安徽省黃山市屯溪三中2025屆高二數(shù)學第一學期期末復習檢測試題含解析

安徽省黃山市屯溪三中2025屆高二數(shù)學第一學期期末復習檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，設函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°3．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.4．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.65．在棱長為1的正方體中，是線段上一個動點，則下列結(jié)論正確的有（）A.不存在點使得異面直線與所成角為90°B.存在點使得異面直線與所成角為45°C.存在點使得二面角的平面角為45°D.當時，平面截正方體所得的截面面積為6．中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見首日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里7．已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（）A.30 B.29C.28 D.278．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.9．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，則直線到原點的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，則“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個圓上 B.一個橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上12．已知橢圓上的一點到橢圓一個焦點的距離為3，則點到另一焦點的距離為（）A.1 B.3C.5 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________.14．如圖，莖葉圖所示數(shù)據(jù)平均分為91，則數(shù)字x應該是__________15．從1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)，其中一個作為對數(shù)的底數(shù)a，另一個作為對數(shù)的真數(shù)b.則的概率為______.16．圓與圓的公共弦長為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線，直線l與交于P、Q兩點（1）若點是雙曲線的一個焦點，求的漸近線方程；（2）若點P的坐標為，直線l的斜率等于1，且，求雙曲線的離心率18．（12分）某校高三年級進行了一次數(shù)學測試，全年級學生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為36人，請估計該校高三學生的人數(shù)19．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，為中點（1）求二面角的大??；（2）探究線段上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由20．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.21．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統(tǒng)計了他們的化學成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學生中化學成績低于50分的人數(shù)；（2）估計高二年級這次考試化學學科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學成績不及格的學生中隨機調(diào)查1人，求他的成績低于50分的概率22．（10分）已知的離心率為，短軸長為2，F(xiàn)為右焦點（1）求橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在一點M，使得過F的任意一條直線l與橢圓的兩個交點A，B，恒有，若存在求出M的坐標，若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題設易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時，在上；由時，在上遞減，值域為；令且，則，當時，，即遞增，值域為，滿足題設；當時，在上，即遞減，在上，即遞增，此時值域為；當，即時存在，而在中，此時，不合題設；所以，此時要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：由題設易知上，只需在上恒有即可.2、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D3、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B4、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.5、D【解析】由正方體的性質(zhì)可將異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，而當為的中點時，可得，可判斷A；與或重合時，直線與所成的角最小可判斷B；當與重合時，二面角的平面角最小，通過計算可判斷C；過作，交于，交于點，由題意可得四邊形即為平面截正方體所得的截面，且四邊形是等腰梯形，然后利用已知數(shù)據(jù)計算即可判斷D.【詳解】異面直線與所成的角可轉(zhuǎn)化為直線與所成角，當為中點時，，此時與所成的角為90°，所以A錯誤；當與或重合時，直線與所成角最小，為60°，所以B錯誤；當與重合時，二面角的平面角最小，，所以，所以C錯誤；對于D，過作，交于，交于點，因為，所以、分別是、的中點，又，所以，四邊形即為平面截正方體所得的截面，因為，且，所以四邊形是等腰梯形，作交于點，所以，，所以梯形的面積為，所以D正確.故選：D.6、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C7、B【解析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項共有項，其和為，∴偶數(shù)項共有n項，其和為，∴故選：B8、D【解析】根據(jù)導函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數(shù)得圖象可得：時，，所以單調(diào)遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.9、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1，則所以當時，可以為5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C10、A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由導函數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性之間關系，即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是區(qū)間上的可導函數(shù)，且導函數(shù)為，若“對任意的，”，則在上為增函數(shù)；若在上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數(shù)”；由“在上為增函數(shù)”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A11、C【解析】設動圓的半徑為，然后根據(jù)動圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設動圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點的軌跡是雙曲線的一支故選：C12、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點到另一焦點的距離.【詳解】設橢圓的左、右焦點分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【詳解】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.14、1【解析】結(jié)合莖葉圖以及平均數(shù)列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：1.15、##【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式以及對數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】的所有可能取值為，，共種，滿足的為，，共種，所以的概率為.故答案為：16、【解析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，即該直線截其中一圓求弦長即可【詳解】圓與圓兩式相減得，公共弦所在直線方程為：圓，圓心為到公共弦的距離為：公共弦長故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)題意可得，又因為且，解得，可得雙曲線方程，進而可得的漸近線方程（2）設直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得關于的一元二次方程，由韋達定理可得，，再由兩點之間距離公式得，解得，進而由可求出，即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點，∴，又∵且，解得，∴雙曲線方程為，∴的漸近線方程為：；小問2詳解】設直線的方程為，且，，聯(lián)立，可得，則，∴，即，∴，解得或，即由可得或，故雙曲線的離心率或.18、（1）（2）人【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，結(jié)合，即可求得的值；（2）由頻率分布直方圖求得落在區(qū)間內(nèi)的概率，進而求得該校高三年級的人數(shù)【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，可得，又由，可得解得；【小問2詳解】解：由頻率分布直方圖可得，成績落在區(qū)間內(nèi)的概率為，則該校高三年級的人數(shù)為（人）19、（1）（2）點為線段上靠近點的三等分點【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出點的坐標，求出兩個平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設存在，設，利用相等向量求出坐標，利用線面平行的向量法代入公式計算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，．所以，設平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因為，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問2詳解】假設在線段上存在點，使得平面，設，，，因為平面，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點，使得平面，此時點為線段上靠近點的三等分點20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進一步推得，于是設直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當過的直線與軸垂直時，，,②當過的直線不與軸垂直時，可設，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)椋?，原式變?yōu)楫敃r，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學生的計算能力和數(shù)學素養(yǎng)，解答的關鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準確計算.21、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可得化學成績低于50分的頻率為0.1，然后可求得人數(shù)為人；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求分數(shù)在第三、四、五、六組的頻率之和即可；（3）結(jié)合圖形可得“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績在這組的人數(shù)是，由古典概型概率公式可得所求概率為試題解析：（1）因為各組的頻率和等于1，由頻率分布直方圖可得低于50分的頻率為：，所以低于分的人數(shù)為（人）（2）依題意可得成績60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），其頻率之和為，故抽樣學生成績的及格率是，于是，可以估計這次考試化學學科及格率約為75%（3）由（1）知，“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績在這組的人數(shù)是（人），所以從成績不及格的學生中隨機調(diào)查1人，有15種選法，成績低于50分有6種選法，故所求概率為22、（1）；（2）存在點M滿足條件，點M的坐標為.【解析】(1)根據(jù)給定條件直接計算出即可求解作答.(2)假定存在點，當直線l與x軸不重合時，設出l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借