2025屆貴州省黔西南州黔西縣數學高二上期末教學質量檢測試題含解析

2025屆貴州省黔西南州黔西縣數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若與共線，則實數值為（）A. B.C.1 D.22．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.3．已知等差數列的前n項和為Sn，首項a1=1，若，則公差d的取值范圍為（）A. B.C. D.4．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點；②某人買彩票中獎；③從集合中任取兩個不同元素，它們的和大于2；④在標準大氣壓下，水加熱到90℃時會沸騰.其中是隨機事件的個數是（）A.1 B.2C.3 D.46．已知呈線性相關的變量x與y的部分數據如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.77．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.8．若構成空間的一個基底，則下列向量能構成空間的一個基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，9．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓10．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.11．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺12．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為和的等差中項，則_____________.14．在等差數列中，，那么等于______.15．已知數列滿足，，若為等差數列，則___________，若，則數列的前項和為___________.16．已知函數，若在上是增函數，則實數的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，其中.（1）求的值；（2）設（其中、為正整數），求的值.18．（12分）已知圓過點，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點發(fā)出的光線經過軸反射，反射光線剛好經過圓心，求反射光線的方程.19．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標系的基礎上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.20．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程21．（12分）已知數列的前n項和為，且，，數列滿足：，，，.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前n項和；（3）若不等式對任意恒成立，求實數k的取值范圍22．（10分）已知點A（，0），點C為圓B：（B為圓心）上一動點，線段AC的垂直平分線與直線BC交于點G（1）設點G的軌跡為曲線T，求曲線T的方程；（2）若過點P（m，0）（）作圓O：的一條切線l交（1）中的曲線T于M、N兩點，求△MNO面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據空間向量共線有，，結合向量的坐標即可求的值.【詳解】由題設，有，，則，可得.故選：D2、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.3、A【解析】該等差數列有最大值，可分析得，據此可求解.【詳解】，故，故有故d取值范圍為.故選：A4、D【解析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D5、B【解析】因為隨機事件指的是在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，只需逐一判斷4個事件哪一個符合這種情況即可【詳解】解：連續(xù)兩次拋擲同一個骰子，兩次都出現2點這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，①是隨機事件某人買彩票中獎這一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，②是隨機事件從集合，2，中任取兩個元素，它們的和必大于2，③是必然事件在標準大氣壓下，水加熱到時才會沸騰，④是不可能事件故隨機事件有2個，故選：B6、A【解析】根據回歸直線過樣本點的中心進行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.7、D【解析】根據互相垂直兩直線的斜率關系進行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D8、B【解析】由空間向量內容知，構成基底的三個向量不共面，對選項逐一分析【詳解】對于A：，因此A不滿足題意；對于B：根據題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內，與向量不共面，因此B正確；對于C：，故C不滿足題意；對于D：顯然有，選項D不滿足題意.故選：B9、A【解析】根據題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.10、A【解析】不妨設橢圓的焦點在軸上，設點，則，且有，利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】不妨設橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標準方程為，設點，則，且有，所以，.故選：A.11、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.12、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差中項的定義可求得結果.【詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.14、14【解析】根據等差數列的性質得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為數列為等差數列，且，根據等差數列的性質，可得，解答，又由.故答案為：14.15、①.##②.【解析】利用遞推關系式，結合等差數列通項公式可求得公差，進而得到；利用遞推關系式可知數列的奇數項和偶數項分別成等差數列，采用裂項相消的方法可求得前項和.【詳解】由得：，解得：；為等差數列，設其公差為，則，解得：，；由知：數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列；偶數項是以為首項，為公差的等差數列；，又，，數列的前項和，.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據數列遞推關系求解數列中的項、裂項相消法求和的問題；解題關鍵是能夠根據遞推關系式得到數列的奇數項和偶數項分別成等差數列，由此可通過裂項相消的方法求得所求數列的和.16、【解析】根據函數在上是增函數，分段函數在整個定義域內單調，則在每個函數內單調，注意銜接點的函數值.【詳解】解：因為函數在上是增函數，所以在區(qū)間上是增函數且在區(qū)間上也是增函數，對于函數在上是增函數，則；①對于函數，（1）當時，，外函數為定義域內的減函數，內函數在上是增函數，根據復合函數“同增異減”可得時函數在區(qū)間上是減函數，不符合題意，故舍去，（2）當時，外函數為定義域內的增函數，要使函數在區(qū)間上是增函數，則內函數在上也是增函數，且對數函數真數大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數則在銜接點處函數值應滿足：，化簡得，③由①②③得，，所以實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用單調性求參數方法如下：（1）依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較；（2）需注意若函數在區(qū)間上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的；（3）分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1），，寫出的展開式通項，由可得出關于的方程，解出的值，再利用賦值法可求得所求代數式的值；（2）寫出的展開式，求出、的值，即可求得的值.【小問1詳解】解：設，，的展開式通項為，所以，，即，，解得，所以，.【小問2詳解】解：，，，因此，18、（1）；（2）【解析】(1)根據題意設圓心，利用兩點坐標公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標和半徑，進而得出圓的標準方程；(2)根據點關于坐標軸對稱的點的特征可得，利用直線的兩點式方程即可得出結果.【小問1詳解】圓過點，，因為圓心在直線：：上，設圓心，又圓過點，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點關于軸的對稱點，則反射光線必經過點和點，由直線的兩點式方程可得，即：.19、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設雙曲線的標準方程為，易知，設，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數方程，設，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設雙曲線的標準方程為，由題意知，點，的橫坐標分別為，，則設點，的坐標為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數）；點在半徑為的圓上，（為參數）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當時，，當時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉任意坐標系上的雙曲線的交點，旋轉直角坐標系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.20、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯立方程組，得到，，結合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點，即拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯立方程組，整理得，設，，則，，因為，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或21、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數列是等比數列，即可求得，由得數列是等差數列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯位相減法求和即得.(3)將問題等價轉化為對任意恒成立，構造數列并判斷其單調性，即可求解作答.【小問1詳解】數列的前項和為，，，當時，，則，而當時，，即得，因此，數列是以1為首項，3為公比的等比數列，則，數列中，，，則數列是等差數列，而，，即有公差，則，所以數列，的通項公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數列的前n項和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對任意恒成立，設，則，當，，為單調遞減數列，當，，為單調遞增數列，顯然有，則當時，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實數k取值范圍是.【點睛】思路點睛：一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解22、（1）（2）1【解析】（1）可由題意，點G在線段AC的垂直平分線上，，可利用橢圓