流體力學第7章不可壓縮流體動力學基礎

第七章不可壓縮流體動力學基礎一、流體微團運動（1）平移（2）線變形（3）角變形（4）旋轉變形?????zyxuuu??????????????????zuyuxuzzyyxx??????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx??????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???流體質點運動表達式式中，①項——平移速度分量；③、④項——旋轉運動所引起的速度分量；②、⑤、⑥項——角變形、線變形所引起的速度分量。亥姆霍茲速度分解定理???????????????????????dydxdydxdzuudxdzdxdzdyuudzdydzdydxuuxyxyzzzzxzxyyyyzyzxxx???????????????000第二節(jié)有旋流動與無旋流動一、定義物理特征：流體微團（質點）繞自身軸旋轉，稱為有旋（渦）流動，反之，為無旋（渦）流動。數(shù)學表達，有旋流無旋流0,0,0???zyx???0,0,0???zyx???二、無旋流（無渦流）有分析數(shù)學可知式成立，流場中一定存在一個函數(shù)函數(shù)稱為流速勢函數(shù)。??????????????????????????????0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzxyz),,,(tzyx???????????????????zyxuzuyux????流速勢函數(shù)的二階偏導，即流速的偏導因為函數(shù)的導數(shù)值與微分次序無關，所以式成立，一定存在一個勢函數(shù)，所以，無旋流又稱為勢流。yxyux???????xyxuy???????xuyuyx?????0?z?????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzxyz?0,0,0???zyx???三、有旋流（有渦流）從幾何意義上描述，有渦線、渦束、渦管等概念。這些概念與流線雷同。表征渦流的強弱，有渦通量（漩渦強度）、速度環(huán)量。（一）渦線定義，某一瞬時，在渦（流）場中，有一條幾何曲線，在這條曲線上，各點處的質點（微團）的旋轉角速度的矢量都與該曲線相切。與微小流束相似，渦線為光滑曲線，不是折線、兩條渦線不相交。（二）渦束、渦管：在渦流場中，取一微小面積，圍繞這個微小面積作出的一束渦線——微小渦束。??????????????????????????????0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???（三）渦通量（1）渦量定義：渦量旋轉角速度矢量渦量是空間坐標和時間的矢性函數(shù)，有渦流則構成一個矢量場，也稱為渦量場。????????????????????????????)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx???),,,(tzyx?kjizyx?????????2??????????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx哈米爾頓算子是一個矢性微分算子與對照。?zyxuuuzyxkiiu?????????kyuxujxuzuizuyuxyzxyz)()()(??????????????????u????kjizyx?????????2??????????????????????????????yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx（2）渦量的連續(xù)性方程由數(shù)學分析知上式表明，渦量的散度等于0，即（7-2-5）式（7-2-5）為渦量的連續(xù)性方程。0)(?????????u0????????????zyxzyx?（3）渦線微分方程對于一條渦線，流體質點的旋轉角速度矢量與渦線相切，即旋轉角速度矢量與渦線方向一致。取一微分段，微分段在空間坐標上的分量與旋轉角速度矢量在空間坐標上的分量成正比。即（7-2-6）式（7-2-6）為渦線微分方程。zyxdzdydx?????ds（四）渦通量微小渦束上各點處的旋轉角速度可認為是相等的,若微小渦束，其橫斷面積，旋轉角速度為微小渦束的渦通量（漩渦強度）為。也可以表示為：渦通量的符號：dA?dA?dAn?J??????????????AAzyxnAdxdzdxdydzdAdAJ)(有旋流重要運動特征：同一瞬時，通過同一渦管各截面的渦量相等，及渦通量為常數(shù)，則或（7-2-9）式（7-2-9）表明，渦管截面積愈小，流體的旋轉角速的愈大。有旋流：流體的流場是渦量場，也是速度場，渦線、渦管、渦通量，與流速場的流線、流管、流量對應。dAdAAnAn?????212211AA???2211AA???五、速度環(huán)量在流體力學中也常用速度環(huán)量，來表征渦流的強弱。——速度矢量——封閉周線——流速矢與切線的夾角速度環(huán)量即速度環(huán)量的和數(shù)的極限，即沿封閉曲線的積分。u?S??ndsu1cos?速度環(huán)量符號：切向速度與所周線繞行方向相同，速度環(huán)量為正值，反之為負。?dsdsuudsudsussn?????????),cos(coscoslim1??????????szyxsdzudyudxudsu)(（一）斯托克斯定理斯托克斯公式：或寫為：即???????????????????????????????Ayxzxyzszyxsdxdxuyudzdxxuzudydzzuyudzudyudxudsu)()()()(dAdAdAdAdsuAnAzzyyxxs????????????)(AsJ??（二）湯姆遜定理對于無渦流，存在流速勢函數(shù)，當流速勢為單值時，在無渦流空間畫出的封閉周線上的速度環(huán)量都等于0。湯姆遜定理：在理想流體的渦量場中，如果質量力具有單值的勢函數(shù)，那么，沿由流體質點所組成的封閉曲線的速度環(huán)量不隨時間變化。結論：利用速度環(huán)量也可以判斷有渦流與無渦流。0??dtd推論：根據(jù)斯托克斯定理，沿曲線的速度環(huán)量等于以該曲線為成都曲面的渦通量。速度環(huán)量不隨時間變化意味著渦通量也不隨時間變化。具有單值勢函數(shù)的理想流體，如果某一時刻為有旋流，則總是有旋流。如果某一時刻為無旋流，則永遠是無旋流。即流體的渦旋具有不生、不滅的性質。第三節(jié)不可壓縮流體連續(xù)性微分方程1.流體運動的連續(xù)性微分方程的建立中心點流速前面：后面：密度：),,(zyxuuA?2dxxuuxx???2dxx?????2dxxuuxx???2dxx?????dt時段從后面流入的流體質量為dt時段從前面流出的流體質量為規(guī)定流入為正，流出為負，dt時段從前后面流入流出的質量差為dydzdtdxxuuxxx)2)((????????dydzdtdxxuuxxx)2)((????????dxdydzxudxdydzdtxuxuxxx??????????)()(???同理，在另外兩個對應面流入流出的質量差為Y向：Z向：Dt時段內，從微分六面體各個面流入流出質量差為Dt時段內，微分六面體內質量的變化dxdydzdtyuy???)(?dxdydzdtzuz???)(?dxdydtdxdydzdtdxdydzdtt???????????)(dxdtdzdtzuyuxuzyx???????????????)()()(???同一時段內，流入流出六面體總的流體質量的差值=六面體內因密度變化所引起的質量變化?？蓧嚎s流體非恒定流的連續(xù)性微分方程dxdydzzuyuxudxdydzdttzyx??????????????????)()()(????0)()()(??????????????????zuyuxutzyx????對于不可壓縮流體：不可壓縮均質流體的連續(xù)微分方程物理意義：體積守恒（質量守恒）0?????????zuyuxuzyxconst??0?udiV第四節(jié)理想流體運動方程及其積分思路：理想流體實際流體1.理想流體特征（1）理想流體不具有粘滯性：（2）理想流體動水壓強的特性:（同實際流體）（3）作用在理想流體上的表面力：僅有正壓力無切向力。2.理想流體運動微分方程的建立0??中心點壓強沿x方向的表面力（前）（后）沿x方向的質量力:),,(zyxPdydzdxxpp)21(???dydzdxxpp)21(???dxdydzX?歐拉運動微分方程（推導）dtduzpZdtduypYdtduxpXzyx???????????????111?3.實際流體的運動微分方程(N-S方程)(7-6-3)式中為粘性項.為拉普拉斯算子???????????????????????????dtduuzpzdtduuypYdtduuxpXzzyyxx222111??????u2??2?2222222zyx??????????4.理想流體運動微分方程的積分對于理想流體運動微分方程，一般質量力已知，密度已知，所以該方程有4個未知量，與連續(xù)性微分方程聯(lián)立，4個方程，4個未知量，應該可解，但是------至今仍未找到它的通解，在特殊情況下有特解。有的講義用葛羅米柯（Громеко）積分，葛羅米柯將理想流體運動微分方程進行了變換，得到了葛羅米柯方程。葛羅米柯方程也只能在質量力是有勢的條件下才能積分。工程流體力學一般用伯努利(D.Bernoulli)積分.zyxuuup,,,0?????????zuyuxuzyxzuuyuuxuutuxpXxzxyxxx????????????????1伯努利積分在以下具體條件下積分（1）恒定流（2）流體為均質不可壓縮，（3）質量力為有勢力（4）沿流線積分0????????????tptututuzyxdpdzzpdyypdxxp?????????),,(zyxWzWZyWYxWX?????????zyxudtdzudtdyudtdx???const??積分積分得：????????????????????????dzdtduzpZdydtduypYdxdtduxpXzyx???111CupW???22?當質量力只有重力時，代入上式上式為理想流體元流的能量方程(伯努利方程)實際流體元流的能量方程gZ??gdzdW??Cgugpz???22?cgupz???22?cupgz???22?'2222211122lhgupzgupz????????本章重點一、流體微團運動：平移、線變形、角變形、旋轉變形。二、有旋流與無旋流（1）無旋流（勢流）存在函數(shù)稱為流速勢函數(shù)（2）有旋流（有渦流）三、描述有渦流的概念：渦線、渦束、渦管表征渦流的強弱：渦通量（漩渦強度）、速度環(huán)量。四、渦通量(1)渦量(2)渦通量dAn?Jkjizyx?????????2?渦通量根據(jù)有旋流重要運動特征：同一瞬時，通過同一渦管各截面的渦量相等，即渦通量為常數(shù)。2211AA???????????