機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)及應(yīng)用 課件 第6章 機(jī)器人軌跡規(guī)劃

第六章:機(jī)器人軌跡規(guī)劃機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)及應(yīng)用Fundamentalsandapplicationsofrobotics2目錄6.1軌跡規(guī)劃6.2軌跡規(guī)劃的過程6.3軌跡規(guī)劃的共性問題6.4關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃6.5直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃6.6軌跡的實(shí)時(shí)生成36.1軌跡規(guī)劃軌跡規(guī)劃是指根據(jù)作業(yè)任務(wù)要求，確定軌跡參數(shù)并實(shí)時(shí)計(jì)算和生成運(yùn)動(dòng)軌跡。它是工業(yè)機(jī)器人控制的依據(jù)，所有控制的目的都在于精確實(shí)現(xiàn)所規(guī)劃的運(yùn)動(dòng)。46.2軌跡規(guī)劃的過程要對(duì)機(jī)器人的任務(wù)進(jìn)行描述，即對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行描述。軌跡規(guī)劃器具有簡化任務(wù)描述的功能，用戶不需要編寫運(yùn)動(dòng)軌跡函數(shù)表達(dá)式，只需提供路徑約束和簡單描述。系統(tǒng)負(fù)責(zé)處理規(guī)劃的細(xì)節(jié)問題。例如，用戶只需給出手爪的目標(biāo)位姿，系統(tǒng)會(huì)確定到達(dá)目標(biāo)的路徑點(diǎn)、持續(xù)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)速度等參數(shù)。根據(jù)確定的軌跡參數(shù)，如何在計(jì)算機(jī)內(nèi)部描述所需軌跡。這涉及選擇慣例和合理的軟件數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對(duì)內(nèi)部描述的軌跡進(jìn)行實(shí)際計(jì)算。通常在運(yùn)行時(shí)按一定的速率計(jì)算出位置、速度和加速度，生成運(yùn)動(dòng)軌跡。56.3軌跡規(guī)劃的共性問題機(jī)器人的作業(yè)描述方法機(jī)器人的作業(yè)可描述成工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于工作坐標(biāo)系{S}的一系列運(yùn)動(dòng)。如圖所示的將銷插入工件孔中的作業(yè)，可以借助工具坐標(biāo)系的一系列位姿Pi(i=1,2,…,n)來描述。這種描述方法不僅符合機(jī)器人用戶考慮問題的思路，而且有利于描述和生成機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡。作業(yè)的描述66.3軌跡規(guī)劃的共性問題機(jī)器人的作業(yè)描述方法用工具坐標(biāo)系相對(duì)于工作坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)來描述作業(yè)路徑，是一種通用的作業(yè)描述方法。它把作業(yè)路徑的描述與具體的機(jī)器人、手爪或工具分離開來，形成了模型化的作業(yè)描述方法。從而使這種描述既適用于不同的機(jī)器人,也適用于同一機(jī)器人上裝夾的不同規(guī)格的工具。如圖所示的機(jī)器人從初始狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到終止?fàn)顟B(tài)的作業(yè)，可看成是工具坐標(biāo)系從初始位置{T0}變化到終止位置{Tf}的坐標(biāo)變換。顯然，這種變換與具體機(jī)器人無關(guān)。一般情況下，這種變換包含了工具坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)的變化。機(jī)器人的初始位置和終止位置76.3軌跡規(guī)劃的共性問題軌跡規(guī)劃的其他共性問題在軌跡規(guī)劃中,為敘述方便,常用“點(diǎn)”來表示機(jī)器人的狀態(tài)，或用它來表示工具坐標(biāo)系的位姿。例如，起始點(diǎn)、終止點(diǎn)就分別表示工具坐標(biāo)系的起始位姿、終止位姿。當(dāng)需要更詳細(xì)地描述運(yùn)動(dòng)時(shí)，不僅要規(guī)定機(jī)器人的起始點(diǎn)和終止點(diǎn),而且要給出介于起始點(diǎn)和終止點(diǎn)之間的中間點(diǎn)（路徑點(diǎn)）。這時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡除了位姿約束外，還存在著各路徑點(diǎn)之間的時(shí)間分配問題。例如，在規(guī)定路徑的同時(shí)，必須給出兩個(gè)路徑點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)應(yīng)當(dāng)平穩(wěn)，不平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)將加劇機(jī)械部件的磨損，并導(dǎo)致機(jī)器人的振動(dòng)和沖擊。為此，要求所選擇的描述運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)必須連續(xù)，而且它的一階導(dǎo)數(shù)（速度），有時(shí)甚至二階導(dǎo)數(shù)（加速度）也應(yīng)該連續(xù)。86.3軌跡規(guī)劃的共性問題軌跡規(guī)劃的其他共性問題軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行，也可在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃是指將所有關(guān)節(jié)變量表示為時(shí)間的函數(shù)，用這些關(guān)節(jié)函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)描述機(jī)器人預(yù)期的運(yùn)動(dòng)；在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃，是指將手爪位姿、速度和加速度表示為時(shí)間的函數(shù)，而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度由手爪信息導(dǎo)出。96.4關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的特點(diǎn)關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的方法10關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃機(jī)器人作業(yè)路徑點(diǎn)通常由工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)于工作坐標(biāo)系{S}的位姿表示。在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，需要將每個(gè)作業(yè)路徑點(diǎn)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)角度值，使用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法。完成所有路徑點(diǎn)的轉(zhuǎn)換后，形成多組關(guān)節(jié)路徑點(diǎn)。為每個(gè)關(guān)節(jié)的路徑點(diǎn)擬合光滑函數(shù)，描述了機(jī)器人各關(guān)節(jié)從起始點(diǎn)開始，通過路徑點(diǎn)，最終到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。每個(gè)關(guān)節(jié)在對(duì)應(yīng)路徑段運(yùn)行的時(shí)間相同，確保所有關(guān)節(jié)同時(shí)到達(dá)路徑點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)，并確保工具坐標(biāo)系在每個(gè)路徑點(diǎn)上具有預(yù)期的位姿。盡管每個(gè)關(guān)節(jié)在同一路徑段上具有相同的運(yùn)行時(shí)間，但各關(guān)節(jié)函數(shù)之間是相互獨(dú)立的。11關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的特點(diǎn)在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，無需考慮直角坐標(biāo)空間中路徑點(diǎn)之間的形狀，只需使用關(guān)節(jié)角度函數(shù)來描述機(jī)器人軌跡，計(jì)算簡單且省時(shí)。由于關(guān)節(jié)空間與直角坐標(biāo)空間不存在連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，關(guān)節(jié)空間內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)機(jī)構(gòu)奇異現(xiàn)象，從而避免了直角坐標(biāo)空間規(guī)劃中的關(guān)節(jié)速度失控問題。在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行軌跡規(guī)劃，規(guī)劃路徑不是唯一的。只要滿足路徑點(diǎn)上的約束條件，可以選取不同類型的關(guān)節(jié)角度函數(shù)，生成不同的軌跡。12關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的方法滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值用拋物線過渡的線性插值13滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值為了實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)的平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，每個(gè)關(guān)節(jié)的軌跡函數(shù)

(t)至少需要滿足四個(gè)約束條件：兩端點(diǎn)位置約束和兩端點(diǎn)速度約束。端點(diǎn)位置約束是指起始位姿和終止位姿分別所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。

(t)在時(shí)刻t0=0的值是起始關(guān)節(jié)角度

0，在終端時(shí)刻tf的值是終止關(guān)節(jié)角度

f，即：14滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值為滿足關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度的連續(xù)性要求，在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)速度可簡單地設(shè)定為零，即：15滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值16滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值三次多項(xiàng)式插值關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡17滿足端點(diǎn)約束的三次多項(xiàng)式插值設(shè)有一臺(tái)具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，在執(zhí)行一項(xiàng)作業(yè)時(shí)，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)歷時(shí)3s。根據(jù)需要,其上某一關(guān)節(jié)必須運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，并具有如下作業(yè)狀態(tài)：初始時(shí)，關(guān)節(jié)靜止不動(dòng)，位置

0=15；運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)

f

=75

，此時(shí)關(guān)節(jié)速度為0。試根據(jù)上述要求，規(guī)劃該關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)。18過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值機(jī)器人作業(yè)路徑點(diǎn)19過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值對(duì)于機(jī)器人作業(yè)路徑上的所有路徑點(diǎn)，在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，可以把每個(gè)關(guān)節(jié)上相鄰的兩個(gè)路徑點(diǎn)分別看成是“起始點(diǎn)”和“終止點(diǎn)”，然后確定相應(yīng)的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，把路徑點(diǎn)平滑連接起來。但是,一般情況下，在這些“起始點(diǎn)”和“終止點(diǎn)”的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度不再為零。路徑點(diǎn)上的關(guān)節(jié)速度可以根據(jù)一些規(guī)則確定，這里不妨先設(shè)為已知。在某段路上，“起始點(diǎn)”為

0和

0，“終止點(diǎn)”為

f和

f。這時(shí)，確定三次多項(xiàng)式系數(shù)的方法與前面所述的完全一致，只不過是速度約束條件變?yōu)椋?0過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值利用約束條件確定三次多項(xiàng)式系數(shù)，有下列方程組：求解方程組，得：21過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值路徑點(diǎn)上關(guān)節(jié)速度的確定如果機(jī)器人末端操作器在經(jīng)過路徑點(diǎn)時(shí)有速度要求，則可以利用此路徑點(diǎn)的逆雅可比矩陣J-1(

)，根據(jù)關(guān)系式

，把該路徑點(diǎn)的直角坐標(biāo)速度轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)坐標(biāo)速度，軌跡規(guī)劃時(shí)則以此作為速度約束條件。但這種設(shè)定方法存在著這樣一些問題,就是如果某個(gè)路徑點(diǎn)是機(jī)器人的奇異點(diǎn)，即此點(diǎn)的逆雅可比不可求，這時(shí)就無法求關(guān)節(jié)速度了；此外,在求各點(diǎn)關(guān)節(jié)速度時(shí)，要逐點(diǎn)計(jì)算逆雅可比矩陣，并依此計(jì)算關(guān)節(jié)速度，耗時(shí)較多。22過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值路徑點(diǎn)上關(guān)節(jié)速度的確定由控制系統(tǒng)采用某種啟發(fā)式方法自動(dòng)地選取合適的路徑點(diǎn)速度。先假設(shè)各路徑點(diǎn)之間關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度是均勻的，即圖中所示用直線段將這些路徑點(diǎn)依次連接起來。這樣，關(guān)節(jié)在各路徑點(diǎn)的速度約束條件就按下述規(guī)則選定：如果相鄰線段的斜率在路徑點(diǎn)處改變符號(hào)，則速度選為零；如果相鄰線段斜率不改變符號(hào)，則選取路徑點(diǎn)兩側(cè)的線段斜率的平均值作為該點(diǎn)的速度。因此，只要給定路徑點(diǎn)，系統(tǒng)就能依此規(guī)則自動(dòng)生成相應(yīng)的路徑點(diǎn)速度。路徑點(diǎn)上速度的自動(dòng)生成23過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值路徑點(diǎn)上關(guān)節(jié)速度的確定按照保證每個(gè)路徑點(diǎn)的加速度連續(xù)的原則，由控制系統(tǒng)自動(dòng)地選擇路徑點(diǎn)的速度。為此，可以設(shè)法用兩條三次曲線在路徑點(diǎn)處按一定規(guī)則連接起來，拼湊成所要求的軌跡。拼湊的約束條件是：連接處速度連續(xù)，而且加速度也連續(xù)。24過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值對(duì)于只有一個(gè)中間路徑點(diǎn)的機(jī)器人作業(yè)，設(shè)其路徑點(diǎn)處的關(guān)節(jié)加速度連續(xù)。如果路徑點(diǎn)用三次多項(xiàng)式連接，試確定多項(xiàng)式的所有系數(shù)。已知中間路徑點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度為

v，與它相鄰的前、后兩點(diǎn)的關(guān)節(jié)角度分別為

0和

g。該機(jī)器人路徑可分為二段：

0到

v段，

v到

g段?？赏ㄟ^由兩個(gè)三次多項(xiàng)式組成的樣條函數(shù)連接，設(shè)從

0到

v段的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)為：從

v到

g的三次多項(xiàng)式插值函數(shù)為：25過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值兩個(gè)三次多項(xiàng)式的時(shí)間區(qū)間分別為[0,tf1]和[0,tf2]，若要保證路徑點(diǎn)處的速度連續(xù)、加速度也連續(xù)，即存在下列約束條件：這樣依約束條件建立的方程組為：26過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值對(duì)于tf1=tf2=tf的情況，該方程的解為：27過路徑點(diǎn)的三次多項(xiàng)式插值在一般情況下，包含了許多路徑點(diǎn)的機(jī)器人軌跡，可用多個(gè)三次多項(xiàng)式表示。約束條件（包括各路徑點(diǎn)處加速度連續(xù)）構(gòu)成的方程組可表示成矩陣的形式。由于系數(shù)矩陣是三角陣，路徑點(diǎn)的速度易于求出。28用拋物線過渡的線性插值對(duì)于給定了起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，似乎選擇線性函數(shù)插值最為簡單，但單純線性插值往往會(huì)導(dǎo)致在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度不連續(xù)，并且加速度無限大，從而在兩端點(diǎn)會(huì)造成剛性沖擊。兩點(diǎn)間的線性插值軌跡29用拋物線過渡的線性插值為了生成一條位置和速度都連續(xù)的平滑運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)線性函數(shù)插值方案稍加改進(jìn)：在線性插值兩端點(diǎn)的鄰域內(nèi)設(shè)置一段拋物線的“緩沖區(qū)段”。由于拋物線函數(shù)對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，即相應(yīng)區(qū)段內(nèi)的加速度恒定，這樣便可保證起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度能夠平滑過渡，從而使整個(gè)軌跡上的位置和速度連續(xù)。線性函數(shù)與兩段拋物線函數(shù)平滑地銜接在一起所形成的軌跡，稱為帶有拋物線過渡域的線性軌跡。帶拋物線過渡的線性插值軌跡30用拋物線過渡的線性插值為簡單起見，假設(shè)兩端的拋物線軌跡具有相同的持續(xù)時(shí)間ta，具有大小相同而符號(hào)相反的恒加速度

。對(duì)于這種路徑規(guī)劃，存在有多個(gè)解，軌跡不唯一，但每條路徑都對(duì)稱于時(shí)間中點(diǎn)th

和位置中點(diǎn)

h。軌跡的對(duì)稱性和多解性帶拋物線過渡的線性插值軌跡31用拋物線過渡的線性插值32用拋物線過渡的線性插值一般情況下，

0、

f、tf都是按任務(wù)規(guī)劃好的參數(shù)，是已知條件。這樣，根據(jù)式(7-16)可以選擇相應(yīng)的和ta，得到相應(yīng)的軌跡。通常的做法是先選定加速度的值，然后按

式(7-16)求出相應(yīng)的ta，即：為保證ta有解，加速度值必須選得足夠大，即：33用拋物線過渡的線性插值當(dāng)上式中的等號(hào)成立時(shí)，軌跡線性段的長度縮減為零，整個(gè)軌跡由兩個(gè)過渡域組成，這兩個(gè)過渡域在銜接處的斜率（關(guān)節(jié)速度）相等；當(dāng)加速度的取值愈大，過渡域的長度會(huì)變得愈短，若當(dāng)加速度趨于無限大，軌跡又復(fù)歸到簡單的線性插值情況。對(duì)于由例7-1給出的

0、

f和tf，設(shè)計(jì)出兩條帶有拋物線過渡的線性軌跡。34用拋物線過渡的線性插值35用拋物線過渡的線性插值36用拋物線過渡的線性插值帶拋物線過渡的線性插值（位移、速度、加速度）曲線37用拋物線過渡的線性插值如果某個(gè)關(guān)