四川省仁壽第一中學南校區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期第二次模擬試題理

PAGEPAGE6四川省仁壽第一中學南校區(qū)2025屆高三數(shù)學下學期其次次模擬試題理一、選擇題：1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，?UA＝{1，2，5}，則集合A等于（D）A．{0，1，2} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{0，3，4}2．已知復數(shù)z滿意（2+i）z＝|4﹣3i|（i為虛數(shù)單位），則z＝（B）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．已知（1﹣x）5+（1+x）7＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5+a6x6﹣a7x7，則a1+a3+a5+a7的值為（B）A．24 B．﹣48 C．﹣32 D．724．候鳥每年都要隨季節(jié)的改變進行大規(guī)模的遷徙．探討某種鳥類的專家發(fā)覺，該種鳥類的飛行速度v（單位：m/s）與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v＝a+log2（其中a是實數(shù)）．據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為20個單位，若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少須要（C）個單位．A．70 B．60 C．80 D．755．已知數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿意，則S9＝（C）A．35B．40C．45D．506．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為（A）A．B．8C．D．47．已知在邊長為3的等邊△ABC中，＝+，則在上的投影為（）A． B． C． D．8．已知橢圓與直線交于A，B兩點，焦點F（0，﹣c），其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（A）A． B． C． D．9．下列只有一個是函數(shù)（a≠0）的導函數(shù)的圖象，則f（﹣1）＝（A）A． B． C． D．或10．已知函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0），將f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，點A，B，C是f（x）與g（x）圖象的連續(xù)相鄰三個交點，若△ABC是鈍角三角形，則ω的取值范圍為（）A．（0，π） B．（0，π） C．（π，+∞） D．（π，+∞）解：由題意可得g（x）＝cos（ωx﹣），作出兩個函數(shù)圖像，如圖：A，B，C為連續(xù)三交點，（不妨設(shè)B在x軸下方），D為AC的中點，由對稱性，則△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，AC＝T＝，由cosωx＝cos（ωx﹣），整理可得cosωx＝sinωx，可得cosωx＝±，則yC＝﹣yB＝，所以BD＝2|yB|＝，要使△ABC為鈍角三角形，只需∠ACB＜即可，由tan∠ACB＝＝＜1，所以0＜ω＜π．選：B．11．設(shè)a＝3π，b＝π3，c＝33，則（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a解：考查冪函數(shù)y＝x3在（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；由y＝3x在R上遞增，可得3π＞33，由a＝3π，b＝π3，可得lna＝πl(wèi)n3，lnb＝3lnπ，考慮f（x）＝的導數(shù)f′（x）＝，由x＞e可得f′（x）＜0，即f（x）遞減，可得f（3）＞f（π），即有＞，即為πl(wèi)n3＞3lnπ，即有3π＞π3，則a＞b＞c，故選：C．12．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左焦點和右焦點，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r2，若r1＝2r2，則直線l的斜率為（D）A．1 B． C．2 D．解：記△AF1F2的內(nèi)切圓圓心為C，邊AF1、AF2、F1F2上的切點分別為M、N、E，易見C、E橫坐標相等，則|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|﹣|AF2|＝2a，即|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，即|F1E|﹣|F2E|＝2a，記C的橫坐標為x0，則E（x0，0），于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，同樣內(nèi)心D的橫坐標也為a，則有CD⊥x軸，設(shè)直線的傾斜角為θ，則∠OF2D＝，∠CF2O＝90°﹣，在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan（90°﹣）＝，在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan＝，由r1＝2r2，可得2tan＝tan（90°﹣）＝cot，解得tan＝，則直線的斜率為tanθ＝＝＝2．二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應位置上.13．若x，y滿意約束條件，則z＝x﹣2y的最大值為2．14．《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問各幾何？”其意為：“今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢，丙帶了180錢，三人一起出關(guān)，共須要交關(guān)稅100錢，依照錢的多少按比例出錢”，則丙應出17錢（所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）．15．設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的全部頂點都在一個球面上，且球的體積是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則此直三棱柱的高是．16．已知函數(shù)f（x）＝x2cos，數(shù)列{an}中，an＝f（n）+f（n+1）（n∈N*），則數(shù)列{an}的前100項之和S100＝10200．解：∵f（x）＝x2cos，∴an＝f（n）+f（n+1）＝+，a4n﹣3＝+（4n﹣2）2＝﹣（4n﹣2）2，同理可得：a4n﹣2＝﹣（4n﹣2）2，a4n﹣1＝（4n）2，a4n＝（4n）2．∴a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n＝﹣2（4n﹣2）2+2（4n）2＝8（4n﹣1）．∴數(shù)列{an}的前100項之和S100＝8×（3+7+…+99）＝10200．三、解答題:本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．設(shè)a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．已知acosB＝bcosA+c，（1）證明：△ABC是直角三角形．（2）若D是AC邊上一點，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面積．解（1）由正弦定理acosB＝bcosA+c化為：sinAcosB＝sinBcosA+sinC，∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，∴sin（A﹣B）＝sinC，∵A﹣B∈（﹣π，π），C∈（0，π），∴A﹣B＝C或A﹣B＝π﹣C（舍）∴A＝B+C，∴．即△ABC是直角三角形．（2）在△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，由余弦定理得．∴．∴，∴AD＝AC﹣CD＝，又．∴．18．某工廠A，B兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的狀況下通過日常監(jiān)控得知，A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為p和2p﹣1（0.5≤p≤1）．（1）從A，B生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0．（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．①已知A，B生產(chǎn)線的不合格品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢1000件產(chǎn)品，以挽回損失的平均數(shù)為推斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線的挽回損失較多？②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）依據(jù)一、二、三等級分類后，每件可分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從A，B生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取100件進行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如圖：用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X，求X的分布列并估計該廠產(chǎn)量2000件時利潤的期望值．解：（1）P＝1﹣（1﹣p）（1﹣（2p﹣1））＝1﹣2（1﹣p）2．令1﹣2（1﹣p）2≥0.995，解得p≥0.95．故p的最小值p0＝0.95．（2）①由（1）可知A，B生產(chǎn)線上的產(chǎn)品合格率分別為0.95，0.9．即A，B生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品率分別為0.05和0.1．故從A生產(chǎn)線抽檢的1000件產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品大約為1000×0.05＝50件，故挽回損失50×5＝250元，從B生產(chǎn)線上抽檢1000件產(chǎn)品．不合格產(chǎn)品大約為1000×0.1＝100，可挽回損失100×3＝300元，∴從B生產(chǎn)線挽回的損失較多．②X的可能取值為10，8，6，于是P（X＝10）＝＝，P（X＝8）＝＝，P（X＝6）＝＝，∴X的分布列為：X1086P∴EX＝10×+8×+6×＝8.1元．∴該廠生產(chǎn)2000件產(chǎn)品的利潤的期望值為2000×8.1＝16200元．19．如圖所示，△ABC是等邊三角形，DE∥AC，DF∥BC，二面角D﹣AC﹣B為直二面角，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2．（1）求證：EF⊥BC；（2）求平面ACDE與平面BEF所成銳二面角的正切值．（1）證明：因為DE∥AC，DF∥BC，所以△ABC是等邊三角形，所以∠EDF＝∠ACB＝60°，又AC＝DE＝BC＝2DF＝2，在△EDF中，由余弦定理可得，，所以EF2+DF2＝DE2，故EF⊥DF，所以EF⊥BC；（2）解：設(shè)線段AC的中點為O，連結(jié)BO，DO，因為△ABC和△ACD都是等邊三角形，所以BO⊥AC，DO⊥AC，故∠BOD即為二面角D﹣AC﹣B的平面角，由于二面角D﹣AC﹣B是直二面角，所以∠BOD＝90°，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)平面BEF的法向量為，則有，即，令，則，所以，又，且是平面ACDE的一個法向量，所以，則，所以，故平面ACDE與平面BEF所成銳二面角的正切值為．20．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），過C的焦點F的直線l1與拋物線交于A、B兩點，當l1⊥x軸時，|AB|＝4．（1）求拋物線C的方程；（2）如圖，過點F的另一條直線l2與C交于M、N兩點，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，若k1+k2＝0（k1＞0），且3S△AMF＝S△BMN，求直線l1的方程．解：（1）依據(jù)題意可得F（，0），當l1⊥x軸時，直線l1的方程為x＝﹣，聯(lián)立，解得y＝±p，所以A（，p），B（，﹣p），所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，進而可得拋物線的方程為y2＝4x．（2）由（1）可知F（1，0），設(shè)直線l1的方程為y＝k1（x﹣1），聯(lián)立，得k12x2﹣（2k12+4）x+k12＝0，所以△＝（2k12+4）2﹣4k12＝16k12+16＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝，x1x2＝1，①因為k1+k2＝0，所以k1＝﹣k2，因為直線l2與拋物線交于點M，N，所以A與N關(guān)于x軸對稱，M與B關(guān)于x軸對稱，因為3S△AMF＝S△BMN，S△AMF＝S△BNF，所以3S△AMF＝S△AMF+S△BFM，所以2S△AMF＝S△BFM，所以2|AF|＝|BF|，由拋物線定義可得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以2x1+2＝x2+1，即x2＝2x1+1，代入①得（2x1+1）x1＝1，解得x1＝或﹣1（舍去），所以x2＝2x1+1＝2×+1＝2，所以x1+x2＝＝2，解得k12＝8，即k1＝2，所以直線l1的方程為y＝2（x﹣1）．21．已知函數(shù)．（Ⅰ）當a＝﹣1時，求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1對隨意x∈R恒成立，求a的值．解：（Ⅰ）當a＝﹣1時，，，所以f（0）＝1，f'（0）＝﹣2切線l的斜率為k＝f'（0）＝﹣2．所以f（x）在x＝0處的切線方程為y＝﹣2x+1．（Ⅱ）依題意，f（x）≤1對隨意x∈R恒成立，，（1）當a＝0時，，由于ex＞0，則f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，因為f（0）＝1，故當x＜0時，f（x）＞1，不符合題意．（2）當a＜0時，令f'（x）＝0，得，因為f（0）＝1，那么f（x）在上單減，在上單增，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知：當x＜0時，f（x）＞1，不符合題意．（3）當a＞0時，f（x）在上單增，在上單減：①當0＜a＜1時，，因為f（0）＝1，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知當時，f（x）＞1，不符合題意．②當a＞1時，，因為f（0）＝1，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知當時，f（x）＞1，不符合題意．③當a＝1時，．由f（x）的單調(diào)性知，f（x）max＝f（0）＝1，所以符合題意．綜上，a＝1．22．在平面直角坐標系xOy中，直線l的方程為x+y﹣4＝0，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以O(shè)點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線l和曲線C的極坐標方程；（2）設(shè)射線θ＝α（ρ≥0，0≤α＜2π）與直線l和曲線C分別交于點M，N，求的最小值．解：（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，即有ρ＝；曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），可得sin2t+cos2t＝+x2＝1，則ρ2cos2θ+ρ2sin2θ＝1，即為ρ2＝＝；（2）設(shè)M（ρ1，α），N（ρ2，α），其中0≤α＜或＜α＜2π，則＝+＝+＝1+＝1+sin（2α+），由sin（2α+）＝﹣1即α＝或時，取得最小值1﹣．23．已知函數(shù)f（x）＝|x|．（1）求不等式3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2的解集；（2）若不等式f（x﹣a）+f（x+2）≤f（x+3）的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范圍．解：（1）∵f（x）＝|x|，∴3f（x﹣1）﹣f（x+1）＞2，即3|x﹣1|﹣|x+1|＞2，所以，①，或②，或③．解①得x≤﹣1，解②得﹣1＜x