+1X24+1X25=51

故答案為：51

根據所給的二進制的數字，寫出用二進制的數字的最后一位乘以2的0次方，倒數第二

位乘以2的1次方，以此類推，寫出后相加得到結果.

本題考查進位制之間的轉化，本題解題的關鍵是用二進制的最后一位乘以2的0次方,

注意這里的數字不用出錯.

14.【答案】10

【解析】解：模擬程序的運行過程，如下；

i=1,S=0

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=1,i=2

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=3,i=3

滿足條件i<4,執(zhí)行循環(huán)體，5=10,i=4

此時，不滿足條件i<4,退出循環(huán)，輸出S的值為10.

故答案為：10.

根據題意，模擬程序語言的運行過程，即可得出程序運行后輸出的結果.

本題考查了循環(huán)結構的應用問題，解題時應模擬程序的運行過程，是基礎題目.

15.【答案】（-72,-1]

【解析】

解：曲線需（。為參數，且心化為：

x2+y2=1（%>0）,

在同一坐標系中畫出兩個方程的圖象，

直線y=x+b與曲線號Z黑（。為參數，且冷W”

舁有兩個不同的交點，

由圖像可知，實數6的取值范圍是（-四,-1].

故答案為：（-企,一1].

【分析】

由題意求出曲線的普通方程，結合直線與曲線的圖形，求出滿足題意的b的范圍即可.

本題是中檔題，考查參數方程與普通方程的求法，考查數形結合的思想，直線的截距的

應用，考查計算能力.

第12頁，共15頁

16.【答案】16

【解析】解：根據題意，現有6根算籌，可以表示的數字組合為1、5,1、9,2、4,2、

8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；

數字組合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7中，每組可以表示2個兩位數，

則可以表示2X7=14個兩位數且均不能被10整除，

數字組合3、3,7、7,每組可以表示1個兩位數，則可以表示2xl=2個兩位數且均

不能被10整除,

則一共可以表示14+2=16個兩位數；

故答案為：16.

根據題意，分析可得6根算籌可以表示的數字組合，進而分析每個組合表示的兩位數個

數，由加法原理分析可得答案.

本題考查排列、組合的應用，關鍵是理解算籌的定義，考查學生合情推理能力，屬于中

檔題.

17.【答案】解：將圓心C（2,g）化成直角坐標為（1,遮），半徑R=b，（2分）

故圓C的方程為（x-I/+（y_V3）2=5.（4分）

再將C化成極坐標方程，得（pcos。-I）2+（psinO->/3）2=5.（6分）

化簡，得p2-4pcos（8—朗+l=0,此即為所求的圓C的方程.（10分）

【解析】先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用pcos。=%,psinO=y,

p2=M+y2,進行代換即得圓。的極坐標方程.

本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，即利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用

pcosO=%,psinO=y,p2=x2+y2,進行代換即可.

18.【答案】解：由2<\2x+3|<4,可得2<2%4-3<4或一4<2x4-3<-2.

解得—x<［或—<x<—|,

即不等式的解集為［―：,—|）u（―

【解析】去絕對值解不等式即可.

本題主要考查絕對值不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎題.

2

19.【答案】解：K=I°OX(I°X3O-4OX2O)2=&?4,762>3,841,

50x50x30x7021

根據臨界值表可得，犯錯誤的概率不超過0.05,

即有95%的把握認為“小動物是否感染與服用疫苗有關”.

【解析】根據參考公式計算K2的觀測值，并與附表中的數據對比，即可作出判斷.

本題考查獨立性檢驗，考查對數據的分析與處理能力，屬于基礎題.

20.【答案】解：(1)由己知得|x-2|—|x+3|W3,

當xW—3時，2—x+x+3W3,解集為空集，

當一3<%<2時，2-x-(x+3)W3,解得-2<x<2,

當x22時，%-2-(x4-3)<3,解得X22,

故所求不等式的解集為［-2,+oo)；

,5,x<-3

(2)因為/(x)=-2x-l,-3<x<2,

-5,x>2

所以一5<f(x)<5,即f(x)的最小值為一5,

要不等式/(%)<-6a解集非空，需/(Wmin<a2-6a,

從而得a?—6a+5>0>

解得a<1或a>5,

所以a的取值范圍為(一8,1)u(5,+8).

【解析】本題考查絕對值不等式的解法，屬于中檔題.

(1)通過討論x的范圍，去掉絕對值符號，然后求解不等式的解集；

(2)去掉絕對值，轉化為求解人乃的最小值，然后求解即可.

21.【答案】解：(I)由久=總結合圖