2024年全國甲卷數(shù)學(xué)（理）高考真題（含解析）

第第頁2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國甲卷（理科數(shù)學(xué)）（使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川）注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)，則（）A B. C.10 D.2.集合，則（）A. B. C. D.3.若實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.4.等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C.1 D.25.已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B.3 C.2 D.6.設(shè)函數(shù)，則曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B. C. D.7.函數(shù)在區(qū)間的大致圖像為（）A. B.C. D.8.已知，則（）A. B. C. D.9.已知向量，則（）A.“”是“”的必要條件 B.“”是“”的必要條件C.“”是“”充分條件 D.“”是“”的充分條件10.設(shè)兩個平面，是兩條直線，且.下列四個命題：①若，則或②若，則③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號是（）A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④11.在中內(nèi)角所對邊分別，若，，則（）A. B. C. D.12.已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中，各項系數(shù)的最大值是______．14.已知甲、乙兩個圓臺上、下底面的半徑均為和，母線長分別為和，則兩個圓臺的體積之比______．15.已知，，則______．16.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與差的絕對值不超過的概率是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17題~第21題為必考題，每個考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.記為數(shù)列的前項和，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和為．19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．20.設(shè)橢圓的右焦點為，點在上，且軸．（1）求的方程；（2）過點的直線與交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．21已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l：（為參數(shù)），若與l相交于兩點，若，求的值.[選修4-5：不等式選講]23.實數(shù)滿足．（1）證明：；（2）證明：．

參考答案（含解析）一、選擇題題號123456789101112答案ADDBCABBCACC1.【答案】A【解析】由，則，故選：A2.【答案】D【解析】因為，所以，則，，故選：D3.【答案】D【解析】實數(shù)滿足，作出可行域如圖：由可得，即的幾何意義為的截距的，則該直線截距取最大值時，有最小值，此時直線過點，聯(lián)立，解得，即，則.故選：D.4.【答案】B【解析】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.5.【答案】C【解析】設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.6.【答案】A【解析】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.7.【答案】B【解析】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.8.【答案】B【解析】因為，所以，，所以，故選：B.9.【答案】C【解析】對A，當(dāng)時，則，所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)時，，故，所以，即充分性成立，故C正確；對B，當(dāng)時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；對D，當(dāng)時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.故選：C.10.【答案】A【解析】對①，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)，因為，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因為，，則且，故①正確；對②，若，則與不一定垂直，故②錯誤；對③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因為，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因為平面，平面，則平面，因為平面，，則，又因為，則，故③正確；對④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯誤；綜上只有①③正確，故選：A.11.【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.12.【答案】C【解析】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時，最小，，此時.故選：C二、填空題13.【答案】5【解析】由題展開式通項公式為，且，設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.故答案為：5.14.【答案】【解析】由題可得兩個圓臺高分別為，，所以.故答案為：.15.【答案】64【解析】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.16.【答案】【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以，故，所以，.19.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.20.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，，，由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.21.【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時在上恒成立；同理可得上恒成立，不合題意，舍；綜上，.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，將代入，故可得