數(shù)字信號處理 - DFT的性質(zhì)

數(shù)字信號處理Lecture7:PropertiesofDiscreteFourierTransformationTuesday,October15,20242DFT的性質(zhì)Tuesday,October15,20243已知：線性特性：a、b為任意常數(shù)DFT的性質(zhì)周期性：Tuesday,October15,20244循環(huán)移位特性特性1：時域中循環(huán)移位引起頻域產(chǎn)生相移Proof：Tuesday,October15,20245循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時域相移Proof：Tuesday,October15,20246循環(huán)移位特性特性2：頻域中循環(huán)移位引起時域相移Tuesday,October15,20247Parseval定理平均功率功率密度譜P141，Ex3-9頻域計算方法時域計算方法Tuesday,October15,20248復(fù)序列DFT的對稱性

復(fù)序列可以寫成實部與虛部的和復(fù)序列也可以寫成周期共軛對稱與周期共軛反對稱的和Tuesday,October15,20249

復(fù)序列的共軛分解10證明：復(fù)序列DFT的對稱性性質(zhì)1：復(fù)序列x(n)共軛的DFT等于序列DFT共軛的循環(huán)折疊11性質(zhì)2：證明：復(fù)序列x(n)的共軛做循環(huán)折疊后的DFT是原序列DFT的共軛復(fù)序列DFT的對稱性12證明：性質(zhì)3：復(fù)序列x(n)實部的DFT等于序列DFT的周期共軛對稱分量復(fù)序列DFT的對稱性13推論3：實序列x(n)的DFT即X(k)是周期共軛對稱序列性質(zhì)3：復(fù)序列x(n)實部的DFT等于序列DFT的周期共軛對稱分量復(fù)序列DFT的對稱性14證明：性質(zhì)4：復(fù)序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對稱分量復(fù)序列DFT的對稱性15推論：純虛數(shù)序列的DFT是一個周期共軛反對稱序列性質(zhì)4：復(fù)序列x(n)虛部的DFT等于序列DFT的周期共軛反對稱分量復(fù)序列DFT的對稱性16性質(zhì)5：性質(zhì)6：復(fù)序列DFT的對稱性Tuesday,October15,202417實序列的DFT對稱性

Niseven周期共軛對稱性（循環(huán)折疊=共軛）：注意DTFT的共軛對稱性（折疊=共軛）：推論3Tuesday,October15,202418例7.1已知連續(xù)時間信號x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Solution：Tuesday,October15,202419例7.1已知連續(xù)時間信號x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Solution：利用DFT的對稱性，8點DFT只需計算前4個點的值Tuesday,October15,202420分析頻率：例7.1已知連續(xù)時間信號想x(t)，設(shè)定采樣頻率為8000Hz，求采樣序列x(n)，計算8點DFT并畫出頻譜和DFT的實部與虛部，計算分析頻率。Tuesday,October15,202421DFT的應(yīng)用一計算長度為N的兩個實序列x(n)和y(n)的DFT，利用實序列DFT的對稱性質(zhì)，只需做一次DFT，同時得到兩個序列的DFT變換值1.兩個實序列構(gòu)造一個復(fù)序列2.復(fù)序列共軛分解3.實序列DFT用共軛分解的形式表達Tuesday,October15,2024225.把上述結(jié)論代入第3步的線性方程組，得到結(jié)論：DFT的應(yīng)用一4.求復(fù)序列的DFTTuesday,October15,202423例7.2已知兩個序列，計算各自的DFTSolution：1.兩個實序列構(gòu)造一個復(fù)序列2.求復(fù)序列的DFT3.利用對稱性質(zhì)求解兩個序列的DFTTuesday,October15,202424例7.2已知兩個序列，計算各自的DFTSolution：Tuesday,October15,202425序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）兩個長為N的序列x(n)及h(n)，N點循環(huán)卷積定義為計算過程：將其中一個序列如h(i)進行循環(huán)折疊；將折疊后的序列循環(huán)移位n；移位后的序列取樣值與另一序列的取樣值對應(yīng)相乘;將所有乘積求和；NTuesday,October15,202426序列的循環(huán)卷積（CircularConvolution）定理：如果將序列x(n)及h(n)進行周期拓，則循環(huán)卷積也可表示為延拓后兩個周期序列線性卷積取主值：N兩個長為N的序列x(n)及h(n)，N點循環(huán)卷積定義為Tuesday,October15,202427循環(huán)卷積的矩陣計算方法NinTuesday,October15,202428線性卷積的矩陣計算方法線性卷積：Tuesday,October15,202429例7.3已知兩個序列，計算他們的線性卷積和3點循環(huán)卷積Solution:3點循環(huán)卷積線性卷積長度為5Tuesday,October15,202430卷積定理時域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對時域卷積定理NN這一定理給出了一種求時域循環(huán)卷積的方法：求的兩個序列的DFT；兩個DFT逐項相乘；對乘積求IDFTTuesday,October15,202431例7.3已知兩個序列，計算他們的線性卷積和3點循環(huán)卷積Solution:1.計算DFT2.計算頻域乘積3.計算IDFTTuesday,October15,202432卷積定理時域循環(huán)卷積與頻域DFT乘積構(gòu)成變換對時域卷積定理NN頻域循環(huán)卷積與時域乘積也構(gòu)成變換對頻域卷積定理NTuesday,October15,202433DFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積設(shè)x(n)和h(n)分別為長度為L和M的有限長序列，他們的線性卷積長度為N=L+M-1，現(xiàn)對x(n)和h(n)分別補零，使得兩個序列的長度都變?yōu)镹，補零后的序列如下：此時，這兩個序列可以進行循環(huán)卷積：34循環(huán)卷積是線性卷積的周期為N的延拓在主值區(qū)間上，xN(n)和hN(n)的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等，因此可以用循環(huán)卷積來計算線性卷積！NTuesday,October15,202435操作如下：周期延拓；折疊；移位；在[0,N-1]內(nèi)取出一個周期；兩個序列xN(n)和hN(n)補零使得長度相等，他們的循環(huán)卷積與x(n)和h(n)的線性卷積相等！從圖中可以看出，對于循環(huán)移位和循環(huán)折疊序列等效于折疊周期序列后者又可以用取代DFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積Tuesday,October15,202436P174

Ex3-15取N=4Solution:第一步：補零補M-1個零補L-1個零N點DFTN點IDFTN點DFTDFT的應(yīng)用二：用循環(huán)卷積計算線性卷積Tuesday,October15,202437第二步：求DFT第三步：逐項相乘Tuesday,October15,202438第四步：求IDFT直接計算卷積：Tuesday,October15,202439DFT的應(yīng)用三：計算分段卷積必要性：數(shù)字信號處理中，需要處理的輸入信號序列很長，濾波器的沖擊響應(yīng)長度有限；采樣與存儲需要大量的時間和硬件緩存器；輸入數(shù)據(jù)需要實時處理；解決方案：把輸入數(shù)據(jù)截斷，依次與濾波器沖擊響應(yīng)求卷積，利用卷積的線性疊加特性在重新組合，得到完整的卷積和*輸入序列濾波器沖擊響應(yīng)=期望的輸出序列Tuesday,October15,202440DFT的應(yīng)用三：計算分段卷積設(shè)有兩個序列：對長序列進行等間隔截斷：利用卷積的線性疊加特性：Tuesday,October15,202441DFT的應(yīng)用三：計算分段卷積設(shè)有兩個序列：第i段卷積和：自變量n取值范圍是iL~(i+1)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL~iL+L+M-2第i+1段卷積和：自變量n取值范圍是(i+1)L~(i+2)L-1自變量n取值范圍是0~M-1n取值范圍是iL+L~iL+2L+M-2Tuesday,October15,202442DFT的應(yīng)用三：計算分段卷積卷積和最后M-1個點與開始的M-1個點重合，重疊范圍是：重疊相加法:Tuesday,October15,202443DFT的應(yīng)用三：計算分段卷積最后M-1個點的數(shù)值不是卷積和的真實值。的部分，因此由于被截斷，在第i段卷積和n取值范圍：