（滬教版2020必修三）2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)講義-第03講 空間直線與平面的位置關(guān)系（第2課時(shí)）

第3講空間直線與平面的位置關(guān)系（第2課時(shí)）

一、填空題

1.已知IAABC在平面a內(nèi)，NA=90",D4J■平面a,則直線C4與03的位置關(guān)系是.

【答案】垂直

【分析】

首先由已知條件證明AB_LC4和D4LC4,然后判斷C4，平面D4B,然后再由線面垂直的性質(zhì)可得答案.

【教師】

?.?D4_L平面a,ACu平面a,;.DALCA,

在AABC中，-.-ZA=90°,:.ABA.CA,

且ZMcB4=A,

.?.C41?平面ZMB,O3u平面D43,

:.CA±DB.

故答案為：垂直.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中兩直線垂直的證明，解決問題的關(guān)鍵是證明直線和平面的垂直關(guān)系，然后由線面垂直的性

質(zhì)證明即可.

2.若直線叢垂直于以A8為直徑的圓所在的平面，C為圓周上異于48的一點(diǎn)，有下列關(guān)系：

①E4_L8C②BC_L平面PAC?AC1PB④PC_LBC,

其中正確的是.

【答案】①②④

【分析】

先由題意，得到C4_LC3,根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)，可判斷①②④正確；推出AC與PC不垂直;

假設(shè)ACLP8,根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)推出AC_LPC,得出矛盾，即可得出③錯(cuò).

【教師】

因?yàn)镃為以A8為直徑的圓上異于A8的一點(diǎn)，

所以C4_LCB,

因?yàn)橹本€R4垂直于以43為直徑的圓所在的平面，所以PA，平面ABC,

因此PA_L8C；即①正確；

又P4nC4=A,且PACAu平面PAC,

所以5C_L平面PAC；即②正確；

又PCu平面PAC,所以PC_L8C；即④正確；

因?yàn)镻AL平面A8C,所以R4LAC,即△PAC是以乙4為直角的直角三角形，所以AC與PC不垂直；

若ACLPB,根據(jù)CC8,PBcCB=B,尸8,C8u平面P8C,可得AC,平面P8C,則ACJ.PC,這

與“AC,PC不垂直”矛盾，故AC,不垂直；即③錯(cuò).

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直，線線垂直的判斷，熟記線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

3.如圖所示，在直四棱柱逸端翦島-盤鑿:中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時(shí)，有A|C_LBD

（注：填上你認(rèn)為正確的?個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形）.

【答案】對(duì)角線互相垂直

【教師】

本題答案不唯一，要證ACBQ”只需證B1D1垂直于AC所在的平面AiCG,因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?

所以BDi_LCCi,故只需證BIDJAICI即可.

考點(diǎn)：線線垂直.

4.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是棱BC,。口上的點(diǎn)，如果用平面A3尸，

則CE與之和為.

【答案】1

【分析】

利用用平面A3戶，可以證明△用破WABGC,所以CG=3E,從而可得CE與。尸的長(zhǎng)度之和為1.

【教師】

過點(diǎn)尸作尸G〃回，交CG與點(diǎn)G,連接8G,如圖,

???四邊形A8GF是平行四邊形,

AFUBG,AF=BG,

?：BiEABF,

:.BtElAF,△B,EB=\BGC,

CG=BE,

■：CG=DF,BE+CE=\,

；.CE與DF的長(zhǎng)度之和為1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要以正方體為載體，考查線面位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.如圖，48CD-ASCQ為正方體，下面結(jié)論中正確的結(jié)論是.（把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）

①80〃平面C8Q；

②AG_L平面CBQ；

③過點(diǎn)A與異面直線A。和CA成90。角的直線有2條.

【答案】①②

【分析】

對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可得再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于②，由正方體的性質(zhì)和

線面垂直的性質(zhì)可得與鼻，AG，BQ1AC,從而由線面垂直的判定定理可得結(jié)論，對(duì)于③，由線線垂直

的判定方法判斷即可

【教師】

如圖，正方體中，

由于B力〃與。_由直線和平面平行的判定定理可得8。//平面eq。，故①正確.

由正方體的性質(zhì)可得用CC.IB.D,,故BQ_L平面ACCM，故瓦RJ_AG.

同理可得8C，AG.再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得，4Gd.平面CBQ-故②正確.

過點(diǎn)A與異面直線AO成90。角的直線必和BC也垂直

過點(diǎn)A與直線C4成90°角的直線必和CB,垂直

則該直線必和平面BCCB垂直，滿足條件的只有直線人用，

故③不正確.

故答案為：①②.

6.如圖，在三棱錐P—ABC中，必，底面ABC,/8AC=90。，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且EFLBC,

【答案】1

【教師】

在三棱錐P-A8C中，

因?yàn)榉絁_底面ABC,ZBAC=90°,所以ABJ_平面APC.

因?yàn)镋Fu平面FC,所以EFLAB,

因?yàn)镋/UBC,BCC\AB=B,

所以EFJ_底面ABC,所以以〃￡尸，

因?yàn)槭?C的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，

所以E是PC的中點(diǎn)，所以==1.

EC

答案：1.

7.如圖，在正方體ABC。-48cA中，E,F,G分別是棱4冉，BBX,的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中:

①FG工BD；②片。上面EFG：

③面E『G//面ACGA;④EFH面CDD.C,.

正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②④.

【分析】

由尸G〃8G，ABOG是正三角形，可判斷①；判斷出。?平面AGB,平面AG8〃平面EFG,可判斷②;

假設(shè)面EFG〃面ACC/,則可以推出AA//EF可判斷③；由平面平面。CCQ，EFu平面

可判斷④.

【教師】

連接、,分別是BB的中點(diǎn).

AG，A1,BCBD,BtD,E,F,GA]，\>4G

對(duì)于①，因方FG//BQ,ABOG是正三角形，所以FG與BD不垂直；

對(duì)于②，連接。內(nèi)，因?yàn)榍褺Qc8岑=4,所以

AG-L平面BDRBI,DB,c平面BDD檔,所以AGL，同理BQ±DB,,

且A￡?BGC,,所以。q_L平面AGB,因?yàn)锳8〃EF,\CJIEG,且ABCAC=A，EF[}EG=E,所

以平面AGB〃平面EFG,所以BQ_L平面EFG.正確；

對(duì)于③，如果面EFG〃面ACGA,由平面EFGn平面AB81A=EF,

平面CCMACI平面B80A=AA,則A4,〃E尸，顯然不正確；

對(duì)于④，因?yàn)槠矫鍭84A〃平面DCCQ,EFu平面ABB/，所以EF〃平面CD￡>G，正確

故選：②④.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題主要考查了正方體中垂直與平行關(guān)系，考查了線線垂直、線面垂直的判定、線面平行的判

斷、面面平行的判斷與性質(zhì)，對(duì)于證明線線關(guān)系、線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問題，必須在熟練掌握有

關(guān)的定理和性質(zhì)的前提下，再利用已知來進(jìn)行證明，屬于中檔題.

8.如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=8C=1,ZACB=90°,。是A4的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1

上的動(dòng)點(diǎn)，AB〉。尸交于點(diǎn)E,要使A用，平面CQF,則線段的長(zhǎng)為.

c

【分析】

設(shè)B1F=x,先由平面CQF,得到A與J.OF,設(shè)RfZ\AA4斜邊A片上的高為人根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出

h=巫,DE=B,再由久"叱=；8也?。尸尸列出方程，即可求出結(jié)果.

3322

【教師】

設(shè)81F=x,

因?yàn)槠矫鍳。/，OFu平面G。/，

所以A8IJ.OF,

由已知可得A耳=V2,

設(shè)Rt/XAA^斜邊ABt上的高為h,

貝l]OE=L/7,

2

又^^4=344?9=^A耳?〃，即；x&x2=gx,+（何x〃,

所以/z=至，DE=此.

33

因?yàn)樯脚c產(chǎn)'避㈤尸號(hào)如出尸,

所叫哈捫二為冬，

解得X4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間幾何體中的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)線面垂直求線段長(zhǎng)，熟記線面垂直的性質(zhì)即可，屬于?？碱}

型.

9.如圖所示，在四棱錐P-43co中，P4_L平面A3C￡>,PC1AD,底面438為梯形，AB//DC,

PF

ABLBC,AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,若PD〃平面E4C,則=.

【答案】2

【分析】

連接3。交4c于點(diǎn)。，連接。E,先由線面垂直的性質(zhì)定理可知a，AD,再結(jié)合線面垂直的判定定理得

4。，面PAC,從而有AOLAC.結(jié)合A4BC為等腰用△以及AB〃￡>C,可推出AACD也為等腰反△,

CD=2AB,于是黑=梁二，最后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可證得OE〃PD，管=等，從而得解.

ODCD2EBOb

【教師】

如圖所示，連接8。交AC于點(diǎn)0,連接OE,

平面A8C￡>,面ABC。，：.PAA.AD,

.?PCS.AD,PAC\PC^P,PA.PCu面PAC,.?.AD_L面PAC,

?.。ACu面PAC,ADYAC.

■：AB±BC,AB=BC,：,AC=y/2AB,ZBAC=45°,

又AB〃ZX:,.?.ZAC￡)=NHAC=45。，「.AAC。為等腰直角三角形，CD=0AC=2AB,

?_A81

一~6D~~CD~Z?

?.?尸￡)//平面￡4。，PDu面PBD,且平面EACD平面尸8￡>=O￡\

:.OE//PDf

PEOD八

—==2.

EBOB

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，熟練運(yùn)用線面平行或垂直的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查

學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.如圖，矩形ABC。中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將△AOE沿直線DE翻折成△AQE.若M為線段

AC的中點(diǎn)，則在△4OE翻折過程中，下面四個(gè)命題中正確是.(填序號(hào)即可)

4

①IBM是定值；

②總有CA_L平面AlOE成立；

③存在某個(gè)位置，使。

④存在某個(gè)位置，使MB//平面AQE.

【答案】①④

【分析】

根據(jù)翻折過程中的一些線線，線面關(guān)系不變，結(jié)合線線垂直，線面平行的相關(guān)知識(shí)一一分析即可.

【教師】

Ai

AEB

對(duì)于①：由圖知，取C￡＞的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)MF,BF,設(shè)=

易知NAiDE=NMFB=%,MF=}-A\D=~,FB=DE=0,

422

由余弦定理可得MB2=MF+FB?-2MF?FB?cosNMFB,

所以MB是定值，故①正確.

對(duì)于②：由反證法，若總有C4_L平面AQE成立，則C4_L4E成立，

而CE=^a,AtE=a,求得C4=。為定值，而在翻折過程中，

C4的長(zhǎng)是一直變化的，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：在平面ABC。中的射影為AC,AC與不垂直，

；.AiC與。E一定不垂直，可得③不正確.

對(duì)于④：由①知，MFUDAx,BFIIDE,

，平面M8F//平面AQE,

〃平面AQE,故④正確.

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：反證法證偽會(huì)簡(jiǎn)化解題步驟，熟練使用線線，線面關(guān)系的性質(zhì)，來判斷線線，線面關(guān)系.

11.如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB=后，。為直角邊BC上的一點(diǎn)（異于8,C）,將AACD沿直

線AO折疊至A4CQ的位置，使得點(diǎn)G在平面池外，且點(diǎn)G在平面加上的射影”在線段4B上，設(shè)

AH=x,則x的取值范圍是.

【答案】友/J

【分析】

過點(diǎn)。作于M,連接“。.設(shè)=8=f則34=&-x，BD=l-t,在RdC、DH與RtMIDM

中，根據(jù)“。2=”/2+加￡>2=a。2-?42，f>x=—,從而求解即可.

1+r

【教師】

連接C”交A￡>于G,連接GG,HD,過點(diǎn)。作￡>M_LAB于M.

設(shè)4/=x,CD=f則84=拒-x，BD=\-t,

???在等腰直角三角形ABC中，斜邊A3=&.

AC=BC=1,ZACB=9(),ZB=45

CQ=Cr)=，G(O,l),AG=4C=1,N4Go=90.

?點(diǎn)G在平面加上的射影H在線段AB上.

平面

CtH_LABC.

則毋=>/^

AH<ACt=],6〃=*2-7.

在中22

RfAGO"HZ)?=C]￡>2_C1//2=r-(l-x)

在Rt^BDM中8例=OM=券8。=干(1t)

在RtMDM中HM=BH-BM=(>/2-x)-^(l-Z)

■BT6丫

HD2=HM2+MD2=(V2-X)-—(1-r)+^y-(l-r)=r2-(l-x2)

貝I]+=0,即x=

vre(0,1)

與x<?則x的取值范圍是

故答案為：(咚

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何求線段長(zhǎng)度的取值范圍，屬于較難的一道題.

12.如圖，直角梯形A8CD中，AD//BC,AB1BC,BC=3AB,AD=2AB,E為A。的中點(diǎn).把A4BE折

起，使A至4,若點(diǎn)尸是線段CA'上的動(dòng)點(diǎn)，則有下列結(jié)論:

①存在點(diǎn)P,使。尸〃平面A8E;

②對(duì)任意點(diǎn)P,使。P與4E成異面直線；

③存在點(diǎn)A',使AB_L平面ABE；

④存在點(diǎn)4,使A'8_L平面A7)E.

其中不正確的序號(hào)是

【答案】②③④

【分析】

利用線面平行的判定定理可判斷①；根據(jù)空間直線之間的位置關(guān)系即可判斷②；根據(jù)線面垂直的判定定理

可判斷③，④.

【教師】

解：對(duì)于①，取C8的三等分點(diǎn)M,使CM=28M,

當(dāng)C尸=2班時(shí)，有KB//PM.又DE//aW,

二四邊形阻）M為平行四邊形，則。M〃8E,

故平面ABE//平面尸DW,而￡>Pu平面P/W,則DP//平面A'3E，因此①正確;

對(duì)于②，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)火重合時(shí)，與4E共面，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若平面ABE，則A8垂直于平面內(nèi)的任何直線，而NABE=45。，

二A8不垂直于平面A'BE，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若A'B_L平面A力E，則A8_LA4，，而AB=AB,

顯然在自△8/VA中不成立，故④錯(cuò)誤.

綜上可得：②③④錯(cuò)誤.

故答案為：②③④

二、單選題

13.己知直線〃?，h,c和平面a,下列條件中，能使機(jī)，a的是（）

A.mLb,mVc,bVa,c_LaB.mVb,b//a

C.mDb=A,6_LaD.m//b,bVa

【答案】D

【分析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理一一判斷可得；

【教師】

解：對(duì)于A：mLc,b-La,c±a,則"，與a可能平行或機(jī)ua,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：mLb,b//a,則m與a可能平行或相交或機(jī)ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：mHb=A,bla,則m與a可能平行或相交或，nua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由線線平行及線面垂直的判定知選項(xiàng)。正確.

故選：D

14.已知兩條不同的直線/,〃?和兩個(gè)不同的平面a,夕，有如下的命題：

①若/ua,%ua,////?,〃〃/尸，則a//￡；

②若/ua,///夕，a[}p=m,貝

③若a”，則/，a,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】B

【分析】

由面面平行得①錯(cuò)誤，由線面平行的性質(zhì)定理可得②正確，由空間線面關(guān)系得③正確，得解.

【教師】

解：對(duì)于①，若/ua,，〃ua,〃/〃，mllp,則a〃4；①錯(cuò)誤，還需=故①錯(cuò)誤,

對(duì)于②，若/ua,〃/￡,噌夕"，由線面平行的性質(zhì)定理得：/〃加；故②正確，

對(duì)于③，若a//,則/_La,故③正確.

故選：B.

15.如圖，ABCD-A.B^D,為正方體，則以下結(jié)論:①30〃平面CBQ您4。-3,③AG，平面C8a.其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

D.3

【答案】D

【分析】

對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知80〃用已，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于②，由正方體的性質(zhì)可

得AC_LB￡>,再結(jié)合三垂直線定理可得結(jié)論；對(duì)于③，由正方體的性質(zhì)可得AG八BR,AC,CB,,從而

可由線面垂直的判定定理得到結(jié)論

【教師】

由正方體的性質(zhì)得，BDUBQ、,所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：8。//平面C4A；所以①正確.

由正方體的性質(zhì)得AC180,因?yàn)锳C是A&在底面ABC。內(nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：AC,±BD,

所以②正確.

A

由正方體的性質(zhì)得由②可得AG所以AGBB，同理可得AG八CBt,進(jìn)而結(jié)合線面

垂直的判定定理得到：AG，平面CB|R,所以③正確.

故選：D.

16.如圖，在矩形ABCZ）中，AB=2AD,E為邊A8的中點(diǎn)，將沿直線QE翻折成△A.DE.若M為

線段AC的中點(diǎn)，則在組翻折過程中，下列結(jié)論中正確的有：（）

①總存在某個(gè)位置，使CE_L平面AQE；

②總有3M//平面A。。

③存在某個(gè)位置，使OE^AC.

A.①②B.C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

對(duì)于①，由線面垂直的判定可以判斷；對(duì)于②，根據(jù)面面平行證明線面平行；對(duì)于③，由線面垂直來判斷.

【教師】

在①中，總存在某個(gè)位置，使CE,平面AOE,①正確;

在②中，取CO中點(diǎn)尸，連接“/，BF,則M尸〃AQ且=FB//ED旦FB=ED,

由MF〃A。與RB//￡E>,可得平面MB尸〃平面AIDE,

二總有BM//平面AtDE,故②正確；

在③中，A。在平面ABC。中的射影為AC,AC與OE不垂直，

.?.OE與AC不垂直，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

17.在正方體中，下列判斷正確的是（）

A.4（?_1面4用口B.AC,面A4G。C.48,面A8QD.AtB1ADt

【答案】A

【分析】

在正方體488-A8C。中，ACJBR,根據(jù)線面垂直判斷定理和性質(zhì)可證得ACJ?旦口，同理

A,C1AB,,可證得ACJ.平面AqR,可判斷A、B選項(xiàng)；

連接RC,AC,則乙4RC為AB與4。所成角，由此可判斷C、D選項(xiàng).

【教師】

在正方體ABC。-A與GO中，AG_LBQ,

又CQ工BQ、,且AGp|CG=G,.?.用平面ACC，則

同理ACLA4,則4。，平面AS。，故A正確，B不正確；

連接。C，AC,則NARC為A/與AR所成角，為60。，故C、D不正確.

故選：A.

18.在下面四個(gè)正方體ABCD-AB'C'D中，點(diǎn)M、N、P均為所在棱的中點(diǎn)，過M、N、P作正方體截

面,則下列圖形中，平面MNP不與直線4C垂直的是（）

【分析】

利用線面垂直的判定定理可判斷BCD選項(xiàng)，利用假設(shè)法推出矛盾，可判斷A選項(xiàng).

【教師】

對(duì)于A選項(xiàng)，連接B'C,假設(shè)ACJL平面MNP,

在正方體A8CD—A'B'C'￡)‘中，A'B'_L平面BQC'C,8'Cu平面58'C'C,AB'±B'C,所以，VA'3'C為

直角三角形，且NA'CB'為銳角，

因?yàn)椤?、N分別為BB'、BC的中點(diǎn)，則MN//BC,所以，MN與AC不垂直，

這與A'CJ_平面MNP矛盾，故假設(shè)不成立，即AC與平面MVP不垂直；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接377、A'C,如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅蜛B'C'D為正方形，則AC」氏D',

■,CC'A-平面AB'C'D,u平面A'B'C'iy,CC±B'D',

vA'C'C\CC'=C,_L平面ACC,

ACu平面ACC,AC±B￡>.

-.-M,尸分別為A?、AD的中點(diǎn)，則,可得MPLAC,

同理可證A'C_LMN,

MPcMN=MA'C_L平面MNP；

對(duì)于C選項(xiàng)，連接C'。、A'N、CN、A'P.PC,取Ab的中點(diǎn)E,連接C'E、PE,

因?yàn)樗倪呅蜟C。。為正方形，則C0LCZ),

A'DJ_平面CCT/O,C'E>u平面CCT/O,:.C'D±A'D',

S'nAD=CO，平面A'CD',

?rM、N分別為。。、。'￡)’的中點(diǎn)，二加代〃0；.從。，加,

B'------------------C

在正方形A'B'C'D中，E、N分別為A?、C力的中點(diǎn)，，AE〃C'N且4E=C'N,

所以，四邊形A'EC'N為平行四邊形，所以，NNHCE豆KN=CE,

同理可證四邊形CCEP為平行四邊形，C￡〃CP且CE=CP,

所以，XNHCP旦NN=CP,所以，四邊形APCN為平行四邊形，

易彳導(dǎo)A'N=CN,所以，四邊形4PCN為菱形，所以，A'CYPN,

?;MNCPN=N,平面MNP；

對(duì)于D選項(xiàng)，連接AC、BD,

因?yàn)樗倪呅?3co為正方形，則ACL8O,

?.?A4'_L平面A8CD,8。匚平面488,.?.44'_1_8￡),

?.?ACcA4'=A,.?.8。，平面A4'C,

?.?ACu平面A/C,AC1BD,

?.?〃、N分別為C。、8c的中點(diǎn)，則MW/BD,-.ACA.MN,同理可證AC_LMP,

,:.A'CmMNP.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明線面垂直的方法：

一是線面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；

三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、

線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；

另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平

分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長(zhǎng)度,

經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等.

19.如圖甲所示，在正方形ABC。中，E尸分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿尸及EF

把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使3、C、。三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，，如圖乙所示，那么，在四面體

A-EEH中必有（）

C.”9所在平面D.所在平面

【答案】A

【分析】

由已知條件可得AHLHF,再由線面垂直的判定定理可得AH_L平面,從而可判斷A,B

選項(xiàng)；由已知可得所_L平面H4G,從而得平面H4G，平面AEF,進(jìn)而可對(duì)C,D選項(xiàng)進(jìn)行判斷

【教師】

根據(jù)折疊前、后4/HE,48_1所不變，二人〃_1平面瓦77,A正確；

,過A只有一條直線與平面￡777垂直，8不正確；

VAGLEF,EF_LA〃，平面H4G,.,.平面H4G_L平面A￡F,過〃作直線垂直于平面,一定

在平面H4G內(nèi)，

.1C不正確：

???"6不垂直于47,，〃6，平面4口不正確，。不正確.

故選：A

20.如下圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①BM//平面AQE；②力E_LBN；③平面

BDM”平面AFN；④A〃_L平面8DE.以上四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

【答案】A

【分析】

把正方體的平面展開圖還原成正方體A8CA-EFMN,得出8M〃平面AEWE,判斷①正確；由連接AN,則

AN//BM,又ED工AN,判斷②正確；由BD〃/得出BO〃平面AFN,同理〃平面AFM證明平面

80M〃平面AFN,判斷③正確；由MCJ_8D,EDLAM,根據(jù)線面垂直的判定，判斷④正確.

【教師】

把正方體的平面展開圖還原成正方體ABC4-EFMM如圖1所示；

對(duì)于①，平面2CMF〃平面ADVE,BMu平面BCMF,

...BAf〃平面AONE,①正確；

對(duì)于②，如圖2所示，連接4N,則AN〃8M,又ED1AN,所以②正確；

對(duì)于③，如圖2所示，

BD//FN,BOC平面AFN,FNu平面AFN,〃平面AFN；

同理8M〃平面AFN,且...平面〃平面4FM③正確；

對(duì)于④，如圖3所示，連接4C,則8DLAC,又MC_L平面ABC。，8/）u平面ABC。，

所以用C_L8￡>,XAC?MCC,所以8O_L平面ACM,所以8￡>_L4M,

同理得EDL4M,ED^}BD=D,所以AM,平面8￡>E,...④正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于展開空間想象，將正方體的平面展開圖還原，再由空間的線線，線面,

面面關(guān)系及平行，垂直的判定定理去判斷命題的正確性.

21.四棱柱的底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)尸是側(cè)棱。。的中點(diǎn)，M=2,AB=1,

若點(diǎn)Q在側(cè)面BCC,BI（包括其邊界）上運(yùn)動(dòng)，且總保持AQLBP,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）

B

D.'

G

【答案】D

【分析】

利用正方體的性質(zhì)可得體對(duì)角線垂直于平面ACM,進(jìn)而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

【教師】

正四棱柱ABCO-ABCA截去下半部分，剩余部分為正方體，

如圖所示：連接AC,CM,4W,8N,

由正方體性質(zhì)易知AM_L3N,NP_L平面ABA/N,

所以AW_L8N,NPA.AM,

因?yàn)锽NCNP=N,所以40，平面切VP,

所以同理可得MCLBP,

因?yàn)?M,

可得8Pl,平面ACM,

M

即動(dòng)點(diǎn)2在側(cè)面BBCC（包括其邊界）上的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段CM

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的軌跡問題，本題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造正方體，使得BP為正方體的體對(duì)角線，進(jìn)而易

知8尸，平面ACM,進(jìn)而得其軌跡.考查空間思維能力，是中檔題.

21

22.如圖所示，在正方體ABCQ-A耳CR中，E、F分別在AQ、4C上，且=§，4/=§47.則（）

A.EF至多與A。、AC之一垂直B.EF是AQ、AC的公垂線

C.EF與8。相交D.EF與異面

【答案】B

【分析】

延長(zhǎng)AE與力。交于點(diǎn)G,連接30與AC交于點(diǎn)。，連接G0,證明EF〃GO〃￡）［8,D,B,AC1D.B,

得到答案.

【教師】

如圖所示：延長(zhǎng)AK與交于點(diǎn)G,連接BO與AC交于點(diǎn)。，連接GO.

2|

4￡=-A^-根據(jù)AME~AGQE知OG=mM，G為。。中點(diǎn).

BO與AC交于點(diǎn)。，AF=^AC,故AAEF?A4G9,故E尸〃GO〃"B.

易知平面RA8,R8u平面故同理ACLRB.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.

三、解答題

23.如圖，在直三棱柱ABC-481cl中，ABLAC,AB=AAi,ABiHA\B=M.求證：Ai8J_平面MAC.

【答案】證明見教師

【分析】

依題意可得4田，AM,AC1A4.,即可得到4C,平面A2B4,由線面垂直的性質(zhì)得到AC1A4,即可

得證；

【教師】

證明：因?yàn)樵谥比庵鵄BC-4BC1中，AB1.AC,AB=AAi,AiBQABt=M,

所以AiB_LAM,ACLAAi,

因?yàn)锳BnA4i=A,所以AC_L平面ABBiAi,Agu平面A881A

所以ACLAB,

因?yàn)锳MClAC=A,AM,ACu平面M4c

所以A|B_L平面MAC.

24.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，四邊形A8CD是ND4B=60。且邊長(zhǎng)為a的菱形，△PAD

為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，G為AD的中點(diǎn).求證：

(1)8Gl.平面PAD-,

(2)ADLPB.

【答案】(1)證明見教師；(2)證明見教師.

【分析】

(1)利用正三角形的性質(zhì)得尸GJ.AO,由面面垂直的性質(zhì)定理得得線面垂直，從而有線線垂直，PGLBG,

再由菱形得正三角形，得由純平面垂直判定定理可證結(jié)論；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上可得與平面PBG垂直，從而得證線線垂直.

【教師】

(1)由題意知△出力為正三角形，G是AO的中點(diǎn)，

：.PG±AD.

又平面B4￡>_L平面ABCD,平面平面ABCD=AD,PGu平面PAD,

平面ABC。，又BGu平面48CD,

：.PG±BG.

又,:四邊形ABCD是菱形且ZD4B=60。，

.'.△ABO是正三角形，：.BG±AD.

又A￡)nPG=G,AD,PGu平面抬￡),

.*.BG_L平面PAD.

(2)由(1)可知BG_LA￡>,PGLAD,BGC\PG=G,BG,尸Gu平面PBG,

.?.AQ_L平面PBG,

又PBu平面尸BG,.?.A￡>_LP8

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，解題時(shí)掌握定理的條件是解題關(guān)鍵，一般需要把定

理的條件全部羅列出來，才能得出結(jié)論，否則解題過程不完整，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.證垂直時(shí)注意線線垂直、

線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化.

25.如圖，在三棱錐P-ABC中，PAJ?平面ABC,底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC^4,。是棱AC

的中點(diǎn)，G是AAQB的重心，。是雨的中點(diǎn).

（1）求證：平面E4B；

（2）求證：10G〃平面PBC；

【答案】（1）證明見教師；（2）證明見教師.

【分析】

（1）由線面垂直推出「4,8。，由直角三角形推出ABL8C,即可證明線面垂直；（2）連結(jié)0G并延長(zhǎng)交45

于點(diǎn)￡,連結(jié)Q。，DE,通過證明。￡//平面尸8C、。0〃平面P8C證明平面。0E〃平面PBC,從而推出

線面平行.

【教師】

（1）證明：?.?E4JL平面48C,且BCu平面ABC,J.E4_LBC,

??,底面48c是直角三角形且AB=8C,.?.AB1.8C,

又R4u平面以B,A8i平面以B,PA[}AB=A,

■■■BC_L平面

（2）證明：連結(jié)0G并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)￡,連結(jié)OO,DE,

??,6是。。8的重心，,OE為A3邊上的中線，E為A3邊上的中點(diǎn),

又有。為E4邊上的中點(diǎn)，DE//PB,

PBu平面PBC,DEH平面PBC,

同理可得。0〃平面PBC,

又?.?￡>￡?<=平面。OE,￡>Ou平面。OE,DEcDO=D,

平面OOE〃平面PBC,

又有ZXJu平面￡>OE,..DG〃平面PBC

26.如圖，在正三棱柱中，若AB=^BB、,AD=DC,試證明:

(1)44〃平面BCQ；

(2)ABt1fiC,.

【答案】(1)證明見教師；(2)證明見教師.

【分析】

(1)連接BC交BG于點(diǎn)E,連接DE,則E為8c的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可得OE/AAB1,再利用線面

平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)取8c中點(diǎn)尸，連接AF、B、F,證明出BQ,平面AB7,進(jìn)而可證得4百，8G.

【教師】

(1)連接AC交BG于點(diǎn)E,連接OE,

在正三棱柱ABC-A4G中，四邊形8與GC為平行四邊形，且BCC|BG=E,則E為5c的中點(diǎn)，

又QO為AC的中點(diǎn)，所以AB//OE,

又Aga平面8G。，DEu平面8CQ,所以A8//平面BCQ；

(2)取BC中點(diǎn)F,連接A尸、BtF,設(shè)gFnBG=。，

在正三棱柱ABC-A,BC中，8片，平面ABC,

AFu平面，4尸-LBB],

為正三角形，且尸為BC的中點(diǎn)，??.AFJ.8C,

???54nBC=3,「.AF，平面33CC，

???BQu平面BB'GC,AF±BC\,

在側(cè)面BCC冉中，BC=^BB',尸是8C的中點(diǎn)，.?.暮=號(hào)=瞿,

BB、281G

又NBQF=NBB￡=90,所以，Rt^BB.Q~Rt^FBB,,

NBFB，=ZB,BC,,所以，ZBFBt+NCBC,=ZB,BCt+ZCBC,=90,

Z.BOF=90°.所以8G，AF,

vAF^B,F=F,所以，8Gl面AB/,

因?yàn)锳Au平面ABtF,所以BC、1AB,.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：證明線面垂直的方法：

一是線面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；

三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、

線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；

另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平

分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長(zhǎng)度,

經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等.

27.如圖，已知正方體ABCD-ASGA

（2）M,N分別為81D1與Ci。上的點(diǎn)，且MNLCiD,求證：MNHAxC.

【答案】（1）證明見教師：（2）證明見教師

【分析】

（1）由線面垂直的判定定理可證平面4GC,從而BQi,4c.

（2）垂直于同一平面的兩直線平行，先證出MN_L平面AB出和AiC_L平面從而AC//MN.

【教師】

（1）如圖，連接4G.

因?yàn)镃CJ_平面A\B\C\D\,BiOiU平面A\B\C\D\,

所以CGIBiDi.

因?yàn)樗倪呅问钦叫危?/p>

所以AiC_LBA.

又因?yàn)镃C￡AIG=CI,

所以8Qi_L平面AGC.

又因?yàn)锳iCu平面ACC,所以8QiJ_AC.

（2）如圖，連接如A,ADi.

因?yàn)?/p>

所以四邊形AOGB為平行四邊形,

所以CiDHABi,

因?yàn)镸N_LG。，所以MN_LABi.

又因?yàn)镸N_LBQi,Abn8Q=3,

所以MML平面ABiOi.

由⑴知4c

同理可得4CJ_ABi.

又因?yàn)锳8n8i￡)i=Bi,

所以ACJ_平面ABIOI.

所以AC//MN.

【點(diǎn)睛