2025屆河南省鄭州市嵩陽高級中學數(shù)學高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆河南省鄭州市嵩陽高級中學數(shù)學高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在菱形中,,,,分別為,的中點,則()A. B. C.5 D.2.如圖所示,正方體的棱,的中點分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.3.己知拋物線的焦點為,準線為,點分別在拋物線上,且,直線交于點,,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.64.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.25.若點(2,k)到直線5x-12y+6=0的距離是4,則k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或6.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.17.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.8.已知拋物線的焦點為,過點的直線與拋物線交于,兩點(設(shè)點位于第一象限),過點,分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為點,,拋物線的準線交軸于點,若,則直線的斜率為A.1 B. C. D.9.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.10.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或11.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.12.祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是說:兩個同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.集合,,則_____.14.已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.15.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.16.正方形的邊長為2,圓內(nèi)切于正方形,為圓的一條動直徑,點為正方形邊界上任一點,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的面積.19.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求在上的最大值和最小值.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線、的極坐標方程;(2)在極坐標系中,射線與曲線,分別交于、兩點(異于極點),定點,求的面積22.(10分)設(shè)為實數(shù),已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設(shè)為實數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個相異的零點,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

據(jù)題意以菱形對角線交點為坐標原點建立平面直角坐標系,用坐標表示出,再根據(jù)坐標形式下向量的數(shù)量積運算計算出結(jié)果.【詳解】設(shè)與交于點,以為原點,的方向為軸,的方向為軸,建立直角坐標系,則,,,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數(shù)量積問題,難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題,如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.2、C【解析】

以D為原點,DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.3、D【解析】

作,垂足為,過點N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點,即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過點N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因為,所以為線段的中點,所以F到l的距離為.故選:D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.4、A【解析】

設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、D【解析】

由題得,解方程即得k的值.【詳解】由題得,解方程即得k=-3或.故答案為:D【點睛】(1)本題主要考查點到直線的距離公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.6、C【解析】

連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.【點睛】本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.7、C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.8、C【解析】

根據(jù)拋物線定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線的斜率.故選C.9、B【解析】

選B.考點:圓心坐標10、D【解析】

根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.11、A【解析】

執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結(jié)果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個正放的正四面體,一個倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學生的邏輯推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合,即可求得交集.【詳解】因為表示為奇數(shù),故.故答案為:【點睛】此題考查求集合的交集,根據(jù)已知集合求解,屬于簡單題.14、【解析】

根據(jù)等差中項性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求得公比;代入表達式,結(jié)合對數(shù)式的化簡即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項公式可知,所以,解得或(舍),所以由對數(shù)式運算性質(zhì)可得,故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用,等比數(shù)列通項公式的用法,對數(shù)式的化簡運算,屬于中檔題.15、6【解析】

已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當時,,∴;當時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

根據(jù)向量關(guān)系表示,只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得:,故答案為:【點睛】此題考查求平面向量數(shù)量積的取值范圍,涉及基本運算,關(guān)鍵在于恰當?shù)貙ο蛄窟M行轉(zhuǎn)換,便于計算解題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)乙同學正確(2)分布列見解析,【解析】

(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點代入驗證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個回歸方程,驗證乙同學正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計算估計數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個,故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于中檔題.18、(1),;(2).【解析】

(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以,結(jié)合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)計算出直線截圓所得弦長,并計算出原點到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】(1)由得,故直線的普通方程是.由,得,代入公式得,得,故曲線的直角坐標方程是;(2)因為曲線的圓心為,半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長.又到直線的距離為,所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)取AB的中點O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O(shè)為原點,AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O(shè)為原點,AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標得,令,得,,所以,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題,意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時對于立體幾何中角的計算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.20、(1);(2)見解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】(Ⅰ)由題意得原式的最小正周期為.(Ⅱ),.當,即時,;當,即時,.綜上,得時,取得最小值為0;當時,取得最大值為.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開,輔助角公式,三角函數(shù)的性質(zhì)等,較為綜合,也是??碱}型,需要計算正確,屬于基礎(chǔ)題21、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標的公式把普通方程化成極坐標方程;(2)先利用極坐標求出弦長,再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標方程為:,因為曲線的普通方程為:,曲線的極坐標方程為;(2)由(1)得:點的極坐標為,點的極坐標為,,點到射線的距離為的面積為.【點睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標方程之間的互化,同時也考查了利用極

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